2020-2021学年苏教版必修13.3幂函数学案

1、3.3嘉函数学习、目标L 了解号函数的概念.2,掌握 y=x、y=x2. y=x3. y=x L y=x y=f 的图象和性质.3.会运用暮函数的图象和性质解决问题.预习案我读导学宣试学生用书P580一新知提炼“1.幕函数的概念函数y=£:叫做事函数，其中二是自变量，是常数.2.事函数的图象与性质五种常见零函数的图象(2)五类鬲函数的性质事函数尸X=/y=x 1定义域RRR2, +8)(一8, o)u(0. +8)值域R0, +8)R0, +8)(力£R且产0奇偶性蜜&佥丰奇非偶W单调性增x£0, +8), <xG(-oo, 0,遮埴增.x£

2、;(0, 4-oo), 减 x£(-8,0),减公共点都经过点(1, 1)自我尝试，1 .判断(正确的打“ J ”，错误的打“ X ”)(1)函数y=vawo)是事函数.()(2)箱函数的图象必过点(0, 0)和(1, 1).() (3)基函数的图象都不过第二、四象限.() 答案：(1)J (2)X (3)X2 .下列函数中不是事函数的是()A. y=yxB. y=x3C. y=2xD. y=x答案：C3 .若、=m/+(2-4)是靠函数，则m+n=.答案：34 .若寻函数./U)=X”的图象经过点(3, 9),那么函数7U)的单调增区间是答案：0, +8)解惑探究突破探究点1 寤函

3、数的概念学生用书P58下列函数为幕函数的序号是y=x2；y=2, 产档y=(xT)3；(2)若呆函数7U)的图象经过点(2, 2娘)，则式9)=.【解析】(1).v=f2的系数是一1而不是1,故不是簇函数；)，=2是指数函数;y=(x1)3的底数是x1而不是x,故不是寐函数：y='F+1是两个寐函数和的形式, X也不是取函数.很明显是底函数.设段)=/,则2。=2艰，321所以 a=/,所以.")=丁,所以./(9)=92=33 = 27.【答案】(2)27方法归纳察函数y=x"(a£R),其中a为常数，其本质特征是以暮的底x为自变量，指数a为常 数(也可

4、以为0),这是判断一个函数是否为掠函数的重要依据和唯一标准.跟踪训练;A. 11 .已知函数於)=(加+力-2bm/一一1是察函数,则?=(B. 3C. 1或一 3D.1或3解析：选c.由题意知，若7U)为寐函数，则 m2+2m-2=.即5+2，”-3=0,解得?=1 或/=-3.探究点2基函数的图象学生用书P59硒 己知事函数y=f-2(,£N)的图象与x, y轴都无交点，且关于y轴对称，求， 的值，并画出它的图象.【解】 因为图象与x, y轴都无交点，所以小一2W0,即1W2.又，£N,所以加=0, 1, 2.因为底函数图象关于轴对称，所以加=0,或j=2. 当?=0时

5、，函数为y=/2,图象如图1：当机=2时，函数为y=x°=l(xWO),图象如图2.(1)寨函数y=/的图象恒过定点(1, 1),且不过第四象限.(2)解决察函数图象问题，需把握两个原则：暮指数a的正负决定函数图象在第一象 限的升降；依据图象确定暮指数a与0, 1的大小关系，在第一象限内，直线x=l的右侧,图象由上到下，相应的指数由大变小.跟踪训练2.己知当八取±2, 土;四个值时，寤函数在第一象限内的图象如图所示，则相应的曲线G, Q,。3, C4的值依次为解析：抓住准函数图象的特征，在第一象限内当OVaVl时，图象平缓上升：当a>l 时，图象陡峭上升：当aVO时，

6、图象下降，且在(1,+8)上，指数大的图象在上方.由题 图，知C的指数>1,。2的指数OV1，即G的指数取2, C2的指数取:再取x=2,由2z>2 2知。3的指数取一。4的指数取一2. 乙乙答案：2,一；, -2gB探究点3 事值的大小比较问题学生用书P59 比较下列各组数的大小：33II I 1 于，I.45, (一2)3： (2)1/, 0*, 0.72.【解】(1)考察寐函数y=j,因为1>0,所以>=/在区间0, +8)上是单调增函数,由于Ovl.3Vl.4,所以0<1学<1不，i331又因为(-2),<0,所以1.471.3'>

