中考数学四边形压轴题+解析

1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除九年级上册四边形压轴题2.解答题（共30小题）1,四边形ABCD是正方形，点 E是1. （2009?临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图只供学习与交流边BC的中点./AEF=90,且EF交正方形外角/DCG的平分线 CF于点F,求证：AE=EF .经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点 M,连接 ME,则AM=EC ,易证AMEECF,所以 AE=EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究:（1）小颖提出：如图2,如果把 尊E是边BC的中点”改为 熏E是边BC上（除B, C外） 的任意一点”，其它条件不变，那么结论AE=EF”仍然成立，你认

2、为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上（除 C点外）的任意一点，其他条件不变， 结论AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.2. （2009?宁德）如图（1）,已知正方形 ABCD在直线 MN的上方，BC在直线 MN上，E 是BC上一点，以 AE为边在直线 MN的上方作正方形 AEFG .（1）连接 GD,求证：ADGABE;（2）连接FC,观察并猜测/ FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2）,将图（1）中正方形 ABCD改为矩形 ABCD , AB=a , BC

3、=b （a、b为常数）， E是线段BC上一动点（不含端点 B、C）,以AE为边在直线 MN的上方作矩形 AEFG ,使 顶点G恰好落在射线 CD上.判断当点E由B向C运动时，/ FCN的大小是否总保持不变？ 若/ FCN的大小不变，请用含 a、b的代数式表示tan/FCN的值；若/ FCN的大小发生改 变，请举例说明.3. (2009哦石)如图， 4ABC中，点。是边AC上一个动点，过 O作直线 MN / BC,设MN交/ BCA的平分线于点 巳交/ BCA的外角平分线于点 F.(1)探究：线段 OE与OF的数量关系并加以证明；(2)当点O在边AC上运动时，四边形 BCFE会是菱形吗？若是，请

4、证明；若不是，则说明理由；(3)当点O运动到何处，且 4ABC满足什么条件时，四边形 AECF是正方形？BC D4. (2009?无锡校级二模)如图，在平面直角坐标系中，点 A、点C同时从点O出发，分别 以每秒2个单位、1个单位的速度向x轴、y轴的正半轴方向运动，以 OA、OC为边作矩形OABC.以M (4,0),N (9,0)为斜边端点作直角 4PMN ,点P在第一象限，且tan/PHN当点A出发时，4PMN同时以每秒0.5个单位的速度沿 x轴向右平移.设点 A运动的时间 为t秒，矩形 OABC与4PMN重叠部分的面积为 S.(1)求运动前点P的坐标；(2)求S与t的函数关系式，并写出自变量

5、t的取值范围；(3)若在运动过程中，要使对角线AC上始终存在点 Q,满足/ OQM=90°,请直接写出符合条彳的t的值或t的取值范围.5. (2008?北京)请阅读下列材料：问题：如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A, B, E在同一条直线上，P是线段DF ur的中点，连接 PG, PC.若/ ABC= /BEF=60°,探究PG与PC的位置关系及火的值.PC小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H,构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：(1)写出上面问题中线段 PG与PC的位置关系及 良的值；PC(2)将图1中的菱形BE

6、FG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD 的边AB在同一条直线上，原问题中白其他条件不变(如图 2).你在(1)中得到的两个结 论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；(3)若图1中/ ABC= / BEF=2 a (0°< a< 90°),将菱形 BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出骂的值(用含a的式子表示).PC图1图2 E6. (2008?厦门)已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD (AD>AB),将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕 EF交AD边于E,交BC边于F,分别连接AF和C

7、E.(1)求证：四边形 AFCE是菱形；2(2)若 AE=10cm, ABF的面积为 24cm ,求4ABF的周长；(3)在线段AC上是否存在一点 P,使得2AE2=AC?AP?若存在，请说明点 P的位置，并 予以证明；若不存在，请说明理由.D7. (2008?嘉兴)小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：(1)如图1,正方形 ABCD中，作 AE交BC于E, DFXAE交AB于F,求证：AE=DF ;(2)如图2,正方形 ABCD中，点E, F分别在AD , BC上，点G, H分别在AB , CD上,且EFXGH ,求生的值;GH(3)如图3,矩形ABCD中,AB

