第四章 航行器动力学(Dynamics)

1、第四章 航行器动力学（Dynamics）4.1 刚体动力学牛顿-欧拉表达式牛顿第二定律： 欧拉第一和第二定理： 4.1 刚体动力学假设：（1）航行器是个刚体；（2）NED坐标系是惯性坐标系；第一个假设可以不用考虑航行器各质量元素之间的相互作用力；第二个假设可以不用考虑由于地球自转而产生的力，这是因为地球自转的角速度为：地球自转产生的力相对于水动力来说可以忽略。4.1.1 平移运动 重心的速度： 投影到b系： 投影到n系： 4.1.1 平移运动对上式求导： 根据欧拉第一定理：NED近似为惯性系， 4.1.1 平移运动如果b系的原点选在重心，则则：4.1.2 旋转运动欧拉第二定理：根据前面的假设，

2、可以得到式中：4.1.2 旋转运动 如果b系的原点选在重心，即则4.1.2 旋转运动平行轴定理：相对于任意原点的惯性矩阵可以表示为：4.1.3 刚体动力学方程4.1.3 刚体动力学方程矩阵向量形式： 特性：4.1.3 刚体动力学方程定理：令为66的系统惯性矩阵：其中：。则科里奥利向心矩阵为反对称矩阵，并可表示为：式中， 。4.1.3 刚体动力学方程特性（刚体科里奥利向心矩阵）刚体科里奥利向心矩阵总可以表示为反对称矩阵，即将代入得：4.1.3 刚体动力学方程刚体六自由度运动方程的简化：（1）原点与重心一致：进一步简化：4.1.3 刚体动力学方程刚体六自由度运动方程的简化： （2）旋转载体系的坐标

3、轴，使得为对角矩阵。 求的特征值： 求模态矩阵： 将坐标系旋转到新坐标系，它的单位向量为4.1.3 刚体动力学方程刚体六自由度运动方程的简化： （2）旋转载体系的坐标轴，使得为对角矩阵。则新的惯性矩阵4.1.3 刚体动力学方程刚体六自由度运动方程的简化：（3）平移原点使得为对角阵。由平行轴定理： 对角元素必须满足：4.1.3 刚体动力学方程刚体六自由度运动方程的简化：（3）平移原点使得为对角阵。选择，使得4.1.3 刚体动力学方程刚体六自由度运动方程的简化：（3）平移原点使得为对角阵。此时刚体动力学方程为：4.2 流体动力和力矩 （1）由于流体辐射引起的力： 令：（2）由于环境干扰产生的力如风

4、、浪、流产生的力和力矩，记为。（3）最终模型 式中，为推进力和力矩。则式中：4.2.1 附加质量和惯性欧拉-拉格朗日方程：，为动能，为势能。式中：，。 Kirchhoff方程： 4.2.1 附加质量和惯性流体动能： 代入Kirchhoff方程4.2.1 附加质量和惯性4.2.1 附加质量和惯性4.2.1 附加质量和惯性特性：在理想流体下，附加质量惯性矩阵特性：在理想流体下，附加质量科里奥利向心矩阵总可以表示为反对称矩阵，即式中4.2.1 附加质量和惯性4.2.2 水动力阻尼水动力阻尼主要包括：（1）势阻尼：也称为Radiation-induced damping（随波浪频率被迫振动产生的阻尼）

5、，通常比较小，可以忽略。（2）表面磨擦：当考虑航行器的低频运动时，由于层流边界层理论产生的线性表面摩擦非常重要；此外，除了线性表面摩擦，由于湍流边界层将产生高频部分，这通常被称之为二次型或非线性表面摩擦。（3）波浪漂移阻尼：波浪漂移阻尼可解释为由于航行器在水面运动时由于波浪产生的附加阻力。 （4）由于涡流脱落产生的阻尼：4.2.2 水动力阻尼对于动力定位的低速应用，在轴向二次项阻尼可以用ITTC drag表示，在侧向和航向采用Cross-flow表示：， 4.2.2 水动力阻尼 六自由度二次阻力可方便地表示为：式中： 是66的矩阵，且取决于，和。4.2.2 水动力阻尼 总的阻尼可表示为：特性（

6、水动力阻尼矩阵）：在理想流体中的刚体，水动力阻尼矩阵是非对称、严格正实矩阵，即例如：对于低速航行的航行器，如果其关于对称，且纵向和轴向能够解耦，则线性化的阻尼力和力矩可以表示为： 对于低速应用，也可进一步假定，使得。4.2.2 水动力阻尼动力定位（低速机动）：线性阻尼占主导地位机动（高速）：非线性阻尼占主导地位4.2.3 恢复力和力矩 重力：，浮力：4.2.3 恢复力和力矩式中： ，浮心坐标，重心坐标4.3 六自由度运动方程4.3.1 非线性运动方程 载体坐标系下的向量表示：式中：4.3.1 非线性运动方程 NED坐标系下的向量表示： 将和用和代得：4.3.1 非线性运动方程NED坐标系下非线