7、;(一2力(2)考察寐函数y=/.因为1>0,所以y=/在区间0, + 8)上是单调增函数.由于0.7V1.7,所以0.7%1.7,再考察指数函数)=07,因为0<0.7<1,所以y=0.7r是R上的单调减函数.由于0<|<2, 所以 O.74T72,综上1.7，>0.7'>0.72.方囿归当两个值的底数是同一个正数时，用指数函数模型比较两个值的大小；当两个值的指数 是同一个实数时，用界函数模型比较两个值的大小，特别地，当底数是负数时，先利用号函 数的性质，将底数是负数的察化为底数是正数的暮，再利用指数函数模型或号函数模型比较两个值的大小.跟踪

8、训练;3 .比较下列各组数的大小:(1)2.15, 2.2，0.25： (2)3.5 0.5 0亨.1解：(1)考察底函数.v=/，因为>0,所以在区间0, +8)上是单调增函数，由于( III 1 I1<2.1<22 所以1<2,1'<2.2'，又因为0.211,所以2.2'>2.1、0.21.333(2)考察寐函数.因为>0,所以y=V在区间0,+8)上是单调增函数，由于0.5v3.5,33所以0W<3,55,再考察指数函数y=0S,因为0<0,5<1,所以>=0.5,是R上的单调减函数, 3 4二

9、士22 士由于0q<亍 所以OS'OS,综上3s>0,55>0.5、素养提升规律呈现1.指数函数与幕函数的区别函数名称解析式解析式特征指数函数y=aa>0.且 “Hl)底数是常数，自变量在指数位置上事函数y=x°(aGR)指数是常数，自变量在底数位置上2.幕函数的性质归纳(1)所有的事函数在区间(0, +8)上都有定义，并且图象都过点(1, 1).(2)a>0时，事函数的图象通过原点，并且在区间0, +8)上是增函数.特别地，当a>l时，哥函数的图象下凸：当OVaVl时，事函数的图象上凸.(3)aV0时，事函数的图象在区间(0, +8)上是

10、减函数.在第一象限内，当x从右趋向 原点时，图象在)，轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于+ 8时，图象在x轴上方无限地 逼近x轴正半轴.易误防范典例 设-1, 1,则使函数y=x"的定义域为R且为奇函数的所有a值为解析当a=l, 3时，函数y=x'的定义域为R,且为奇函数，当a= -1时，的-X定义域是xlrHO, x£R.当a=；时，v=m的定义域是xLr>0.答案1, 3|错因与防范/(l)y=x 易忽视定义域的限制，其定义域应为.也H0.(2)在界函数的有关问题中，要理解号函数的概念，掌握好五种号函数的图象和性质， 当a为正奇数时察函数./U)=/的定

11、义域为R且为奇函数，解决此类问题，要特别注意a的 取值范围.、当堂般测1 .下列所给出的函数中，是幕函数的是()A. y= x3B. y=x'3C. y=2x3D. y=x3-答案：B2 .下列函数中值域为(- 8, +8)的函数是()A. 引B.产x2C. y=§D. y=x3答案：D3 .函数y=-3在区间-4, 一2上的最小值是.解析：因为函数在（-8, 0）上单调递减，所以当 x=-2 时，ymin=（_2）-3=-（ ；）=一,至存.- 口不.84 .当acf 表1，3刷，事函数尸x"的图象不可能经过第 象限.解析：因为>=一|图象在第一、三象限，y

12、=x与 >=如图象都经过第一、三象限， 尸3图象仅经过第一象限，故a4 1,1, 3时，图象不可能经过第二、四象限.答案：二、四学生用书P116（单独成册）DA基础达标1 .在下列函数中，定义域和值域不同的是（）IIA. y=xrB. y=x52C. y=j?D. y=x解析：选D.A、C的定义域和值域都是R： B的定义域和值域都是0, 4-00）： D的定义 域是R,值域是0, 4-oo）.故选D.2 .已知基函数及）=h"伏£R, «WR）的图象过点g ®则k+a=（）A.yB. 1C.|D. 2解析：选A.因为寐函数外）=kx°（A

