2020高考数学二轮复习专题讲练11解析几何(直线与圆)(最新,超经典)

1、2020高考数学二轮复习专题讲练11解析几何（直线与圆）（最新，超经典）专题四解析几何小题增分专项1直线与圆全国卷3年考情分析考|题|细|目|表年份全国I卷全国n卷全国田卷2019未考查未考查未考查2018未考查未考查直线方程、圆的方程、 点到直线的距离T62017圆的性质、点到直 线的距离、双曲线 的几何性质T15圆的弦长问题、双 曲线的几何性质T9直线与圆的位置关 系、点到直线的距离、 椭圆的几何性质T10命|题|规|律1 .圆的方程近两年为高考全国课标卷命题的热点，需重点 关注。此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式呈现。2 .直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深 度，

2、对直线与圆的方程（特别是直线）的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上扣准费点1 .两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线11, 12的斜率k1, k2存在，则11/12? k1 = k2, I1H2? k1k2=- 1o若给出的直线方程中存在字母系数， 则 要考虑斜率是否存在。2 .两个距离公式点（Xo, yo）到直线1: Ax + By + C = 0的距离d =|Ax0+By0+C|A2+B2(2)两平行直线 li: Ax + By + Ci = 0 与 12： Ax + By + C2 =|Ci C2|0(Ci*C2)间的距离 d = A2+B2。3 .圆的方程(1)圆的标准方程：(x

3、 a)2+(y b)2 = r2(r0),圆心为(a, b), 半径为r。(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx + Ey + F= 0(D2+ E2 4F0),， D E 一，7D2+E2 4F圆心为一万，一2,半径为r=“24 .直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较： dr?相离。(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组， 利用判别式 A来讨论位置关系：A0?相交；A= 0?相切；A0 ?相离。拈析特讲直点攻其同翔8101a.考点考响研究考点一直线的方程【例1】(1)已知直线li: (k 3)x+(4k)y+1 = 0与直线12： 2

4、(k 3)x 2y+3=0 平行，则 k 的值是()A. 1 或 3B. 1 或 5C. 3 或 5D. 1 或 2解析 解法一：当k=4时，直线l1的斜率不存在，直线l2 的斜率存在，所以两直线不平行；当 k*4时，两直线平行的一13k4*23 k个必要条件是4k = k3,珈侍k= 3或k=5;但必须湎足(截距不等)才是充要条件，经检验知满足这个条件。故选AlB2=A2Bl, 解法二：Il/12?B1C2中 B2Cl-2 k-3 =2 k-3 4-k,解得k= 3或5。故选Co3 4-k 2X1,答案 C(2)在 ABC 中，A(1,1), ABC的面积最大时，m=(A. 2B(m, Vm

5、)(1m4), C(4,2),则当 )B.答案 BD.C. 2解析 由两点间距离公式可得|AC| =，10,直线AC的方程为|m3,m+2| 一x- 3y+2=0,所以点B到直线AC的距离d =左,从一 111-3.1而4ABC 的面积 S= 2|AC|d = 2|m3诉+2|=2 诉一万=4，一 .一3 _9 ,又1m4,所以1诉0,则点P到直线x+y=0 xx+x+ 4 2x + 4 2，2x44的距离 d=1 x = .x） 生 * = 4,当且仅当 2x=x，即*=啦时取等号，故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4o解法二：由 y=x+ 4（x0）得 y =1去 令 13= 1,得

6、xxxx=啦，则当点P的坐标为（V2, 3v2）时，点P到直线x+y=0 的距离最小，最小值为 啦音21=4。答案4考点二 圆的方程【例2】（1）（2019沈阳质量监测）古希腊数学家阿波罗尼奥 斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到 两个定点A, B距离之比是常数 X A0,届1）的点M的轨迹是圆。 若两定点A, B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则M点 的轨迹围成区域的面积为（）B. 2兀C. 3兀 D. 4兀解析 以A点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则可取B（3,0）o设M（x, y）,依题意有,W + y2 _ x- 3 2+ y22,化简整理得，x

