2019高考数学函数真题汇编

1、快乐分享，知识无限!2019年高考数学不等式真题汇编1. (2017 北京)已知函数/*) = 3'-(；)1 则/(x) ( A)(A )是奇函数，且在R上是增函数(B )是偶函数，且在R上是增函数(C)是奇函数，且在R上是减函数(D )是偶函数，且在R上是减函数2. ( 2017北京)已知函数/Wcosx-x(I )求曲线y = f(x)在点(0,7(0)处的切线方程；(n )求函数/ 在区间0,中上的最大值和最小值.解：(I ) f(x) = elcosx-x：./ '(x) = " (cosx - sin x) -1二.曲线 y = f(x)在点(0,7(0)

2、处的切线斜率为 k = e°(cos O-sin 0)-1 = 0切点为(0,1)，曲线)，= /(X)在点(0J(0)处的切线方程为y = l(II ) /'(x) = e'(cosx-sinx)-l ,令 g(x) = /'(x) z 贝！Jg'(x) = e'(cosx-sinx sinx cosx) = 12，sinx当e0,3,可得，(x) = -2/sinx<0 ,即有g(x)在。上单调递减，可得g*)<g(O) = O ,所以在0.1d上单调递减，所以函数/(%)在区间0, 上的最大值为/(0) = 6>

3、6; cosO-O = 1 ;最小值为/(£) = / COSy3. ( 2017全国卷I )函数/(x)在(f,2)单调递减，且为奇函数.若/=-1 ,则满足- 1 < /(x - 2) K 1的x的取值范围是(D )A. -2,2B . -1JC .0,4D .1,3快乐分享，知识无限!快乐分享，知识无限!4. ( 2017全国卷I )如图，圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为Q D、E、尸为圆。上的点，&DBC, & EC A , *8分别是以BC, CA , 48为底边 的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC. CA

4、, 为折痕折起。纪，ECA , "AB,使得 D、E、尸重合，得到三棱锥。当以48。的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大 值为 4y/i5cm'5. ( 2017全国卷I )已知函数/=，"+(2)，-x(1)讨论用)的单调性；(2 )若/(外有两个零点，求的取值范围.解：(1) /(x)的定义域为(-co,2) , f'(x) = 2ae2x +(a- 2)ex -1 = (aex - l)(2ex +1)若a<0 ,贝丫'(x)<。，所以/'*)在(-oo,y)单调递减(ii)若>0 ,则由广(幻=0的1

5、= -lna当,lna)时，f(x)<0 ；当xe (-lna,+oo)时，fx) >0所以/(a)在(7,-In a)单调递减，在(-In a, -kz>)单调递增。(2 )若。<0 ,由(1 )知，/")至多有一个零点(ii错。>0 ,由(1即，当x =lna时 J(x)取得最小值，最小值为/(-lna) = l-' + lna a当。=1时，由于/(lna) =。，故/(x)只有一个零点；当4£（l,«o）时，由于1一, + 11>0 ,即/（一山。）>0，故/（X）没有零点； a当£（0,1）时，

6、l ' + lnavO，即/（-lna）vO又 a又 /（-2） = ae-4 + （a- 2）e-2 +2> -2e-2 +2>0，故 f（x）在（f, 一 In a）有一个零点。设正整数满足% > ln（m -1）, a则 f（flo） =。- 2） % > /" 一0 > 2"一 （）>03由于In（一l）>-lna ,因此/（x）在（一Ina,y>）有一个霎点 a综上，。的取值范围为（0J）sin2x y =:6. （ 2017全国卷I ）函数1 - cos、的部分图像大致为（C）7. (2017全国卷I )已

7、知函数/(x) = lnA + ln(2 - x)，则(C)A. /（X）在（0,2 ）单调递增B./（x）在（0,2）单调递减C.y= /（a）的图像关于直线x=l对称D .片f（x）的图像关于点（1,0 ）对称8. （ 2017全国卷I ）已知函数/*）=e*（e* -团-. （1）讨论“用的单调性； （2）若/。注0,求方的取值范围.解：(1)函数 f(x)的定义域为(P,+s) JG) = 2/1 c/ -/ = (2/ +a)(e” 一)若。=0 ,则在(f,+s)单调递增若。>0，则由/'(x) = 0得x = Ina当 xe(,lna)时，f(x) < 0 ;

8、当 xe (Ina,)时，f'(x) > 0 ；故f(x)在(yo, In a)单调递减，在(In a, -Hz)单调递增若a<0 ,则由:(x) = 0得x = ln(2)2当工金(-001(一5)时，fx)<0 ；当xe(ln(-§,+sM fx)>0 ；故/(X)在(YO,ln(-殳)单调递减，在(ln(-/,户)单调递增(2)若。=0，贝!J/W = x ,所以/(x)之。若。>0，则由(1)得，当x = lna时，/*)取得最小值，最小值为/(In a) = -a2 In a ,从而当且仅当一片 In a 2 0 ,即。< 1时，

