第二章 轴向拉伸与压缩

1、第二章 轴向拉伸与压缩一、授课学时：89学时二、重点与难点：重点：1 轴向拉伸与压缩杆横截面上正应力，强度条件 2 Hooke定律 3 用切线代圆弧法求解桁架结点位移。4 拉压静不定问题的求解思路与步骤。 4.1 列静力平衡方程，判断静不定次数 4.2 列出变形协调方程 4.3 列出物理方程，得到关于力的补充方程。 4.4 联立静力平衡方程和补充方程求接。难点：1轴向拉伸与压缩杆强度条件的应用 2用切线代圆弧法求解桁架结点位移。 3 拉压静不定问题的求解重点、难点处理：对结合例子处理强度条件的应用，尤其是对结构的许可载荷问题；桁架结点位移计算重点说明切线代圆弧法的应用。拉压静不定问题的分析步骤

2、、变形几何关系通过例子多训练。三、主要内容：1、 轴力 轴力图受力特点：作用在杆上的外力或外力合力的作用线与杆的轴线重合变形特点：沿杆轴线方向伸长或缩短。轴力（Normal Force） 杆在轴向拉压时，横截面上的内力称为轴力。轴力用 N 表示，方向与轴线重合。求解轴力的方法：截面法。轴力的符号规则：N 与截面的外法线方向一致为正；反之为负。轴力为正，杆件受拉；轴力为负，杆件受压。轴力图（Diagram of Normal Force）作轴力图的步骤(1)建立适当的坐标系(2)写出轴力方程(3)计算特殊截面的内力(4)按比例作图横截面上轴力的数值等于该截面一侧所有轴向外力的代数和。例1 AB

3、杆受力如图所示 , 已知20kN，10kN， 试作 AB 杆轴力图 解:(1)求反力 由AB杆的平衡方程(2)计算各段的轴力由平衡方程得: (3)按比例画轴力图2、 轴向拉（压）时横截面上的应力，强度条件平面假设：横截面在轴向拉压时仍然保持为平面不变。由平面假设可知，横截面上只存在正应力。因为材料均匀连续，并且纵向纤维的伸长相同，所以横截面上的正应力均匀分布。 强度条件及其应用三类强度计算问题强度校核 截面设计 确定许可载荷 例2 如图所示桁架结构中，已知：BC为木杆，许用应力MPa，=100cm2，AB为钢杆，许用应力MPa，求：结构的许可载荷解：（1）以节点B为研究对象，受力分析如图所示，

4、由平衡方程可得（2）计算各杆的许可轴力查表可知角钢的横截面面积为 cm2 kN（3）确定结构的许可载荷由1杆的强度确定 kN由2杆的强度确定 kN综上可知结构的许可载荷为P=40.4kN3、 HOOKE定律 条件：4、 材料的力学性能 材料的力学性能就是材料在外力作用下，所表现出来的变形和破坏等方面的特性。（1）低碳钢拉伸时的力学性能 弹性阶段 屈服阶段：到达屈服阶段时，在磨光试件表面会出现沿45度方向的条纹，这是由于该方向有最大剪应力，材料内部晶格相对滑移形成的。 强化阶段 局部变形阶段 当低碳钢拉伸到最大载荷时，在试件的某一局部范围内横截面急剧缩小。 条件屈服应力 （2）铸铁拉伸时的力学性

5、能没有屈服和颈缩，拉断时延伸率很小，（3）低碳钢在压缩时，不会破坏，只会越压越扁（4）铸铁压缩时，沿45度方向破坏，说明铸铁是被剪断的5、轴向拉（压）杆静不定问题（1） 静不定问题的概念未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。这类问题称为静不定问题或超静定问题。其中未知力数目与平衡方程数目之差称为静不定次数。（2）静不定问题的解法求解静不定问题的关键在于使未知力个数和方程个数相等，这要求除了利用平衡方程外，还要建立若干个补充方程，其个数等于静不定次数，从而使方程数目和未知力数目相等，然后联立各方程，即可求出全部未知力。建立补充方程的根据在于：在外力作用下，结构和构件