7、2+y28x+12=0,即（x 4）2+y2=4,圆的面积为4兀。故选Do答案 D（2019河北省九校联考）圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上，直线3x+ 4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（）A, x2+y2 2x 3=0B. x2 + y2+ 4x=0C. x2+y2 -4x= 0D. x2 + y2 + 2x3= 0解析由题意设所求圆的方程为（xm）2+y2 = 4（m0）,则出震 =2,解得m=2或m= T(舍去)，故所求圆的方程为(x 2)2+y2 = 4,即 x2+y2 4x= 0。故选 C。答案 C求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过已知条件，利用相应的几何知识求圆的圆心

8、， 半径。(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数。【变式训练2(1)抛物线y2=4x与过其焦点且垂直于 x 轴的直线相交于A, B两点，其准线与x轴的交点为M ,则过M , A, B三点的圆的标准方程为 o解析 由题意知，A(1,2), B(1, 2), M(1,0), AMB 是以点M为直角顶点的直角三角形，则线段 AB是所求圆的直径, 故所求圆的标准方程为(x 1)2+y2=4。答案 (x 1)2+y2=4(2)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线 mxm+ 1 2 m2+ 1-y-2m-1=0(m R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方、.,|

9、m1|解析解法:由题意得：半径等于J =mm2+11 +患工 正患7当且仅当m=1时取等号, 所以半径最大为r=V2,所求圆为(x-1)2+y2=2o解法二：直线 mxy2m1 = 0, y=m(x2)1 恒过点 M(2, 1),如图，设 C(1,0),则M为切点时半径最大，且 rmax =|CM|=勺2- 1 2+ - 1 2 =痘，所以半径最大的圆的标准方程 为(x 1)2+y2 = 2o答案 (x- 1)2+y2=2考点三直线与圆、圆与圆的位置关系增分考点广度拓展A. 73B. /6 C. 3D. 9考向1直线与圆的位置关系【例3】(1)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C: (

10、x-2)答案 y=2x+ 1 或 y=x+1 (2)设直线x y a= 0与圆x2+y2=4相交于A, B两点，O 为坐标原点，若4 AOB为等边三角形，则实数 a的值为() + (y-3)2=1交于M, N两点，若|MN|=255,则直线l的方程为解析 直线l的方程为y=kx+ 1,圆心C(2,3)到直线l的距一|2k-3+1| |2k-2|, 2212/口 2k2 2离 d = 一12= I 2 .由 R2=d2+ 5|MN|2得 1 =2_ld +Nk2+1Vk2+12k2+11,解得k= 2或1,所求直线l的方程为y=2x+ 1或y=1x+ 1。522解析 由题意知：圆心坐标为(0,0

11、),半径为2,则4AOB的边长为2,所以4AOB的高为43,即圆心到直线x-ya=0的I 一 a I距离为也，所以方2 +1 2 =V3，角牛得a= =/6。故选Bo答案 B直线（圆）与圆位置关系问题的求解思路研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半 径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两 半径差与和的比较。（2）弦长的求解方法根据半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，构成三者l2间的关系r2=d2+4（其中1为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直 线的距离），弦长1 = 2r2d2o根据公式：1 = 0)关于y轴对称，则 k的最小值为()A. 233 B. V3 C.

12、 273D. 473.一 .一 .1 + 3解析 由圆C过点(0,1), (0,3)知，圆心的纵坐标为 亍=2,又圆C与x轴正半轴相切，所以圆的半径为 2,则圆心的横坐标x=22出22 =水，即圆心为 g 2),所以圆C的方程为(x小)2+(y2)2=4。因为k0,所以k取最小值时，直线y= kx与圆相切，可得 2 = |22,即 k2-443k=0,解得 k=4j3(k =0舍去)，故选Do答案 D考向2圆与圆的位置关系【例 4】(1)已知圆 C1： (x+2a)2+y2 = 4 和圆 C2： x2+(y-b)2= 1只有一条公切线，若 a, bGR且ab*0,则的最小 a b值为()A.

