2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理）第I卷、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的11 .复数的z 模为 i 1A. 1B. £C 2D. 2【测量目标】复数代数形式的四则运算-2 i1对复数进行化简，然后再求模【考查方式】直接给出复数，利用【难易程度】容易【参考答案】B11【试题解析】Qz 1i 122 .已知集合 A x |0 log4 x1. IJ1 1.后i,z i .22 221 , B x|x, 2 ,则 AI BC. 1,2D, 1,2A. 01 B. 0,2【测量目标】集合的基本运算

2、.【考查方式】考查了对数不等式及交集运算【难易程度】容易【参考答案】Dx|1 x 4 , B x|x, 2【试题解析】Q A x|0 log,x 1AI B x1 x 4 I x x蒯2x1 x 2 .uuu3 .已知点A 1,3 , B 4, 1 ,则与向量 AB同方向的单位向量为A.3,-455B.C.D.【测量目标】向量的基本概念 .【考查方式】给出两点坐标及方向，求同方向的单位向量【难易程度】容易【参考答案】Auur uuuAB 34【试题解析】 AB 3, 4 ,则与其同方向的单位向量 e wuurr （-,-）.AB 554 .下面是关于公差 d 0的等差数列 an的四个命题:P2

3、 :数列nan是递增数列；P4：数列an 3nd是递增数列;Pi :数列an是递增数列；p3：数列an-是递增数列;n其中的真命题为A. Pi , P2B. P3, P4C. P2, P3D. Pl, P4【测量目标】等差数列的性质【考查方式】给出 d的等差数列，求数列的增减性 .【难易程度】中等【参考答案】d【试题解析】根据等差数列的性质判定.Q d 0, an 1 an, p1是真命题，(步骤1)Q n 1 n,但是an的符号不知道，P2是假命题. (步骤2)同理p3是假命题.Q an 1 3(n 1)d an 3nd 4d 0, p4是真命题. (步骤3)5 .某学校组织学生参加英语测试

4、，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为 20,40 ,40,60 ,60,80 , 80,100，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是A. 45B.50 C.55D.60施率/组距0.02aoiaO.fll 0.005 P 20 41)6() KO I.CX)版绿分第5题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数，求总体频数.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是（0.005 0.01 20 0.3,所以 15该班的学生人数是15 50.0.36.在4ABC上，内角A,B,C所对的边长分别为则 B(

5、)一 冗_ 冗_ 2冗A. -B. -C.【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式八1 La,b,c. asinBcosC csinB8sA 3b，且 a b,5冗D.6【考查方式】给出三角形各边长及内角和边长的公式，求角【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】根据正弦定理与和角公式求解.由正弦定理可得1 .SinAsinBcosC sinCsin BcosA _sinB,（步骤 1） 211一又Q sinB 0, sinAcosC sinCcosA , sin（ A C） sinB .（步骤 2） 22Q a b,（步骤3）7.使得3x的展开式中含有常数项的最小的B.C. 6D. 7

6、【测量目标】二项式定理.【考查方式】考查了二项展开式的通项公式【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】根据二项展开式的通项公式求解.Q Tr 1=Cn3xC：3n rx5吊数项时，n r 0,当r 2 , n 5时成立.28.执行如图所示的程序框图，若输入n 10 ,则输出的A 5A.1110B.1136C.557255D.第8题图【测量目标】循环结构的程序框图【考查方式】给出输入值10,求输出值S.中等A【试题解析】10142一一210,（步骤 1） S 5162 1i 8<10,8210 10,_1 1025_,i 12 10, 11输出S.（步骤2）9.已知点0,0,Ba, a.