7、性运动方程特性：（1）（2）（3）4.3.1 非线性运动方程特性（系统惯性矩阵）：对于刚体，系统惯性矩阵严格正实的充要条件是，即如果刚体在理想流体下处于静止状态（或以低速航行），系统惯性矩阵总是正定，即，且4.3.1 非线性运动方程特性（科里奥利和向心矩阵）：在理想流体中航行的刚体，其科里奥利和向心矩阵总可以表示反对称形式，即如果不是对称矩阵，可将写成对称和反对称矩阵和，即 式中：4.3.2 线性运动方程假设横滚角和俯仰角：则 定义（航行器平移坐标系）航行器平移坐标系定义为：式中：为NED位置和姿态在载体坐标系下的分量，注意到。4.3.2 线性运动方程 低速应用（位置保持）：由航行器平移坐标系

8、可得：其中：，且对于低速应用，则4.3.2 线性运动方程重力和浮力也可用平移坐标系来表示。对于小横滚和俯仰角对于中性浮力的航行器，即，则4.3.2 线性运动方程低速机动和动力定位：意味着非线性科里奥利力、向心力、阻尼力、恢复力可以在平衡点和进行线性化。因为，则最终状态空间模型： 4.3.2 线性运动方程 航行器在巡航状态，假设航行器巡航速度满足令，则4.4 航行器标准模型航行器模型通常表示为下列子系统之一：轴向模型：速度操纵模型（侧向和偏航）：速度和水平面运动（轴向，侧向和偏航）：速度，和纵向运动（轴向，上下和俯仰）：速度，和横向运动（侧向，横滚和偏航）：速度，和或者水平面模型：自由度1，2，

9、6；纵向运动：自由度1，3，5横向运动：自由度2，4，64.4.1 三自由度水平面运动水平面运动包括轴向、侧向和偏航运动，即当只考虑水平面运动时，上下运动、横滚运动和俯仰运动被忽略，即 此外，低速应用和高速操纵时分开来处理。低速模型：由六自由度运动学方程：4.4.1 三自由度水平面运动4.4.1 三自由度水平面运动 假设航行器具有均匀的质量分布，平面对称，：4.4.1 三自由度水平面运动 对于三自由度低速模型，即 由系统惯性矩阵可知，轴向的线性阻尼可从侧向和偏航方向解耦，则4.4.1 三自由度水平面运动对于低速应用，线性阻尼是个很好的近似，此外在动力定位时，二次项可忽略。因此，低速水平面运动模

10、型为：式中：为描述执行机构的控制矩阵。4.4.1 三自由度水平面运动非线性操纵模型：当航行器高速航行时，假设和不再成立。因此，模型中应该包含非线性速度项，即4.4.2 前进速度/操纵的解耦模型当航行器以定常速度向前航行时前面建立的三自由度水平面运动模型可解耦为：前向速度模型（轴向子系统）侧向和偏航操纵模型前向速度模型对于左右对称航行器，轴向可与侧向与偏航解耦，则前向速度方程可以表示为： 模型中包含有线性和二次型非线性阻尼项，因此该模型可以覆盖低速和高速应用。4.4.2 前进速度/操纵的解耦模型 二自由度线性操纵模型（侧向和偏航子系统） 假设航行器巡航速度，和是小量。模型1：由三自由度低速模型当

11、时， 4.4.2 前进速度/操纵的解耦模型假设航行器由单个舵来操纵，即同时假设线性阻尼是主要的，即则4.4.2 前进速度/操纵的解耦模型4.4.3 纵向和横向模型航行器六自由度运动通常分解为两个不相关子系统：纵向子系统：状态，和 横向子系统：状态，和通常情况下，航行器左右对称，则4.4.3 纵向和横向模型 纵向和横向子矩阵为纵向子系统（自由度1，3，5）：4.4.3 纵向和横向模型纵向子系统（自由度1，3，5）： 因此，运动学方程 为了简单，假设高阶阻尼可以忽略，即，同时假设，关于，和二次项很小。因此，4.4.3 纵向和横向模型纵向子系统（自由度1，3，5）：则假设为对角阵，则4.4.3 纵向和横向模型纵向子系统（自由度1，3，5）：假设，则4.4.3 纵向和横向模型纵向子系统（自由度1，3，5）：当时，4.4.3 纵向和横向模型纵向子系统（自由度1，3，5）：此外，如果（定深航行），是小角度，即，则俯仰角的线性动态特性可以表示为自然频率为4.4.3 纵向和横向模型横向子系统（自由度2，4，6）：则运动学