2020年秋人教版八年级数学上册第11章《角的相关计算和证明》(讲义及答案)

1、人教版八年级数学上册第11章 角的相关计算和证明（讲义） 课前预习背默我们到目前学习过的定理：（1）平行线：判定：，两直线平行；，两直线平行；，两直线平行.性质：两直线平行，:两直线平行，:两直线平行，.（2）余角、补角、对顶角：同角（等角）的余角：同角（等角）的补角:对顶角（3）三角形：三角形的内角和等于;直角三角形两锐角;三角形的外角等于.知识点睛在证明的过程中，由平行想到、由垂直想到、由外角想到精讲精练1 . 如图，AB/EF/CD, NA8C=45°, ZCEF=155°,则ZBCE=.2 .如图，在48C中，ZB=60°, NA=40。，DC平分NAC8

2、交48于点D,过点D作DE8c交AC于点E,则NEDC=第2题图第3题图3 .如图，在正方形48CD中，ZADC=ZDCB=90 G是8c边上一点，连接。G, A£_LOG 于点 E, CF_LDG 于点 F.若 ZDAE=25 则 NGCF=.4 . 如图，在 Rt/ABC 中，Z 84c=90°, Z C=45",在 RtZ4FG 中,ZG=90°, ZE4G=45°, ZCAG=20 贝IJNAE8=, ZADC=.第4题图第5题图5 . 如图，ED_LA8 于点。，EF/AC. NA=35。，则NDEF=.6 .如图，在ABC 中，Z8

3、=60°, P 为 BC 上一点，且N1= N2,贝lj ZAPD=7 .如图，E, F分别在A8, CD上，EC1,AF,垂足为点O, Zl+ZC=90°, Z2=ZD.求证：AB/CD.CFA9 .如图，直线4。分别与直线8F, EG相交于点C, D.若 ND=/A+/B, ZBFE=75°, NG=35°,求NEFG 的度数.B10 .如图，BP ABC, CP平分ABC的夕卜角NACE. 求证：ZA=2ZP.证明：如图，设NP8C=cz, ZPCE=6 ： BP 平分 ZABC()/. ZABC=2ZPBC=2a ()CP 平分NACE()ZAC

4、E=()ZACE是/ABC的一个外角()ZACE=ZABC+ZA () =+ZA()ZPCE是/BCP的一个外角() . ()6=+()，26=2a+2 Z P ()A ZA=2ZP (11 .已知：如图，在48C中，8。平分N48C, CD平分NACB.求证：ZD = 90° + -ZA- 2【参考答案】课前预习（1）同位角相等；内错角相等；同旁内角互补. 同位角相等；内错角相等；同旁内角互补.（2）相等；相等；相等.（3） 180°；互余；与它不相邻的两个内角的和.，知识点睛同位角、内错角、同旁内角；直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等; 三角形的外角等于与它不

5、相邻的两个内角的和.精讲精练1. 20°2. 40°3. 25°4. 65°, 70°5. 125°6. 60°7. 证明：如图，9：EC±AF （已知），NCOF=90° （垂直的定义）NC+N2=90° （直角三角形两锐角互余）VZ1+ZC=9O0 （已知）AZ1=Z2 （同角的余角相等）V Z2=ZD （已知）AZ1=ZD （等量代换）A8CD （内错角相等，两直线平行）8 .解：如图，.ZBZC=180°-ZB-ZC二18035° - 75°=70。（三角形

6、的内角和等于180。）AE平分NB47（已知）：.ZBAE=- ZBAC 2= -x70°2=35。（角平分线的定义）二NAED是48E的一个外角（外角的定义），ZAED=ZB+ZBAE=350+35°=70。（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）9：AD±BC （已知）ZADE=90° （垂直的定义）A ZAED+ZEAD=90° （直角三角形两锐角互余）：.ZEAD=90°-ZAED=90°-70°=20。（等式的性质）9 .解：如图，4CF是48C的一个外角（外角的定义）A ZACF=ZA+ZB （三角