7、若4OAB为直角三角形,则必有C.【测量目标】直线的倾斜角与斜率B. bD. b【考查方式】给出三点坐标，由三角形l的边的性质,求出a,b之间的关系.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0 ,此时O, B重合，不符合题意；（步骤1）若一,根据斜率关系可知22 a3 b3,a g1 , a(a b) 1,即 ba0.以上两种情况皆有可能,故只有 C满足条件.（步骤2）10.已知直三棱柱 ABC AB1cl的6个顶点都在球。的球面上，若AB 3,AC 4, AB AC,AA1 12,则球。的半径为3-17 A.B. 2V

8、T02【测量目标】立体几何的综合问题C.132【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系，求三棱柱外接球的半径【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】根据球的内接三棱柱的性质求解.Q直三棱柱中AB 3,AC 4,AA 12, AB AC,BC 5,且BC为过底面ABC是截面圆的直径,取BC中点D ,则OD，底面ABC ,则O在侧面BCCiBi内，矩形BCCiBi的对角线长即为球直径,2R211.已知函数f x x 2 a 2 x2213,12513,即 R -22 a 2 x a2 8 .设H1(x) max f x ,g x , H2 x,max p,q表示p,q中的较大值,min p,q表示

9、p,q中的较小值，记H1的最小值为 A, H2 x的最小值为A. a2 2a 16B.a2 2a 16C. 16D.16【测量目标】二次函数的图象与性质【考查方式】给出两函数解析式，设出较大值、较小值、最大值、最小值，求最值【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】根据二次函数图象的特征解决曲 f (x) g(x),得(x a)2 4（步骤1）的抛物线，两图象在2时，两函数值相等.f（x）图象为开口向上的抛物线,g（x）图象为开口向下a 2处相交，则f(x)(x,Hi(x) g(x)(af (x)(x a2),x a 2),2),H2(x)g(x)(x, a f(x)(a 2 g (x)( x

10、 a2),x a 2),2),（步骤2）A H1(x)min f(a2) 4a4, BH2(x)max g(a 2) 4a 12,A B 16.(步骤 3)2e -一，则 x 0 时，f x8A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】通过构造函数，将问题转化，考查转化能力 灵活应用能力.【难易程度】较难【参考答案】D.通过导数判断函数单调性，考查知识的【试题解析】由题意知xf (x)x2 f (x)ex 2x2f(x).（步骤1）2ex12.设函数 f x 满足 x f x 2xf x 一, f 2

11、 x令 g (x) ex 2x2 f (x),则g (x) ex 2x2 f (x) 4xf (x)2 x2f(x)2xf (x)2ex（步骤2）由g (x) 0得x 2 ,当x 2时,g (x)min220,即g(x)0 ,则当x 0时,f （x） gx0 ,（步骤 3） x故f x在0,上单调递增，既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.（步骤4)第13题图【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，求体积 .【难易程度】容易【参考答案】16兀16【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个

12、正四棱柱，圆柱底面圆半径为2,高为4,故体积为16九；正四棱柱底面边长为 2,高为4,故体积为16,故题中几何体的体积为 16冗16.2_14.已知等比数列 an是递增数列，Sn是an的前n项和，若劣, %是方程x 5x 4 0的两个根,则&【测量目标】等比数列及其性质，等比数列的前n项和.【考查方式】给出方程，已知等比数列为递增数列，先求等比数列中两项值，即方程的两根，再由数列为递增数列求出数列的前n项和.【难易程度】中等【参考答案】63【试题分析】Q ai,a3是方程x2 5x 4 0的两个根，且数列 an是递增的等比数列，彳，c cc126al1,a34, q2, QS663.1

13、 22 2_ x y ,15 .已知椭圆C：1（a b 0）的左焦点为F,椭圆C与过原点的直线相交于 A,B两点，连a b- 44接 AF,BF ,若 AB 10, AF 6,cos ABF ，则 C 的离心率 e=.5【测量目标】余弦定理，椭圆的简单几何性质【考查方式】画图表示椭圆及直线位置，通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数，考查数形结合 的能力.【难易程度】中等5【参考答案】57【试题解析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为 Fi, Q直线过原点,AFBFi 6, BO AO .（步骤 1） 24在4ABF中，设BF x,由余弦定理得36 100 x 2 10x -