13、2B. 4 C. 8D. 9解析 由题意可知，圆Cl的圆心为（一2a,0）,半径为2,圆C2的圆心为（0, b）,半径为1,因为两圆只有一条公切线，所以 两圆内切，所以2a 02+ 0b2 = 2- 1,即 4a2 + b2= 1。所 1111b2 4a2b2 4a2以b2= 02+研锌+廿）=5+了+亨5 + 27 后=9,当b2 4a21, 1 且仅当?=黑，且4a2+b2=1,即a2=6, b2 = 3时等号成立，所以a十的最小值为9。故选Doa b答案 D（2）两圆 x2 + y2+4x 4y=0 和M, N,则线段MN的长为（）3 5八 6 5A. g B. 4 C.5解析两圆方程相

14、减，得直线圆x2 + y2+2x8=0的标准形式为x2+y2+ 2x 8=0相交于两点c 12 ；5D-5MN的方程为x2y+4=0,(x+1)2+y2 = 9,所以圆 x2+y2+ 2x- 8=0的圆心为（一1,0）,半径为3,圆心（一1,0）到直线 MN的距离d=-35,所以线段MN的长为2,32 -35 2=125O 故选Do答案 D(1)圆与圆位置关系的判断用几何法较直观、简单。(2)两圆的相交弦长问题可以转化为直线与圆的相交弦问题。【变式训练4】如果圆(x-a)2+ (y a)2 = 8上总存在到原点的距离为J2的点，则实数a的取值范围是()A. ( 3, 1)U(1,3)B. (

15、3,3)C. 1,1D. 3, 1U1,3解析 圆心(a, a)到原点的距离为|加矶，半径r = 2加。因为 圆(x a)2 + (y a)2= 8上总存在点到原点的距离为 虚，则圆(x a)2+(ya)2=8与圆x2+ y2= 2有公共点，r=也，所以r r w |J2a| Wr + r ，即 1w|a|03,解得 1 w a w 3 或一3w a w 1, 所以实数a的取值范围是3, - 1U 1,3o答案 D强化|训|练1.已知 ABC的三边长为 a, b, c,直线 ax+by+2c=0 与圆x2+y2=4相离，则 ABCM()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上情况都有

16、可能解析 因为直线ax+ by+ 2c= 0与圆x2 + y2=4相离，所以圆心到直线 ax+by+2c=0的距离 J2c|f2,即c2a2+b2,故 a2+ b2 ABC是钝角三角形。答案 C2.已知圆C： x2+y2=1,点P为直线x+2y4 = 0上一动 点，过点P向圆C引两条切线分别为PA, PB, A, B为切点， 则直线AB经过定点()111 1 八 33A - 2, 4 B，4 2 C,4，0 D 0, 4解析设P(4 2m, m)o因为FA, PB是圆C的切线，A, B 为切点，所以CAXFA, CBXPB,所以AB是圆C与以PC为直 径的圆的公共弦。易知以 PC为直径的圆的方

17、程为x-(2-m)22+ y 22=(2m)2 + m_ ，圆 C 的方程为 x2+y2=1 ，1得直线 AB的万程为2X(2 m)x+my= 1,即4x-4 + m(y1 1 ，一 2x) = 0,所以直线AB恒过定点 疝1 ,故选Bo答案 B重点增分专练(九)直线与圆A级基础达标一、选择题1 . “a=1” 是“直线 ax + (2a1)y+1 = 0 和直线 3x+ ay + 3=0垂直”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件1解析 当a= 1时，直线ax+ (2a 1)y+1 = 0的斜率是31直线3x+ ay+3=0的斜率是3, X3= 1,所以

18、两直线垂直。当 a=0 时，直线 ax+(2a1)y+1=0 和直线 3x+ ay+ 3=0 垂直。所以 力=1”是“直线ax+ (2a1)y+1 = 0和直线3x+ ay+ 3 =0垂直”的充分不必要条件。故选 A。答案 A2 .若直线l经过点A(1,2),且在x轴上的截距的取值范围是(3,3),则其斜率的取值范围是().11A. 1k1 或 k2C. 1k1 或 k 152解析 设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-2=k(x-1),则直线l在x轴上的截距为12,由题意可知3122或k 1。故选D。答案 D3.过点(3,1)作圆(x1)2+y2=r2的切线有且只有一条，则该 切线的方程为