8、=a , BC=b，点 E, F 分别在 AD , BC 上，且 EFXGH ,求世的值.B E C B8. (2008?宁夏)如图，在边长为 4的正方形 ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连 接DP交AC于点Q.(1)试证明：无论点 P运动到AB上何处时，都有 ADQ0ABQ;(2)当点P在AB上运动到什么位置时, ADQ的面积是正方形 ABCD面积的工；(3)若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中，当点 P 运动到什么位置时， 4ADQ恰为等腰三角形.9. (2008?昌平区二模)如图，已知 4ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线 BC 上)，B是点

9、B关于直线AC的对称点，C是点C关于直线AB的对称点，连接 BC'、CB'、 BB '、CC(1)猜想线段BC与CB'的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形BCB C为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述(不用证明)(3)当点A在线段BC的垂直平分线(BC的中点及到BC的距离为 近空的点除外上运动6时，判断以点B、C、B'、C为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图.(不用证明)10. (2007?常德)如图1,已知四边形 ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F,过F作FH / CD交BC

10、于H,可以证明结论 辞多成立.(考生不必证明) AB BG(1)探究：如图2,上述条件中，若 G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否 成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(2)计算：若菱形 ABCD中AB=6 , / ADC=60 °, G在直线 CD上，且 CG=16,连接BG 交AC所在的直线于 F,过F作FH / CD交BC所在的直线于 H,求BG与FG的长.(3)发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论 辞卷还成立吗？AB BG11. (2007?宜昌)如图 1,在 4ABC 中，AB=BC=5 , AC=6 . 4ECD 是4ABC 沿 BC 方

11、向 平移得到的，连接 AE . AC和BE相交于点O.(1)判断四边形 ABCE是怎样的四边形，说明理由；(2)如图2, P是线段BC上一动点(图2),(不与点B、C重合)，连接PO并延长交线段 AE于点Q, QRXBD ,垂足为点 R.四边形PQED的面积是否随点 P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求 出四边形PQED的面积； 当线段BP的长为何值时， 4PQR与BOC相似.12. (2007?潍坊)已知等腰 4ABC中，AB=AC , AD平分/ BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点 P (A点除外)，过P点作EF / AB ,分别交 AC , BC于E, F点，作PM

12、/ AC , 交AB于M点，连接ME.(1)求证：四边形 AEPM为菱形；(2)当P点在何处时，菱形 AEPM的面积为四边形 EFBM面积的一半？CR 鼠B状，并说明理由.13. (2007?永州)在梯形 ABCD 中，AB / CD, / ABC=90 °, AB=5 , BC=10 , tan/ADC=2 .(1)求DC的长；(2) E为梯形内一点，F为梯形外一点，若 BF=DE , / FBC= / CDE ,试判断 ECF的形BEX EC, BE: EC=4: 3,求 DE 的长.14. (2007?常州)已知，如图，正方形 ABCD的边长为6,菱形EFGH的三个顶点 E,

13、G,H分别在正方形 ABCD边AB, CD, DA上，AH=2 ,连接 CF.(1)当DG=2时，求4FCG的面积；(2)设DG=x,用含x的代数式表示 4FCG的面积；(3)判断 FCG的面积能否等于1,并说明理由.15. (2007?海南)如图，在正方形 ABCD中，点F在CD边上，射线 AF交BD于点E,交 BC的延长线于点G.(1)求证：ADECDE;(2)过点C作CHLCE,交FG于点H,求证：FH=GH ;(3)设AD=1 , DF=x,试问是否存在 x的值，使4ECG为等腰三角形？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由.A1E1=3, C1E1=2 时，求 BD 的长.1

14、6. (2007?哈尔滨)如图1,在正方形 ABCD中，对角线 AC与BD相交于点E, AF平分 / BAC ,交BD于点F.(1)求证：ef+1ac=ab ；2(2)点C1从点C出发，沿着线段 CB向点B运动(不与点B重合)，同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点 C1与A1的运动速度相同，当动点 C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动. 如图2, A1F1平分/ BA1C1,交BD于点F1，过点F作F1EUA1C1,垂足为E1，请猜想E1F1, 1A£1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想;，:(3)在(2)的条件下，当17. （2006?河南）如图 4ABC 中