14、,（步骤2）5解得x 8,即|BF 8. BFA 90o, zABF是直角三角形，（步骤3）2a 6 8 14,即 a 7.（步骤 4）一 _1又 Q 在 RtzXABF 中，BO AO , OF - AB 5,即 c 5 ,（步骤 5）25e -.（步骤6） 716 .为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为4,且样本数据互相不相同，则样本数据中的 最大值为.【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数，求样本数据中的最大值【难易程度】较难【参考答案】10

15、【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为 x1,x2,x3, x4, x5,则由题意知x1 x2 x3 x4 x57,（Xi 7）2 （x2 7）2 （x3 7）2 （x4 7）2 诲 7）220,五个整数的平5方和为20,则必为0 1 1 9 9 20,由x 7 3可得x 10或x 4,由x 7 1可彳导x 8或X 6,由上可知参加的人数分别为4, 6, 7, 8, 10,故样本数据中的最大值为10.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 .（本小题满分 12 分）设向量 a 73 sin x,sin x , b cosx,sin x , x 0,.2（I）若a b求x的值；

16、 （n）设函数f x agb，求f （x）的最大值.【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最值【考查方式】给出两向量坐标，两向量模的关系，函数与向量的关系，求 x的值，函数的最大值【难易程度】容易【试题解析】（I） Q a2（V3sinx）2sin2 x4sin2x, b2cos2x sin2 x1, |ab,24sin x 1. （步骤 1）八一冗1冗.一又Qx0, _, sin x,x一.（步骤2）22627311冗 1（n） Q f （x） agb .3sinxgcosx sin x sin 2x cos2x sin（2x ）,22262当x e

17、0, 时，sin（2 x ）取最大值1. （步骤3）326f（x）的最大值为3. （步骤4）218 .（本小题满分12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面， C是圆上的点 （I）求证：平面 PAC 平面PBC;（II）若AB 2, AC 1, PA 1,求证：二面角C PB A的余弦值.第18题图【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系和空间向量及其运算【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的确定考查定理的灵活应用能力，空间直角坐标系的 建立考查空间想象能力及运算求解能力.【难易程度】中等 【试题解析】（I ）由AB是圆的直径 得AC BC ,（步骤1）由PA 平面AB

18、C, BC 平面ABC ,得PA BC,又 PAI AC A, PA 平面 PAC, AC 平面 PAC, BC 平面 PACQ BC 平面PBC 平面PBC 平面PAC .（步骤2）CB,CA,CM为x轴，y轴，z轴建立空（n）解法一：如图（1）,以点C为坐标原点，分别以直线 间直角坐标系.在 RtABC 中,Q AB又 QPA 1, A 0,1,0 uur _ uuu故CB 、3,0,0 ,CP设平面BCP的法向量为不妨令y 1 ,则n1uuuLUUQ AP 0,0,1 , AB设平面ABP的法向量为2, AC 1, BC 3.,B 73,0,0 ,P 0,1,1 .（步骤 3）0,1,1

19、 .uuuCB?n1 0, n1xI，y1，Z1 ,则 uuuCP?n1 0,0,1, 1 .（步骤 4） .3, 1,0 ,uuuAPgn2 0, n2x2,y2, z2，则 uurABgn2 0,、，3x10,yZ10,Z20,、.3x2 y2（步骤5）0,不妨令x21,则出1,73,0曰、36是 cos n1,n2 .224（步骤6）由图（1）知二面角C PBA为锐角，故二面角 CPBA的余弦值为第18题图（1）解法二：如图（2）,过C作CM AB于M ,Q PA 平面 ABC ,CM 平面 ABC, PA CM .又Q PAI AB A,且 PA 平面 PAB,AB 平面 PAB, C

