计算机程式 数学方法介绍讲义 (二)

1、計算機程式 數學方法介紹講義 (二)目錄壹、Least-squares Method最小二平方法2一.數據2二.作圖結果2三.數學模式之係數的計算之推導2四.設計計算程式3貳、van der Waals 立方型狀態方程式體積求解4一.問題解析4二.體積求解之數學表示式4三.可利用下列之試算，找出根的坐落範圍5參、The Bisection method；Halving the interval method求解6一.計算程序解析6二.解題的邏輯觀念示意圖6三.流程圖範例一7四.流程圖範例二8肆、Linear interpolation methods; The Secant method求解9

2、一.計算程序解析9二.解題的邏輯觀念示意圖9三.流程圖範例10伍、Linear interpolation methods; The False position method求解11一.計算程序解析11二.解題的邏輯觀念示意圖11三.流程圖範例12陸、Newtons methods求解13一.計算程序解析13二.解題的邏輯觀念示意圖13三.流程圖範例14柒、Fixed-point iteration求解15一.計算程序解析15二.流程圖範例15壹、 Least-squares Method最小二平方法一. 數據0.050.110.150.310.460.520.700.740.820.981

3、.170.9560.8900.8320.7170.5710.5390.3780.3700.3060.2420.104二. 作圖結果三. 數學模式之係數的計算之推導1. 數據變數有兩個：自變數()與因變數()2. 函數關係 或 3. 實驗數據與模式理論數值間有誤差取誤差的平方和為4. 當期望誤差的平方和為最小時，在微積分中，函數一次微分等於0為極值。數學模式的未知變數此時為a與b。5. 整理上兩個一次微分式6. 再整理i(1)(2)7. 各項計算數值項目欄總計值6.015.9054.65452.183936.120135.489058. 第（1）式乘以N 減去 第（2）式乘以 可解得 a 的算式

4、（或者數值）9. a的算式帶入第(2)式可解得b 的算式（或者數值）四. 設計計算程式回目錄貳、 van der Waals 立方型狀態方程式體積求解一. 問題解析1. van der Waals equation體積立方型方程式之各種類型：(1). (2). (3). 2. 立方型狀態方程式之物質參數a、b的取得：(1). 在臨界點時 ，所以 (2). 在臨界點時，van der Waals equation (3). 比較係數： 、 、 (4). 整理，用臨界壓力與臨界溫度表示： 、 二. 體積求解之數學表示式1. 嘗試錯誤法（Try and error method）：，須採用嘗試錯誤法

5、求解；在數值方法中，通常有下列數種嘗試錯誤之迫近法尋求適當解。(1). The Bisection method(2). Linear interpolation methods; the Secant method(3). Linear interpolation methods; Linear Interpolation, (False position)(4). Newtons method(5). Mullers method2. 疊代法；Fixed-point iteration: x = g(x) method(1). ：，須採用疊代法求解。(2). ：，須採用疊代法求解。(3).

6、 ：，所以 ，須採用疊代法求解。(4). ：，所以 ，須採用疊代法求解。三. 可利用下列之試算，找出根的坐落範圍Vf(P,V,T)Vf(P,V,T)300001,369,259,433,207 1000(11,739,485,707)29000456,303,568,846 900(8,339,498,556)28000(340,842,637,515)800(5,467,414,826)27000(1,028,179,185,878)700(3,129,234,515)26000(1,611,706,076,242)600(1,330,957,624)25000(2,097,423,308,

7、607)500(78,584,154)24000(2,491,330,882,973)400621,885,897 23000(2,799,428,799,341)300764,452,528 22000(3,027,717,057,709)200343,115,738 21000(3,182,195,658,079)100(648,124,471)回目錄參、 The Bisection method；Halving the interval method求解一. 計算程序解析對於一個函數 要求解 的問題，其計算的過程是：1、 Thermodynamic or mathematic analy

8、sis 熱力學分析或數學分析依 Gibbs 相律計算自由度為 2，指定 與 。2、 READ data讀入臨界溫度與臨界壓力，計算物質參數 與 。3、 Declare variables：Given two initial values and ；Calculate and ； Two initial values need to satisfy ；宣告辯數：給兩個初始值，並計算函數值，初始解需使兩函數值符號相反4、 IF .or. THEN Stop。小於設定之容忍值即可終止計算5、 REPEAT重複計算處6、 Set ，Calculate 。計算新的更恰當解，重新估算函數值IF THEN

9、；更新初始值與函數值，以便推進連續計算程序 Set and ， ELSE Set and ENDIF7、 Until ，Then Stop。小於設定之容忍值即可終止計算二. 解題的邏輯觀念示意圖x0f(x0)f(x1)f(x2)x1x2x3f(x3)f(x)x三. 流程圖範例一StopLetdirstep=-1*dirstepCalculate f1½f1½<eStartReadT, P, Tc, PcCalculateparameter a, bSet dirstep, step, V0Calculate f0V1=V0+dirstep*step.f0*f1 <