15、，/ ACB=90 度，AC=2 , BC=3 . D 是 BC 边上一点，直线 DEXBC于D,交AB于点E, CF / AB交直线 DE于F.设CD=x .(1)当x取何值时，四边形 EACF是菱形？请说明理由;(2)当x取何值时，四边形 EACD的面积等于2?18. (2006?温州)如图，在 ？ABCD中，对角线 AC ± BC, AC=BC=2 ,动点P从点A出发 沿AC向终点C移动，过点P分另1J作PM / AB交BC于M , PN / AD交DC于N .连接AM .设AP=x(1)四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由；(2)当x为何值时，四边形 PMCN的面积

16、与4ABM的面积相等？ADB A/ C19. (2006?沈阳)如图1,在正方形 ABCD中，点E、F分别为边 BC、CD的中点，AF、 DE相交于点G,则可得结论： AF=DE ,AF，DE (不须证明).(1)如图，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足 CE=DF ,则上 面的结论、是否仍然成立；(请直接回答 成立”或不成立”)(2)如图，若点E、F分别在正方形 ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF , 此时上面的结论 、是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.(3)如图，在(2)的基础上，连接 AE和EF,若点M、N、P、Q分别为

17、AE、EF、FD、 AD的中点，请先判断四边形 MNPQ是矩形、菱形、正方形、等腰梯形 ”中的哪一种，并写 出证明过程.20. (2006?成都)已知：如图，在正方形 ABCD中，AD=12,点E是边CD上的动点(点 E 不与端点C, D重合)，AE的垂直平分线 FP分别交AD , AE, BC于点F, H, G,交AB 的延长线于点P.(1)设DE=m (0v m<12),试用含m的代数式表示 史的值；HG典时，求BP的长. HG-221. (2006?汾阳市)如图，点 E在正方形 ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F.(1)如图1,当点E运动到DC的中点时，求 4ABF与四边形

18、ADEF的面积之比；(2)如图2,当点E运动到CE: ED=2 : 1时，求4ABF与四边形 ADEF的面积之比；(3)当点E运动到CE: ED=3: 1时，写出4ABF与四边形 ADEF的面积之比；当点 E运 动到CE: ED=n : 1 (n是正整数)时，猜想 4ABF与四边形ADEF的面积之比(只写结果，不要求写出计算过程)；(4)请你利用上述图形，提出一个类似的问题(图2)(备用图)(备用图)22. (2005?资阳)阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件： 三角形的一边与矩形的一边重合， 且三角形的这边所 对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的

19、友好矩形"，如图所示，矩形ABEF即为4ABC的友好矩形”，显然，当4ABC是钝角三角形时，其 友好矩形”只有 一个.(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的友好平行四边形”；(2)如图，若4ABC为直角三角形，且/ C=90 °,在图中画出4ABC的所有 友好矩 形”，并比较这些矩形面积的大小；(3)若4ABC是锐角三角形，且BOAOAB ,在图 中画出4ABC的所有 友好矩形”, 指出其中周长最小的矩形并加以证明.23. (2005?重庆)已知四边形 ABCD中，P是对角线 BD上的一点，过P作MN /AD , EF/CD , 分别交 AB、CD、AD、BC于点M、N

20、、E、F,设a=PM?PE, b=PN?PF,解答下列问题：(1)当四边形ABCD是矩形时，见图1,请判断a与b的大小关系，并说明理由；(2)当四边形 ABCD是平行四边形，且/ A为锐角时，见图2, (1)中的结论是否成立？ 并说明理由；（3）在（2）的条件下，设生.小是否存在这样的实数k,使得,平行四边形PEAM二W?若存PDS瓯飞在，请求出满足条件的所有k的值；若不存在，请说明理由.E D 且 E D图1图224. （2005?大连）如图，操作：把正方形 CGEF的对角线 CE放在正方形 ABCD的边BC的 延长线上（CG>BC）,取线段AE的中点M.探究：线段MD、MF的关系，并

21、加以证明.说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3步）；（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列 、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明.注意：选取 完成证明得10分；选取完成证明得7分；选取完成证明得5分.DM的延长线交 CE于点N ,且AD=NE ; 将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45° （如 图），其他条件不变； 在的条件下，且 CF=2AD .附加题：将正方形 CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变.探究：线段 MD、MF的关系，并加以证明.如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则A