20、M 平面 PAB.过M作MN PB于N,连接NC,由三垂线定理得 CN PB4BM2CNM为二面角C- PBA的平面角.（步骤3）在 RDABC 中，由 AB 2, AC 1,得 BC 73 ,CM在 RtPAB 中，由 AB 2,PA 1,得 PB BQ RtABNM s RtABAP, MN 13o 在 RtACNM 中，CN -,532. 5,MNcos CNM35二一.（步骤4）106,4第18题图（2）19 .（本小题满分12分）现.有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取 3道题解答.（I）求张同学至少取到 1道乙类题的概率； 3（II）已知所取的3道题中有2道甲类题

21、，1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是一，5一，一 ，一，一一 一 4 一，一一，, 一 , 答对每道乙类题的概率都是 -,且各题答对与否相互独立 .用X表小张同学答对题的个数，求 X的分5布列和数学期望.【测量目标】古典概型，互斥事件与对立事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望【考查方式】至少类问题反面求解考查转化化归能力，分布列及数学期望的求解考查运算求解能力.【难易程度】中等【试题解析】（1）设事件A 张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A张同学所取的3道题都是甲类题C31-5Q P A -C6- - , P A 1 P A 2.（步骤 1）C3066（2） X所有的可能

22、取值为0 ,1,2,3.（步骤2）0 3 0 2 2 14 一P X 0 =C2 g g g ；（少骤 3）555 1251 102PX 1 c2g3 g2 4+ag| g4 言；（步骤 4） 555555 125c-23 220 1 73 121 4575P X2C2g - g g：+C2g- g g：-;（少骤5）550555 1252 02 32 4 36p X 3 c2g - g - g-.（步骤 6）55 5 125X的分布列为：X0123P4125281255712536125（步骤7）4285736E X =0+ 1+ 2+ 3 2.（步骤8）12512512512520.（本小

23、题满分12分）如图，抛物线 G：x2 4y,C2:x22py p 0 ,点M %,y0在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为 A, B（M为原点。时，A,B重合于O）,x0 1 J2 ,切线MA，“一1的斜率为 1. 2（I）求p的值；（II）当M在C2上运动时，求线段 AB中点N的轨迹方程.A,B重合于。时,中点为O .第20题图【测量目标】导数的几何意义，圆锥曲线的轨迹方程【考查方式】给出两抛物线方程，利用导数的几何意义及坐标中点与直线的关系求解；利用椭圆与直线的位置关系及待定系数法求解.【难易程度】中等【试题解析】（I） Q抛物线C1：x2 4 y上任意一点（x, y）的切线斜率为y&

24、#39;且切线MA的斜率1.1为 , A点坐标为（1,（步酷1）1 切线MA的万程为y -（x 1）（步骤2）.Q点M（1 J2, y0）在切线MA及抛物线C2上,yo由得202) 4P 2.3 2 2小 . V。4(步骤4)2(12)22P3 2/2 “-.2p（步骤3）(H)设X1X2N(x, y),A(X1,)，B(X2,-2),X144X2,Q N为线段AB中点 x22X1（步骤5）切线MA,MB的方程为y 3（ x2Xi)X2由得MA,MB的交点M （ x0, y0）的坐标为XoX2)2X2Q点M （ Xo,yo）在C2上，即2X04y0,X1X2由得x243y,x 0.（步骤9）当

25、Xi X2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,AB中点N的轨迹方程为24x y.321.（本小题满分12分）已知函数f2x（i）求证:（ii）若 fg x恒成立，求实数X2 一，y。22X1X26坐标满足（步骤10）4X1X2（步骤6）（步骤（步骤7）8)3xax 1 2xcosx.当 x 0,1 时,2a取值范围.【测量目标】利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题【考查方式】第一问不等式的证明利用构造函数法，通过导数证明，考查简单的转化化归能力；第二问的两种解法都对转化化归能力进步升级考查,解法一利用第一问的结论进行转化,解法二通过构造函数，两次利用导数转化 .【难易程度】较难【试题