10、; 0V2= (V1+V0)/2Calculate f2½f2½<e.f0*f2 > 0½f0½<eV1=V2f1=f2V0=V2f0=f2½f1½<½f0½WriteT, P, VNoYesYesYesYesYesYesNoNoNoNoNo8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、四. 流程圖範例二StartStopLetdirstep=-1*dirstepCalculate f1Rea

11、dT, P, Tc, PcCalculateparameter a, bSet dirstep, step, V0, Ind=0Calculate f0,f1V1=V0+dirstep*stepInd = Ind + 1.f0*f1 < 0V2= (V1+V0)/2Calculate f2½f2½<e.f0*f2 > 0 Ind <=1V1=V2f1=f2V0=V2f0=f2½f1½<½f0½½f0½<e½f1½<eWriteT, P, VNoYesYe

12、sYesYesYesNoNoNoNoNoYesYesNo33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50、51、52、53、54、55、56、57、回目錄肆、 Linear interpolation methods; The Secant method求解一. 計算程序解析對於一個函數 要求解 的問題，其計算的過程是：58、 Thermodynamic or mathematic analysis 熱力學分析或數學分析依 Gibbs 相律計算自由度為 2，指定 與 。59、 READ data讀入臨界溫度與臨界壓力，計算物質參數 與

13、。60、 Declare variables：Given two initial values and ；Calculate and ；宣告辯數：給兩個初始值，並計算函數值61、 IF .or. THEN Stop。小於設定之容忍值即可終止計算62、 IF THEN 若第一個初始值的函數值較小，交換初始值的次序Swap with and with 63、 Repeat重複計算處64、 Set ，Calculate 。65、 計算新的更恰當解，重新估算函數值Set and Set and 更新初始值與函數值，以便推進連續計算程序66、 Until ，THEN Stop。小於設定之容忍值即可終止計

14、算二. 解題的邏輯觀念示意圖三. 流程圖範例V2=V1-f1*(V0-V1)/(f0-f1)StopCalculate f2½f2½<eWriteT, P, V½f1½<½f0½Vd=V0、fd=f0V0=V1、f0=f1V1=Vd、f1=fdV0=V1、f0=f1V1=V2、f1=f2Calculate f1½f1½<eStartReadT, P, Tc, PcCalculateparameter a, bSet dirstep, step, V0Calculate f0V1=V0+dirste

15、p*step½f0½<eYesNoYesNoNoYesYesNo67、68、69、70、71、72、73、74、75、76、77、78、79、80、81、82、83、84、85、86、87、88、89、90、91、回目錄伍、 Linear interpolation methods; The False position method求解一. 計算程序解析對於一個函數 要求解 的問題，其計算的過程是：92、 Thermodynamic or mathematic analysis 熱力學分析或數學分析依 Gibbs 相律計算自由度為 2，指定 與 。93、 READ

16、data讀入臨界溫度與臨界壓力，計算物質參數 與 。94、 Declare variables：Given two initial values and ；Calculate and ； Two initial values need to satisfy ；給兩個初始值，並計算函數值，初始解需使兩函數值符號相反IF .or. Then Stop。小於設定之容忍值即可終止計算95、 Repeat重複計算處96、 IF Then 若第一個初始值的函數值較小，交換初始值的次序Swap with and with 97、 Set ，Calculate 。計算新解，重新估算函數值IF Then Set

17、 and ，（更新初始值與函數值，以便推進連續計算程序）ELSE Set and ENDIF98、 Until ，Then Stop。小於設定之容忍值即可終止計算Root 二. 解題的邏輯觀念示意圖回目錄三. 流程圖範例12V2=V1-f1*(V0-V1)/(f0-f1)StopCalculate f2½f2½<e.f0*f2 > 0V1=V2f1=f2V0=V2f0=f2WriteT, P, VVd=V0、fd=f0V0=V1、f0=f1V1=Vd、f1=fd½f1½<½f0½12Letdirstep=-1*dir

18、stepCalculate f1½f1½<eStartReadT, P, Tc, PcCalculateparameter a, bSet dirstep, step, V0Calculate f0V1=V0+dirstep*step.f0*f1 < 0½f0½<e½f1½<½f0½YesNoYesYesYesYesYesNoNoNoNoNoNoYes99、100、101、102、103、104、105、106、107、108、109、110、111、112、113、114、115、116、

19、117、118、119、120、121、122、123、回目錄陸、 Newtons methods求解一. 計算程序解析對於一個須要求解 的問題，其計算的過程是：124、 Thermodynamic or mathematic analysis 熱力學分析或數學分析依 Gibbs 相律計算自由度為 2，指定 與 。125、 READ data讀入臨界溫度與臨界壓力，計算物質參數 與 。126、 Declare variables：Given initial value ；Calculate and ；給解的起猜值 ；計算函數值與函數一次微分的值。127、 IF .or. THEN Stop。小於設定之容忍值即可終止計算128、 Repeat重複計算處129、 Set ，Calculate and 。計算新的更恰當解130、 Until or THEN Stop。小於設定之容忍值即可終止計算。二.