22、GDF（结果25. （2005?湖州）26. (2005?郴州)附加题：E是四边形ABCD中AB上一点(E不与A、B重合).(1)如图，当四边形ABCD是正方形时， AADE > 4BCE和4CDE的面积之间有着怎样的关系？证明你的结论.B(1)中的结论是否仍然成立？为什么？ABCD是平行四边(3)当四边形ABCD是梯形时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由.1的正方形 ABCD上，并使B ,另一边与射线DC相交于27. (2005?深圳校级自主招生)如图，将一三角板放在边长为它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点Q.探究：设A、P两点间的距离为x.(1)当点Q在边CD上

23、时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；(2)当点Q在边CD上时，设四边形 PBCQ的面积为v,求y与x之间的函数关系，并写 出函数自变量x的取值范围；(3)当点P在线段AC上滑动时，4PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使4PCQ成为等腰三角形的点 Q的位置.并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由.28. (2004?贵阳)如图，四边形ABCD中，AC=6 , BD=8且AC，BD .顺次连接四边形 ABCD各边中点，得到四边形 A1B1C1D1；再顺次连接四边形 A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2 c2D2 如此进行下去彳#到四边形AnBnCnDn

24、 .(1)证明：四边形 A1B1C1D1是矩形；(2)写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2c2D2的面积;(3)写出四边形 AnBnCnDn的面积；(4)求四边形A5B5c5D5的周长.29. (2004?无为县)(1)如图(1),在正方形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O,易知 AC ± BD ,AC 2(2)如图(2),若点E是正方形 ABCD的边CD的中点，即过D作DGLAE,分DC 2别交AC、BC于点F、G.求证：里；AC 3(3)如图(3),若点P是正方形ABCD的边CD上的点，且里(n为正整数)，过点DDC n作DN，AP,分别交AC、BC于点M、N ,请

25、你先猜想CM与AC的比值是多少，然后再证30. (2004?佛山)如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形.(1)如图，在4ABC中，BC=a, BC边上白高 AD=h a, EFGH >AABC的内接正方形. 设 正万形EFGH的边长是x,求证：在-uL(2)在 RtAABC中，AB=4 , AC=3 , / BAC=90度.请在图 ，图 中分别画出可能的 内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；(3)在锐角4ABC中，BC=a, AC=b , AB=c ,且a< bvc.请问这个三角形的内接正方

26、形 中哪个面积最大？并说明理由.九年级上册四边形压轴题一.解答题(共1. (2009?临沂)30小题)数学课上,边BC的中点./AEF=90张老师出示了问题：如图 ,且EF交正方形外角/GDFB ECG图21,四边形AB的中点 M,连接 ME,则AM=EC ,易ABCD是正方形，点E是AE=EF .参考答案与试题解析经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 证AMEECF,所以 AE=EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出：如图2,如果把 尊E是边BC的中点”改为 熏E是边BC上(除B, C外) 的任意一点”，其它条件不变，那么结论AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正

27、确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2)小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除 C点外)的任意一点，其他条件不变， 结论AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质.题: 分 析:解答:几何综合题；压轴题.(1)在AB上取一点 M,使AM=EC，连接ME ,根据已知条件利用 ASA判定 AMEECF,因为全等三角形的对应边相等，所以 AE=EF.(2)在BA的延长线上取一点 N,使AN=CE ,连接NE,根据已知利用 ASA判定 ANEA ECF,因为全等三角形的对应边

28、相等，所以 AE=EF .解：(1)正确.证明：在 AB上取一点 M,使AM=EC ,连接 ME.BM=BE , ./ BME=45 °, ./ AME=135 °,. CF是外角平分线，/ DCF=45 °, ./ ECF=135 °, ./ AME= ZECF, / AEB+ / BAE=90 °, / AEB+ / CEF=90 °, ./ BAE= /CEF, . AME ECF (ASA), . AE=EF .(2)正确.证明：在BA的延长线上取一点 N .使AN=CE ,连接NE.BN=BE ,Z N= Z NEC=45

29、°, CF 平分/ DCG , ./ FCE=45 °, ./ N= Z ECF , 四边形ABCD是正方形， .AD / BE,/ DAE= / BEA ,即/ DAE+90 °=Z BEA+90 °, ./ NAE= /CEF,ANEA ECF (ASA), AE=EF .金卜D /C£ GA.nq J u点此题主要考查学生对正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法的掌握评：情况.2. （2009?宁德）如图（1）,已知正方形 ABCD在直线 MN的上方，BC在直线 MN上，E 是BC上一点，以 AE为边在直线 MN的上方作正方形