7、形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）VZD=Z+ZB （已知）ZACF=ZD （等量代换）：.BF/DG （同位角相等，两直线平行）:NBFE=/FEG （两直线平行，内错角相等）*； NBFE=75° （已知），NFEG=75。（等量代换）在FEG 中，ZFEG=75°, ZG=35° （已知），Z EFG=180°- Z FEG- Z G=180°-75o-35°=70。（三角形的内角和等于180。）10 .证明：如图，设NP8C=a, ZPCE=6：8P平分N4BC（已知）J ZABC=2ZPBC=2a（角平分线的定义）TCP

8、平分NACE （已知）ZACE=2ZPCE=26 （角平分线的定义） NACE是 ABC的一个夕卜角（外角的定义）ZACE= NABC+ ZA（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）：.26=2a+ZA（等量代换）TNPCE是的一个外角（外角的定义）.,.NPCE=NP8C+NP （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）：.6=a+ZP （等量代换）：,26=2a+2ZP （等式的性质）ZA=2ZP （等式的性质）11.证明：如图，设ND8C=a, ZDCB=6:8。平分NA8C （已知）A ZABC=2ZDBC=2a （角平分线的定义）CD平分NAC8 （已知）A ZACB=2ZDC

9、B=26 （角平分线的定义）V ZABC+ZACB+ZA=180° （三角形的内角和等于180°） ：.2a+26+ZA=180° （等量代换）：.a + /3 + -ZA = 90° （等式的性质） 2；NDBC+NDCB+ND=180° （三角形的内角和等于180°） ，a+6+ND=180° （等量代换）A ZD = 90° + -ZA （等式的性质）2角的相关计算和证明（随堂测试）1. 已知：如图，在A8C 中，ZA=30°, ZB=70°, CE 平分 ZACB, CD_L48 于。，

10、DFLCE,则NFDE 的度数是由平行求ZABC2. 已知：如图，CD/AB, NOC8=70。，ZC8F=20°, ZF=130°.求证:EF/AB.证明：如图，V ZCBF=200 （已知） ZFBA=_（等式的性质）【参考答案】1. 20°角的相关计算和证明（习题）例题示范例1：已知：如图，在48C中，平分N84C交8C于点。，8c于点E.若 N4DE=80°, ZEAC=20°9 则 ZB=.思路分析读题标注:梳理思路:从条件出发，看到 作，8c想到直角三角形两锐角互余，再结合已知的角度可求出 NDAE=10°, ZC=70&

11、#176;；由4。平分NBAC可知N84c=60°；把 N8 看作 AABC 的一个内角，则 N8=180°-60°-70°=50°.（思路不唯一，也可将N8看作4B。的一个内角，则N4DE是4BD的一个 外角，利用三角形的外角定理进行求解.）巩固练习1. 已知：如图，ABJ_8D于点8, ED工BD于点、D, C是线段8D上一点.若AC _LCE, ZA=30 则 NE=.第1题图第2题图2. 已知：如图，A8C为直角三角形，ZC=90若沿图中虚线剪去NC,则N1+ Z 2=.3. 已知：如图，NA=32°, N8=45°

12、, ZC=38°,则NDFE二()A. 120° B. 115° C. 110° D. 105°第3题图第4题图4. 已知：如图，在ABC 中，ZA：ZB=1：2,。£_1_48 于 E,且NFCD=60°,则N D=()A. 50°B. 60°C- 70°D. 80°5. 已知：如图，在ZBC中，ZB=ZACB, CD A.AB9垂足为D.求证：ZA=2ZBCD.证明：如图，设 N8CD=a'：CD±AB（已知）J ZBDC=90° （垂直的定义）A ZB