13、£R, a£R）的图象过点& 媚），所以女=1,启）= （!）=艰，即 a=-；，所以 *+a=：.3 .下列函数中，既是偶函数，又在区间（0, +8）上单调递减的是（）B. y=xA. y=x 2解析：选A,所给选项都是寐函数，其中y=/2和是偶函数，,v=C和不是 偶函数，故排除选项B、D,又y=x2在区间(0, +8)上单调递增，不合题意，)，=/2在区 间(0, +8)上单调递减，符合题意，故选A.4 .已知,=(“2+3) i(aWO), ” = 3 J 则( )m=nD. m与的大小不确定解析：选B.设凡6=/】，已知W0, 则 «2+3>

14、;3>0,凡¥)在(0, +8)上是减函数，则汽2+3)«3),即 Q2+3)-1v3r,故 m<n.5.函数的图象大致是()解析：选A.由题可得，y=xLH = :从而可知A为正确选项，另外，易知函数y=xlxl为奇函数.如图，曲线G与Cz分别是函数和y=下在第一象限内的图象，则?，与0的大 小关系是.解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，故 H<0.取 x=2,则有 2",2，故 n<m<0.答案： VfmVO7 .当x£(l, +8)时，塞函数y=/的图象在直线y=x的下方，则a的取值范围是解析：底函数y=f, y

15、=x I在区间(1, +8)上时图象在直线、=工的下方，一般地，当a<O, a =0, 0<时«Y)=/在(1, +8)上的图象都在直线),=工下方，故。的 取值范围是(-8, 1),答案：(8,1)8 .已知2.44>2.5",则a的取值范围是.解析：因为0V2.4V2.5,而2.4 所以y=x“在(0, +8)上为减函数，故a<0.答案：a<09 .已知函数yu)=x "3(,cn)是偶函数，且负3年/(5),求,的值，并确定./U)的函数 解析式.解：由大3)45),得33V5一川3,所岷F窗.因为y=(1)是减函数，所以一切+

16、3>。解得加<3.又因为小£N所以加=1或2;当m=2时，f(x)=x m'3=x为奇函数，所以小=2舍去.当m= 1时，4工)=尤一所'3=12为偶函数，所以机=1,此时10 .已知人x)=x, g(x)=Q,设Fa)=./U)+g。)，试判断F(x)的奇偶性与单调性.解：因为ZU), g(x)的定义域均为R,所以Fa)=/u)+g(x)=x+F的定义域为r.又 F( -x) = -x+(-x)5 = - (x+?) = - F(x),所以F(x)是奇函数.因为Rx)与g(x)在R上均为增函数，所以F(x)在R上也为增函数.B能力提升1 .如图是塞函数)

17、，=.严与y="在第一象限内的图象，贝女)A. - 1<H<0<7H<1B. < 1, 0<m< IC. 1 <n<09 m> 1D. n< f m>解析：选B.在(0,1)内取xo,作直线x=xo,与各图象有交点，则“点低指数大如 图，OV1V1, /?< 1.2 ,给出下列四个函数：1!2/=/yf 产11；y=9，其中定义域和值域相同的是.(写出所有满足条件的函数的序号)1 £解析：函数y=F的定义域和值域都为R；函数y=x '与=/的定义域和值域都为(一 28, 0)U(0, 4-

18、°°);函数的定义域为R,值域为0, +8).答案：3 .已知事函数)，=)苏'6-3在(0, +8)上是减函数，求基函数的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性.解：由底函数的性质可知m2 + 2m 3<0=>(/?/ 1 )(m + 3)<0=> 3 <m< I,又因为小WZ,所以m=-2, 1, 0.当7=0 或5=-2 时，y=x 3, 定义域是（一8, 0）u（0, +oo）. 因为一 3V0,所以y=x '在（8, 0）和（0, +8）上都是减函数， 又因为 J（-x） = （x）3=x3=一於）,所以y=x-3是奇函数.当?=一1 时