30、 AEFG .（1）连接 GD,求证：ADGABE;（2）连接FC,观察并猜测/ FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2）,将图（1）中正方形 ABCD改为矩形 ABCD , AB=a , BC=b （a、b为常数）， E是线段BC上一动点（不含端点 B、C）,以AE为边在直线 MN的上方作矩形 AEFG ,使 顶点G恰好落在射线 CD上.判断当点E由B向C运动时，/ FCN的大小是否总保持不变？ 若/ FCN的大小不变，请用含 a、b的代数式表示tan/FCN的值；若/ FCN的大小发生改 变，请举例说明.M R E C 4V MB ec y图图考点:专题:分析:解答:正方形的性质；全等三

31、角形的判定与性质；矩形的性质.压轴题；动点型.(1)根据三角形判定方法进行证明即可.(2)作FHXMN于H.先证 AABEA EHF,得到对应边相等，从而推出4CHF是等腰直角三角形，/ FCH的度数就可以求得了.(3)本题也是通过构建直角三角形来求度数，作 FHLMN于H, / FCH的正切值 就是FH: CH.(1)证明：二.四边形 ABCD和四边形 AEFG是正方形，AB=AD , AE=AG , / BAD= / EAG=90 °, / BAE+ / EAD= / DAG+ / EAD ,/ BAE= / DAG , . BAEA DAG .(2)解：/ FCN=45

32、76;,理由是：作FHXMN于H, . / AEF= Z ABE=90 °, ./ BAE+ / AEB=90 °, / FEH+ ZAEB=90 °, / FEH= / BAE ,又AE=EF , / EHF= / EBA=90 °, . EFHA ABE , FH=BE , EH=AB=BC , CH=BE=FH , . / FHC=90 °, ./ FCN=45 °.(3)解：当点E由B向C运动时，/ FCN的大小总保持不变，理由是：作FHXMN于H,由已知可得/ EAG= / BAD= / AEF=90 °,结合(1

33、) ( 2)得/ FEH= / BAE= / DAG ,又 G在射线CD上，/ GDA= / EHF= / EBA=90 °, EFHA GAD , EFH abe , . EH=AD=BC=b ,CH=BE ,，典典圆；AB BE CH在 RtAFEH 中，tan/FCN=q=J=",CH AB a当点E由B向C运动时，/ FCN的大小总保持不变，tan/FCN=A.GMB E C H N图(1)点本题考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重评：点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例.3. (2009哦石)如图， 4ABC中，点。

34、是边AC上一个动点，过 O作直线 MN / BC,设MN交/ BCA的平分线于点 巳交/ BCA的外角平分线于点 F.(1)探究：线段 OE与OF的数量关系并加以证明；(2)当点O在边AC上运动时，四边形 BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；(3)当点O运动到何处，且 4ABC满足什么条件时，四边形 AECF是正方形？BC D考正方形的判定；平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的判定.点：专 几何综合题；压轴题.题：分 (1)利用平行线的性质由角相等得出边相等；析：(2)假设四边形BCFE ,再证明与在同一平面内过同一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾；(

35、3)利用平行四边形及等腰直角三角形的性质证明四边形AECF是正方形.解 解：(1) OE=OF .答： 证明如下：. CE是/ ACB的平分线, 1 = 72. MN / BC,1 = 73.2=/3.OE=OC .同理可证OC=OF.，OE=OF. （3 分）(2)四边形BCFE不可能是菱形，若四边形 BCFE为菱形，则BFXEC, 而由(1)可知FCLEC,在平面内过同一点 F不可能有两条直线同垂直于一条直线.(3分)(3)当点O运动到AC中点时，且4ABC是直角三角形(/ ACB=90 °)时，四边形 AECF是正方形.理由如下：. O为AC中点， OA=OC , 由(1)知

36、OE=OF , 四边形AECF为平行四边形； /1 = /2, /4=/5, / 1 + /2+/4+/5=180°,.Z 2+7 5=90 °,即/ ECF=90 °,?AECF为矩形，又 AC XEF.?AECF是正方形. 当点。为AC中点且4ABC是以/ ACB为直角三角形时，四边形 AECF是正方 形.(3分)3点评:本题考查的是平行线、角平分线、正方形、平行四边形的性质与判定，涉及面较广,般通过角判定一些三角形，多边形的形状，需在解答此类题目时要注意角的运用, 同学们熟练掌握.4. (2009?无锡校级二模)如图，在平面直角坐标系中，点A、点C同时从点O