13、CD+=90° （） ，2a+2N8=180° （等量代换） （）:NB=NACB （已知）.NA+2N8=180° （等量代换）ZA=2a （同角的补角相等）即 ZA=2ZBCD6. 已矢口：如图，ABDE, Z1=ZACB, 4c 平分NB4D.求证：AD/BC.7.如图，在A8C中，AD是N84C的平分线，E为AD上一点，且EFLBC于F.若BD F CZB=30 ZC=70°,求 ZDEF的度数.8.已知：如图，在48C中，4。平分N84C, EF_LA。于点P,交8C延长线于点 M.已知 N4CB=70。，ZB=40 求NM 的度数.思考小结1

14、 .我们在做几何证明题的时候，可以从已知出发，看条件如何用，比如看到平 行线，考虑,看到垂直考虑9:也可以从目标出发，根据目标倒推，比如把角看作什么角，看 作三角形的一个内角考虑,看作外角考虑2 .阅读材料我们是怎么做几何题的？例 1：已知:如图,DE/BC, EF/AB. ZDEF=50°, ZC=70°,求N4 的度数.R第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上；（请把条件标注图上）第二步：走通思路，要求N4的度数，怎么想？要求N4可以把N4看作48C的一个内角，NC度数已知，只需求出N8 的度数即可；结合题中的条件，由。E8C, ZDEF=50°ZEFC=Z

15、DEF=50°,再由EF48得NB=NEFC=50°；最后，利用三角形的内角和等于180。，得 ZA=1800- ZB-Z C=180o-50o-70o=60°.第三步：规划过程过程分成三块：由 DE/BC, N DEF=50°得 N EFC= N DEF=50° ；由 EF/AB 得NB=NEFC=50°：利用三角形内角和定理求NA.第四步：书写过程解：如图，*：DE/BC （已知）NEFC=NOEF （两直线平行，内错角相等）V ZDEF=50° （已知），NEFC=50。（等量代换）*：EF/AB （已知），N8=NE

16、FC （两直线平行，同位角相等）N8=50。（等量代换）在48C 中，ZC=70°, ZB=50° （已知） /. Z4=180°-ZB-ZC=180°-50°-70°=60。（三角形的内角和等于180。）【参考答案】巩固练习1 . 60°2 . 270°3 . B4 . A5 .证明：如图,设 N8CD=a*：CDVAB （已知），ZBDC=90° （垂直的定义）BCD心=90° （直角三角形两锐角互余），2a+2N8=180° （等量代换） NA+NB+NAC8=180°

17、 （三角形的内角和等于180。）'：ZB=ZACB （已知），NAa2NB=180° （等量代换）ZA=2a （同角的补角相等）即 ZA=2ZBCD6 .证明：如图，*：AB/DE （已知），N1=NBAC （两直线平行，同位角相等）AC平分NB4D （已知）：.ZDAC=ZBAC （角平分线的定义）：.Z1=ZDAC （等量代换）Z1=ZACB （已知）ZDAC=ZACB （等量代换）AD8c （内错角相等，两直线平行）7 .解：如图，在4BC 中，ZB=30°, ZC=70° （已知）：.ZBAC=180°-ZB-ZC=180o-300-70

18、°=80。（三角形的内角和等于180°）平分N8AC （已知）：.ZBAD=- ZBAC2= ix80° 2=40。（角平分线的定义）二NEDF是ABD的一个外角（外角的定义）:NEDF=/B+/BAD （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）VZB=30° （已知）/. ZEDF=3Q°+40°=70。（等量代换）VEF±BC （已知）A ZEFD=90° （垂直的定义）NEDF+/OEF=90° （直角三角形两锐角互余）/. ZDEF=90°-ZEDF=90°-70°=20。（等式的性质）8 .解：如图，在A8C 中，ZACB=70°, Z8=40° （已知），ZBAC=180°-ZACB-ZB=180°-70°-40°=70。（三角形的内角和等于180。）八。平分N8AC （已知）ZDAC=- ZBAC2=35。（角平分线的定义）*：EF±AD （已知），NAPF=90。（垂直的定义）