三角函数解三角形知识点总结

1、1.任意角的三角函数的定义 ：设a是任意一个角，P（x, y）是a的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是r=Jyx2 +y2 A0 ,那么 sinot =,cosur三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。2.三角函数在各象限的符号:（一全二正弦，三切四余弦）rsincostan3.同角三角函数的基本关系式:(1)平方关系：sin2.z cos2 ： =1,1 tan2（2）商数关系：tanot=sin"（用于切化弦）cos 二平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换4.三角函数的诱导公式诱导公式（把角写成形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）si

2、n(2k 二 x) = sin xI) cos(2k 二 x)=cosxtan(2k 二 x)=tanxn)sin(-x)=cos(-x)=-sin xcosx出）tan(-x) - - tan xsin(.二 +x) = - sin x cos(二 x) = - cos x tan(二 x) = tan xIsin(二 -x) =sinxW)cos(T f) = -cosxtan(霆 一x) = -tanxji sin(一2ncos(2一二）=cos .：sY) = sin -VI)rJIsin( +u) =cos£ncos( +a) = sinuL 25.特殊角的三角函数值度03

3、0：456090120，135150180270 n360弧度0JI6冗4冗3冗22n3n5n"6"ji3n2nsin a012五2在21旦2受212010cos 口1同 2加 212012互2一也2-101tana0631而无-V3-1旗 30无06.三角函数的图像及性质y =sin xy = cos xy = tan x图 像1 yy J1 111 n 耳J J手 ni-i7jVl/ 工0rx定 义 域RRJ"n1x x # kn + ,k w Z bk2,J值 域-1,1】1-1,1R最 值冗当 x=2kn +-(kZ )时，ymax =1 ；当 x = 2

4、kn(kw Z )时，ymax =1 ;当 x = 2kn +n既无最大值也无最小值当 x=2kn -l(k = Z )时，ymin - -1 (kWZ)时,ymin=-1.周 期 性2n2nJI奇 偶 性奇函数偶函数奇函数单 调 性在 I +2kn, +2kn 1 221(kw Z)上是增函数；在 I+2ku, + 2kn 1221(kw Z )上是减函数.1在 I-n +2kn,2kn (kw Z )上是增函数；在2E,2kn 十几(kwZ )上是减函数.冗，冗) 在 k兀一 一，ku 十 一122；(kw Z )上是增函数.对 称 性对称中心(kn,0 %k WZ )JT对称轴 x =k

5、n +'(k Z Z 2)对称中心(冗)+ ,0 l(k Z )12J'对称轴x = kn (k w Z )对称中心f,0 )(k w Z )I 2 J,无对称轴7 .函数y = Asin(8x +邛)图象的画法：“五点法”一一设 X =0x+中，令X =0, 2,兀，31,2n求出相应的x值，计算得出五22点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。8 .图像的平移变换：函数y = Asin(缶x +中)+k的图象与y = sinx图象间的关系第一种变换：图象向左（¥>0 ）或V = sin y y向右平移|加个单位横坐标伸长（0 <

6、/ < 1）或缩短（> 1）到原来的纵坐标不变y = sin(x + (p)1-y = sin(&c f (p)纵坐标伸长（A>1 ）或缩短（。口）到原来的A信糙坐标不变第二种变换：y-A sin(物 + (p)1.横坐标伸长）或缩短>>1）到原来的占 倍解一高力ary - sin ¥ y - sin tar纵坐标不变图象向左（3>0 ）或向右（.<（）平移回个单位纵坐标伸长（AX ）或缩短（XA<1倒原来的A倍* y = sin(c+0)横坐标不变+ y 二力袋in（6ir +尹）要特别注意，若由y=sin（8x）得到y =

7、sin（8x +邛）的图象，则向左或向右平移应平移华人一、| 一 |个单位 o例：以y = sinx变换至U y = 4sin(3x + g)为例31冗y=sinx向左平移 个单位 （左加右减） y = sinx + 3kI 3 J1横坐标变为原来的 一倍（纵坐标不变）y=sin 3x+3一,3纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）y=4sin' 3x +- 'i.31.y =sin x横坐标变为原来的一倍（纵坐标不变）3.y = sin 3x向左平移一个单位（左加右减）9纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） A.(n )(n )y = sin 31 x = sin I 3x 9.3

8、(IT )y =4sin 3x 一3注意：在变换中改变的始终是x9、三角恒等变换1 .两角和与差的正弦、余弦、正切公式：(1) sin(ot +P) = sin a cos P +sinacosP(2) sin(a - P) =sina cos P -sin a cosP(3) cos" +P) =costcosP -sinasinP(4) cos« -P) =costcosp +sinasinPtan : Tan ：-，(5) tan" + P)=- = t an + tafn =t an+ 用 -1 (tan )Pt an1 Tan 二 tan :tan -

9、- tan 1-(6)tan(aF)= tan - ta瓯=，而一除 +1 (tan)Ptan1 tan ： tan :asina+bcosa = JO二T/sinQ十中)(其中，辅助角中所在象限由点(a,b)所在的象限决定，sin邛=.b - cos中=.a tan邛=b ,该法也叫合一变形). ,a2 b2 ,a2 b2, a-1 tan r,.、1 tan 1 '/二.(8) tan( )tan(- -)1 Tan41 tan 410、二倍角公式(1) sin 2a =2sin acosa(2)cos2a = cos2a -sin2 a =1 -2sin2a = 2cos2 a

10、-1(3)tan 2 a =2 tanaI -tan aII .降哥公式:(1)21 cos2acos a :221 - cos2a(2) sin a =212. 升哥公式2 ：-(1) 1 +cosu = 2cos22(3) 1 ±sin a =(sin £±cos5)aa sin « =2 sin cos 222 ：-(2) 1 -cosa = 2sin2(4) 1 = sin2 a + cos2 a13.三角变换：函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式:a sin【 bcos -.a2b2sin(1+ 其中 costp _

11、a 2 ,sin <p - 2b2a2 - b2a2 - b2y =sin x . 3 cosx = J12 (. 3)2 (-sin x cosx)比如：.12 ( 3)212 ( 3)21 .3、=2(sin x cosx)22=2(sin xcos cosxsin )=2sin(x ) 333注意：“凑角”运用：a=(a+p)_p,14、三角形中常用的关系：sin A =sin(B +C),cos A = cos(B +C),A B Csin 一 二 cos22sin 2A = sin2(B +C),cos2 A = cos 2( B C)常见数据:sin15 -75 =，sin7

12、5 =cos15tan15 -2-<3, tan75 =23,15、正弦定理：在AABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为&BC的外接圆的半径，则有 ="=3=2R (R是三角形外接圆半径). sin A sin 二 sin C注：正弦定理的变形公式： a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC； sin A = sin B =- sinC =- ；2R2R2R a : b : c = sin A: sin m:sin C 16、余弦定理：在AABC中，有222.c = a b - 2abcosC2,22222a =b +c 2bccosA ,

13、b =a +c 2accosB ,2 .2注:余弦定理的推论：cosA=bc-2bc2-a- , cosB =.2.2222c -ba b -c,cosC =2ac2ab1 1117 二角形面积公式：SC= 2bcsinA = 2absme = 2aCSinB1S冷BC = 1区两边之积父两边夹角的正弦值一1 4 士S否BC = 2底父同注：（1）如果一个三角形两边的平方和等于第三边，那么第三边所对的角为 直角;如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对角为锐角。（课本第6页右下角） 例如a、b、C是AAB C的角A、B、C的对边，贝U:若a2 + b2 = c2 , WJ C = 90" ;若 a2+b2<c2,贝U. 90°<C <180 1