37、出发，分别以每秒2个单位、1个单位的速度向x轴、y轴的正半轴方向运动，以 OA、OC为边作矩形 OABC.以M (4,0),N (9,0)为斜边端点作直角 4PMN ,点P在第一象限，且tanNPHN：), 当点A出发时，4PMN同时以每秒0.5个单位的速度沿 x轴向右平移.设点 A运动的时间 为t秒，矩形 OABC与4PMN重叠部分的面积为 S.(1)求运动前点P的坐标；(2)求S与t的函数关系式，并写出自变量 t的取值范围；(3)若在运动过程中，要使对角线AC上始终存在点 Q,满足/ OQM=90°,请直接写出符合条彳的t的值或t的取值范围.矩形的性质；圆周角定理；切线的性质.压

38、轴题；动点型.分析:题:(1)过点P作PHx轴于H,可求出MH的长即点P的横坐标，再根据tan/PMN=L2及勾股定理便可求出点P的坐标.(2)因为点A;点C同时从点。出发，点M (4, 0), APMN同时以每秒0.5个单 位的速度沿x轴向右平移，运动t秒后，OA=2t, OM=4+0.5t ,当 OvOA<OM ,即 0 V,两图形无交点;Q 1 6 当 OMVOA9H,即 4+0.5tv2tm+0.5t 时，即日 vt考时，矩形 OABC 与 4PMN33重叠部分的面积为 S等于重叠的三角形的面积. 当 OHvOARN,即 8+0.5tv 2t <9+0.5t,即16vt由时

39、，矩形 OABC与4PMN重叠矩部分的面积为 S等于 MNP的面积减去不重叠的三角形的面积. 当OA>ON,即2t>9+0.5t, t>6时，矩形OABC与4PMN重叠矩部分的面积为 S等于4MNP的面积.(3)根据圆周角定理可知，当以 OM为直径的圆与 AC有公共点时，公共点即是符 合条件的点Q,即可求出t的取值范围.解答:解：(1)如图，过点P作PH±x轴于H . MN=9 - 4=5, tanZPMN=-,2.PM=2近，PN=近，PH=2, MH=4 , NH=1 .P (8, 2).(2)运动 t 秒后，OA=2t , OC=t, OM=4 0.5t.当0

40、<t复时，S=0；3当包vtwk1时，s=Lt2 3t+4；3316当 Uvt甫时，S=-?t2+27t- 76;34当 t>6 时，S=5.(3)当以OM为直径的圆与 AC有公共点时，公共点即是符合条件的点Q.当以OM为直径的圆与 AC相切时，t= 16遮+24,点此题是典型的动点问题， 比较复杂，考查了同学们对圆及三角形，矩形，等相关知识评：的掌握情况，有一定的难度.5. (2008?北京)请阅读下列材料：问题：如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A, B, E在同一条直线上，P是线段DF 的中点，连接 PG, PC.若/ ABC= /BEF=60°,探究PG与

41、PC的位置关系及骂的值.PC小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H,构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：(1)写出上面问题中线段 PG与PC的位置关系及 更的值；PC(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD 的边AB在同一条直线上，原问题中白其他条件不变(如图 2).你在(1)中得到的两个结 论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；(3)若图1中/ ABC= / BEF=2 a (0°< a< 90°),将菱形 BEFG绕点B顺时针旋转任意角 度，原问题中的其他条件

42、不变，请你直接写出口的值(用含a的式子表示).PC图1图2 E菱形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义.点：专压轴题.题：分 （1）根据题意可知小聪的思路为，通过判定三角形DHP和PGF为全等三角形来得析：出证明三角形 HCG为等腰三角形且 P为底边中点的条件；（2）思路同上，延长 GP交AD于点H,连接CH, CG,本题中除了如（1）中证明 GFPHDP （得到P是HG中点）外还需证明 HDC 04GBC （得出三角形 CHG 是等腰三角形）.（3） / ABC= /BEF=2 a （0°< a< 90°）,那么/ PCG=90 - a,由（1）

43、可知：PG:PC=tan （90 - a）.解 解：（1） CD/GF, /PDH=/PFG, /DHP=/PGF, DP=PF,答：DPHA FGP,PH=PG, DH=GF , CD=BC , GF=GB=DH ,CH=CG , CPXHG , / ABC=60 °, ./ DCG=120 °, ./ PCG=60°, .PG: PC=tan60°=V3, 线段PG与PC的位置关系是 PGXPC, =V3；PC（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化.证明：如图2,延长GP交AD于点H,连接CH,P是线段DF的中点，FP=DP,. AD / GF, .