6、各部分的变形不是孤立的，它们之间保持一定的相互协调的几何关系，称为变形协调关系，由这些条件可列出若干该补充方程来。例3 杆的上、下两端都有固定约束，若抗拉刚度EA已知，试求两端反力。解：（1）列杆的平衡方程，判断是否是静不定问题，确定静不定次数。杆的未知反力有和，平衡方程只有一个。即 +P=0 故为一次静不定问题，需建立一个补充方程。故为一次静不定问题，需建立一个补充方程。（2）变形几何关系 由于杆的上、下两端均已固定，故杆的总变形为零，即=0， 而等于AC段变形和BC段变形之和。即=+，此即杆AB的变形协调方程。（3）物理关系即力与变形的关系 AC段，其轴力，对BC段，其轴力， 由虎克定律

7、代入变形几何关系即ab此即补充方程（）联立补充方程和平衡方程求解未知力 解得 应该注意，、方向可任意假设，但在建立补充方程时，杆件所受的力必须与产生的变形一致，才能得到正确答案。（3） 装配应力在静不定结构中，由于杆件的尺寸不准确，强行装配在一起，在未受载荷之前，杆内已产生应力。静不定结构由于装配而引起的应力称为装配应力。其解法与静不定问题解法相同。例4 图示结构中，若杆3比应有长度短（与相比是一个极小的值），将杆强行装配后，节点移到,求各杆轴力。解：（1）列平衡方程 经分析，杆3收拉力作用，杆1和杆2受到压力作用。 ； ； 有三个未知力、，只有两个平衡方程，为一次静不定问题。 （2） 变形几

8、何关系 由图看出 （3）物理关系 因远小于，故在计算时，可用代替-，将和代入几何关系得补 充方程 += （4） 联立方程 解得 若三杆的材料相同（弹性模量）,截面面积相同（）/=1/1000，计算出各杆的应力=65.3MPa(压)，=112.9MPa（拉）.可见，制造误差虽很小，但装配后引起相当大的应力。若再与工作时载荷引起的应力叠加，可能应力值会更大，这是不利的。但工程中也有利用装配应力达到紧配合的目的。(4) 在静不定结构中，由于具有多余约束，温度变化将使杆内产生应力。这种应力称为温度应力。这类问题也是静不定问题。在列变形协调关系时，需要考虑由于温度变化而引起的附加变形。6、阶梯杆轴向拉（

9、压）问题的计算机分析（1）计算机分析属于数值计算方法，分析时必须首先有计算机的力学模型。为了进行计算机分析，必须把力学模型的几何信息、材料信息，和支座信息输入计算机（类似与人工解题时通过题目的已知条件去熟悉问题）。力学模型数值化就是指确定描述这些信息必须的参数和参数的力学意义。直杆轴向拉伸和压缩问题的力学模型可以概括为以下两类。这两类杆可以用TYPE，L，E以及NSECT，A，x1，x2和SHAPE共八个参数来描述。它们的意义是：llTYPE：杆件类型。TYPE=1为左端固定右端自由杆 TYPE=2为两端自由杆 L：杆件长度，单位为mE：材料的弹性模量，单位为PaNSECT：阶梯杆的段数。每段

10、的几何信息可用其起始位置x1和终了位置x2，横截面的形状参数SHAPE描述：SHAPE=1 圆形 外径D 内径d(实心圆截面为零) SHAPE=2 矩形 高度h 宽度b SHAPE=3 其它截面 面积A 0单位分别为m 和m,它们存放在数组SECTNSECT5中。杆件轴向拉压问题的载荷不外乎轴向集中力和分布力，若规定集中力和分布力向上或向右为正，则第k个集中力的信息用其数值大小和作用点两个参数来表示。第k个线性分布力的信息用、四个参数表示线性分布力的表达式如下所示。 载荷信息可以存放在集中力数组Pnp2和分布力数组qnq4里，其格式为 Pk1= Pk2= (k=1,2,3,.,np)其中qk1= ，qk2= ，qk3= ，qk4= (k=1