26、解析】（I ）证明：要证（步骤1）0,1 时,2x1 x eX,只需证明1XXx e 1 x e .(1 + x)eX 1 x（步骤2）要证0,1时，h x 0,因此0,1上是增函数,（步骤3）h 00,1 时,0 .所以f X1 x, X0,1 .(步骤 4)ex x(1 + x)e 2x1- x ，一，只需证明exx+1.(步骤5)1 xex 1 ,(步骤 6)当x 0,1时，K x 0,因此K x在0,1上是增函数，（步骤7）1一故 K x K 00 .所以 f x , , x 0,1 .（步骤 8）1 x1 综上，1 x蒯f x , x 0,1 .（步骤9）1 x32xx（n）解法一：

27、f x g x （1 + x）e ax - 1 2xcosx3 x T x ax 1 2xcosx 2 2 x _. .一x（a+1+ + 2cosx）.（步骤 10）2 x设 G x + 2cosx,则 G x x 2sinx.（步骤 11）2记 H x x 2sinx,则 H x 1 2cosx,（步骤 12）当x 0,1时，H x 0,于是G x在0,1上是减函数，（步骤13）从而当x 0,1时，G x G 00,故G x在0,1上是减函数.（步骤14）于是G x , G 02,从而 a+ 1 + G x , a+3.（步骤 15）所以，当a,3时，f xg x在0,1上恒成立.（步骤1

28、6）3 x 2xcos x2卜面证明当a3时，f xg x在0,1上不恒成立.f x g x , 1 ax1 x3 xxax 2xcos x1 x22x一a 一 2cosx ,（步骤 17）21a1 x（1 x）22cos xa G（x）,G （x）,（步骤 18）0,1 时，Ix 0,故I x在0,1上是减函数，（步骤19）记 G xsinx+ x，贝U G xcosx+1,（步骤 12）于是Ix在0,1上的值域为a+1+2cos 1, a+ 3.（步骤20）因为当a 3时，a+ 3>0,%0,1 ,使得I %0,（步骤21）此时f x0g x0 ,即f xg x在0,1上不恒成立.（

29、步骤22）综上，实数a的取值范围是 ，3 .（步骤23）1 1 O斛法一：先证当x 0,1时，1 -x蒯cosx 1 x .（步骤10）2 4、一1 2 一一.一记 F x cosx 1+x ,则 F xsinx+ x.（步骤 11）2当x 0,1时, 因此当x 0,1时,因此F xF0,所以当x同理可证，当0,1时，cosx,综上，当x0,1 时,1 lx22Q 当 x 0,1时,2x e（1 x）ax2xx在0,1上是增函数,（步骤13）0,0,1从而F x在0,1上是增函数.（步骤14）cosx.（步骤 15）.（步骤16）蒯 cosxax1 x2.（步骤42xcosx17）直线PQ的直

30、角坐标方程为x y 2 0 ,（步骤3）（步骤18）所以当a,下面证明当3时，f3时,x gf xx 在 0,1上恒成立.（步骤19）0,1上不恒成立.2x eax1 2xcosx11 x223x2ax2x 1工（a3（a3）x3）,（步骤20）x0一 一 a0,1（例如x0取33 一 1 ,一和一中的较小值）?两足f x0g x0 .（步骤21）2g x在0,1上不恒成立.（步骤22）综上，实数a的取值范围是,3 .（步骤 23）请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答日用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑22 .（本小题满分10分）

31、选修41:几何证明选讲如图，AB为半圆O的直径，直线 CD与半圆O相切于E, AD垂直CD于D, BC垂直CD于C ,EF垂直AB与F ,连接AE, BE .证明：（1） FEB CEB；（II） EF2 AD BC.【测量目标】几何证明选讲 .【考查方式】给出点、线、面之间的各种关系，根据圆中直线的垂直等角关系证明；根据圆中三角形 的全等和线段间的关系求解.【难易程度】容易【试题解析】（I ）Q直线CD与。O相切,CEB EAB.（步骤1)Q AB为。的直径，AE EB,EAB花EBF 一 ；2（步骤2) 可又Q EF AB,FEB EBF FEB EAB. FEB(n) Q BC CE, EF AB,RtABCE RtA BFE , BC2 CEB. FEBBF .（步骤3）（步骤4）C