44、/ HDP=/GFP, . / GPF=ZHPD,GFPA HDP （ASA）,GP=HP, GF=HD , 四边形ABCD是菱形，CD=CB , / HDC= ZABC=60 °,ABC= / BEF=60 °,菱形BEFG的对角线 BF恰好与菱形 ABCD的边AB在同一 条直线上， ./ GBF=60 °, ./ HDC= /GBF, 四边形BEFG是菱形，GF=GB ,HD=GB , . HDCA GBC,CH=CG , / HCD= / GCBPG± PC （到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上） / ABC=60 °/ DCB

45、= / HCD+ / HCB=120 ° / HCG= / HCB+ / GCBHCG=120 °GCP=60°=tan / GCP=tan60 =正； PC(3) / ABC= /BEF=2 a (0°< a<90°),PCG=90 - a,由(1)可知：PG: PC=tan (90 - a),"E2=tan (90 - a).PC图l图2 E点本题是一道探究性的几何综合题，主要考查菱形的性质，全等三角形的判定及三角函评：数的综合运用.6. (2008?厦门)已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD (AD>AB),将

46、纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕 EF交AD边于E,交BC边于F,分别连接AF和CE.(1)求证：四边形 AFCE是菱形；(2)若 AE=10cm, ABF的面积为 24cm2,求4ABF的周长；(3)在线段AC上是否存在一点 P,使得2AE2=AC?AP?若存在，请说明点 P的位置，并 予以证明；若不存在，请说明理由.E D考菱形的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质.点：专压轴题；开放型；存在型.题：分(1)因为是对折所以 AO=CO,利用三角形全等证明 EO=FO,四边形便是菱形；析：(2)因为面积是24,也就是AB、BF的积可以求出，所以求周长只要求出AB、BF

47、的和就可以，而结合勾股定理它们和的平方减去乘积二倍就是AF的平方；(3)因为AC=AO所以可以从与 4AOE相似的角度考虑，即过 E作EPLAD.解(1)证明：连接EF交AC于O,答： 当顶点A与C重合时，折痕 EF垂直平分AC, .OA=OC, / AOE= / COF=90 ° （1 分） .在矩形 ABCD 中，AD /BC, ./ EAO= / FCO,AOEA COF （ASA）.OE=OF （2 分） 四边形AFCE是菱形.（3分）（2）解：四边形 AFCE是菱形，AF=AE=10 .设 AB=x , BF=y ,-/ B=90 ,（x+y） 2-2xy=100又 S/a

48、bf=24,xy=24 ,贝U xy=48 . （5 分）22由、得：（x+y） =196 （6分）1- x+y=14 , x+y= - 14 （不合题意舍去）.ABF 的周长为 x+y+AF=14+10=24 . （7 分）（3）解：过E作EPXAD交AC于P,则P就是所求的点.（9分）证明：由彳法，/ AEP=90 °,由（1）得：/ AOE=90 °,又/ EAO= ZEAP ,AOEA AEP,=,则 AE2=AO?AP （10 分）AP AE.四边形 AFCE 是菱形，AO= 1AC , AE2=AC?AP （11 分）S 2-2AE2=AC?AP （12 分）即

49、P的位置是：过E作EPXAD交AC于P.工E DB F C点本题主要考查(1)菱形的判定方法 对角线互相垂直且平分的四边形”，(2)相似三评：角形的判定和性质.3个有联系的问题，请你帮助解7. (2008?嘉兴)小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面 决：AE=DF ;(1)如图1,正方形 ABCD中，作 AE交BC于E, DFXAE交AB于F,求证:(2)如图2,正方形 ABCD中，点E, F分别在AD , BC上，点G, H分别在AB , CD上,且EFXGH ,求出的值；GH(3)如图 3,矩形 ABCD 中，AB=a , BC=b，点 E, F 分别在 AD , BC 上，且 EFXGH