19、()A. 2x + y-5=0B. 2x+y-7 = 0C. x-2y-5=0D. x-2y-7=0解析 依题意知，点(3,1)在圆(x1)2+y2=r2上，且为切点。1 一因为圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为2,所以切线的斜率k=-2。故过点(3,1)的切线方程为y1 = 2(x 3),即2x + y-7=0答案 B4.过点P（1,2）的直线与圆x2 + y2=1相切，且与直线ax+ y 1 = 0垂直，则实数a的值为（）4A . 0B . 23C. 0 或4D. 43 3解析 圆x2+y2=1的圆心为（0,0）,半径为1,显然点P（1, 2）在圆的外部。过点P能作2条圆的切线。当

20、切线斜率存在时， 设切线的斜率为k,则切线方程为y-2=k（x-1）,即kx-y + 2 k=0,根据圆心到直线 kx y+2k=0的距离等于半径1,可得|2一k|：k2+ 11,3 解得k=3o故与切线垂直的直线ax+ y 1 = 04 4的斜率为4,所以a= 40当k不存在时，可得a=0,也满足题 33意。故选C答案 C5 .已知圆01的方程为x2+y2=1,圆。2的方程为（x + a）2 + y2 = 4,如果这两个圆有且只有一个公共点，那么 a的所有取值 构成的集合是（）A. 1 , 1,3, -3B. 5 , 5,3, -3C. 1 , 1D. 3 , 3解析 圆心距d = |a|=

21、 2+1=3或d=|a|= 2 1 = 1,所以a =1, 1, 3, 3。故选 Ao答案 A6. （2019昆明市教学质量检测）已知直线y=ax与圆C: x2 + y26y+6=0相交于A, B两点，C为圆心。若AABC为等边 三角形，则a的值为（）A. 1B. 1C.小D. iJ3解析 圆的方程可以化为x2+(y3)2=3,圆心为C(0,3), 半彳仝为邓,根据4ABC为等边三角形可知 AB=AC = BC = 所以圆心C(0,3)到直线y=ax的距离d = #xq3 = 3,所以3=|ax 0 3|a2+ 1? 2=02+ 1 ? a= i73o答案 D7. (2019武汉市调研测试)在

22、平面直角坐标系中，O为坐标 原点，A(8,0),以OA为直径的圆与直线y=2x在第一象限的交)B. x-2y-8 = 0D. 2x-y- 16=0点为B,则直线AB的方程为(A. x + 2y-8=0C. 2x + y16 = 0解析如图，由题意知 OBLAB,因为直线 OB的方程为y = 2x, ，人一，1.所以直线AB的斜率为一1,因为A(8,0),所以直线AB的万程为-1y 0= 2仅一8),即 x + 2y 8=0,故选 A 0答案 A8.已知圆C: (x1)2+y2=25,则过点P(2, 1)的圆C的 所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是()A. 10v31B. 9回C

23、. 10V23D. 9解析易知P在圆C内部，最长弦为圆的直径10,又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|=V2,所以最短弦的长为12产下C2 = 2*12 =2必，故所求四边形的面积 S=2 x 10X2 必=10必。答案 C二、填空题9 .过点(1,1)的直线l与圆(x 2)2+(y3)2=9相交于A, B 两点，当|AB|=4时，直线l的方程为。解析 易知点(1,1)在圆内，且直线l的斜率k存在，则直线 l 的方程为 y1=k(x 1),即 kx y+1 k=0o 又|AB| = 4, r= 3,所以圆心(2,3)到l的距离d = 32-22 = 0)的准线为1,若l与圆C： (x 3)2 + y2=1相交所得弦长为 g 则a=。解析由y=ax2,得x2=y,所以准线1的方程为y=-1o a4a又1与圆C: (x- 3)2+y2=1相交的弦长为弧所以+乎21=1,又 a0