50、 , 求黑的值.图2图1考矩形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质.点：专几何综合题；压轴题.题：分 (1)证明AE=DF ,只要证明三角形 ABE和DAF全等即可.它们同有一个直角，且析： AB=AD ,又因为/ AEB=90 - Z BAE= Z AFD ,这样就构成了全等三角形判定中的AAS ,两三角形就全等了；(2)可通过构建与已知条件相关的三角形来求解.作AM / EF交BC于M ,作DN / GH 交 AB 于 N,那么 AM=EF , DN=GH , (1)中我们已证得 4ABM、ADAN 全等，那么AM=DN ,即EF=GH ,它们的比例也就求出

51、来了；(3)做法同(2)也是通过构建三角形来求解.作AM / EF交BC于M ,作DN / GH交AB于N,只不过证明三角形全等改为了证明其相似.解题思路和步骤是一样的.解 (1)证明：.DFXAE答： ./ AEB=90 - / BAE= / AFD又 AB=AD , / ABE= / DAF=90 ° ABEA DAF , . AE=DF ;(2)解：作 AM / EF 交 BC 于 M作DN / GH交AB于N贝U AM=EF , DN=GH由(1)知，AM=DN _ r - EF EF=GH ,即与二 1GH 1(3)解：作 AM / EF 交 BC 于 M作DN / GH交

52、AB于N贝U AM=EF , DN=GH EFXGHAM ±DN/ AMB=90 - / BAM= / AND又. / ABM= / DAN=90 ° .ABM DAN. AMDN AD b,EF a. 一=.GH b3 E C B M F C 8 M F C图L图2图3点 本题中（1） （2）和（3）虽然所求不一样，但是解题思路和步骤是一样的，都是通过 评：构建与已知和所求的条件相关的三角形，然后证明其全等或相似来得出线段间的相等或比例关系.8. （2008?宁夏）如图，在边长为 4的正方形 ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连 接DP交AC于点Q.（1）试证明：无论

53、点 P运动到AB上何处时，都有 ADQ0ABQ;（2）当点P在AB上运动到什么位置时，4ADQ的面积是正方形 ABCD面积的工；6（3）若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中，当点 P 运动到什么位置时， 4ADQ恰为等腰三角形.考正方形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；相似三角形点：的判定与性质.专 综合题；压轴题；数形结合；分类讨论.题：分 （1）可由 SAS 求得 ADQABQ ;析： （2）过点Q作QEXAD于E, QFXAB于F,则QE=QF ,若4ADQ的面积是正方形ABCD面积的工则有SA aDQ=AD?QE=S正方形ABCD,

54、求得OE的值，再利用626 DEQA DAP有理华：解得AP值；AP DA（3）点P运动时，4ADQ恰为等腰三角形的情况有三种：有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD .由正方形的性质知，当点P运动到与点B重合时，QD=QA，此时 ADQ 是等腰三角形，当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此日DA=DQ , AADQ 是等腰三角形， 当AD=AQ=4时，有CP=CQ, CP=AC - AD而由正方形的对角线 的性质得到CP的值.解 （1）证明：在正方形 ABCD中，答： 无论点P运动到AB上何处时，都有AD=AB , / DAQ= / BAQ , AQ=AQ ,ADQAABQ ;(2)解法一：

55、4ADQ的面积恰好是正方形 ABCD面积的工时，6过点 Q 作 QEXAD 于 E, QFXAB 于 F,则 QE=QF ,.在边长为4的正方形 ABCD中，S 正方形 ABCD =16 ,AD >QE=S 正方形 abcd = X16=,2663，QE=23 EQ/ AP, . DEQA DAP,.逊IP=AP-DA AP 4解得AP=2 ,AP=2时，AADQ的面积是正方形 ABCD面积的工；6解法二：以A为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q作QEy轴于点E, QF±x轴于点F.i11Q一AD >QE=1S 正方形 ABCD=-X6=)2663一 4QE= ,3.,点Q在正方形对角线 AC上，1- Q点的坐标为(-),3 3、一4 4 一，一一过点D (0, 4), Q (-,-)两点的函数关系式为：y= - 2x+4 ,3 3当 y=0 时，x=2 ,.P