9、/(x)20若a V 0 ,则由(1)得，当x = ln(§)时，/(幻取得最小值，_ . m ,./ / a 13 1 / a、1电小值为/(皿-3)=。-111(3)/从而当且仅当小口一足(一£)之。，即a 12户时，/(幻N0 ,乙3综上，的取值范围是-2/, 19. ( 2017全国卷)若x = -2是函数/« = (+以1)-的极值点，则/(x)的极小值为(C )A.-lB.2"3c.5e-3D.l10. (2017 全国卷n )已知函数/(x) = o?一奴一xinx , S/(x)>0o(1)求。的值；(2 )证明："X)存

10、在唯一的极大值点,% ,且/ </(a-0)<2-2.解：(1) /(x)的定义域为(0,+s)设g(x) = 4x-4-lnx ,贝！/(不)=空(工),/。)之。等价于且*)之0因为 g(l) = O,g(x)NO ,故短(1) = 0 ,而 g'(x) = a-Lg'=-1，得。=1 X若4 = 1 ,则 g<x) = l -,X当 0 < x < 1 时，g'(x) < 0, g(x)单调递减；当x>l时，g'(x)>0,g(x)单调递增所以X = 1是g(x)的极小值点,故g(x) > (1) =0

11、 ,综上，4 = 1(2 )由(1)知/(x)=八二 一x XInx, f'(x) = 2x-2-Inx设(x) = 2x-2-Inx ,则(x) = 2-1 x当xw(0-)时，/(x)<0 ;当工£(，,+00)时，hx)>0.22所以力(幻在(。)单调递减，在J,+s)单调递增.22又心)>。,心 <0,力=。所以心)在(0,；)有唯一零点/，在；*)有唯一零点1, 乙乙乙且当 K£(0,x0)时，/7(a) > 0 ;当 xe(x。/)时，hx) < 0 ;当 xe(l,+oo)时，/?(x)>0.因为f(x) =

12、/(A)，所以X = .%是/(X)的唯一极大值点.由广(4)=。得In/ =2(.”一1),故/(与)=%(1 一%).由 与 e(0/)得 f(x0) <1.因为工=即是/在(。,1)的最大值点，由/ e(0,l),八J)WO得 /Uo) > r(e-') =厂.所以e-2 < “/)<2-211 .( 2017全国卷口)函数/(X)= ln(Y -2工-8)的单调递增区间是(D )A.(-ocr-2)B,(-8,-l) C.(L + 8)D.(4,+ 8)12 . ( 2017 全国卷n )设函数/(x) = (l-x2kr.(1)讨论/'(好的单

13、调性;(2)当x20时，/*)<依+ 1 ,求。的取值范围.解：(1) fx) = (-2x-x2)ex令广*)= 0得x = _l_&,x = _l + &当 x e (一°0,-1-伪时，f(x) < 0 ；当-1 + &)时，fx) > 0 ；当 X£(l + VI+8)时，f(x) < 0 .所以/a)在(-00,-1-&),(-l + /,XC)单调递减，在+媳)单调递增.(2) /(x) = (l + x)(l-x)er ,当。之1 时，设函数 /?(x) = (l- x)ehx) = -xe"

14、<0(x<0),因此/?*)在0,+s)单调递减，而(0) = l ,故(x)<l ,所以/(X)=(X + !)/?(%) < A + 1 < 6/X + 1当0<4<1时，设函数g(幻=/ 7 1,gx) = ex-> 0(x > 0),所以g(x)在0,)单调递增,而 g(0) = 0 ,故-Nx + 1当Ovxcl时，/(x)>(l-x)(l + x)2 , (l-x)(l + x)2-«x-l = x(l-«-x-x2) f 取玉=仆I，则,6(0,1),(17。)(1 + /)2-办0-1 =。，故/C

15、%)>ax0 + l当。<0时，取/=,则 X。e (0,1), f(x0 )>(l-x0)(l + x0)2 = l>ox0 + l综上,a的取值范围是口,2).13.( 2017全国卷m )已知函数,f(x) =A. -B .-2314.( 2017全国卷印)设函数/(幻=<是一(一"15. ( 2017 全国卷DI )函数 y = l + x +1、.JXA ./。(、/V _ 2x + c«/T + e-向)有唯一零点，则。=(C )C . -D . 12x + l,x<051八则满足/W + /* - %) > 1的X的取

16、值范围2 x>02sin x的部分图像大致为(D ) 厂. b。1X'V1 - C-I, yto/1X/16. ( 2017 全国卷DI )已知函数 /(x) = / 2x + 3i TA . B . -C .一23217. ( 2017全国卷m )已知函数/(x) = hid +(加+ (1)讨论/1)的单调性；(2)当"。时，证明幻它2Q 1x-1+1)有唯一零点，则=(C)D . 1l)x.解：(1) f(x)的定义域为(0,y>) , f(x) = - + 2ax + 2。+1 =(1)(2 十 1) XX若。20 ,则当xe(0,)时,f(x) >

17、 0 ,故/ 在(0,23)单调递增若。<0，则当 xe(0, -)时，f(x) > 0 ;当 xe(-L,y)时，f(x) < 0 2a2a故f(x)在(0, -)单调递增z在(- -L, +S)单调递减。2a2a(2 )由(1)知，当。<0时，/(幻在工=-1取得最大值，最大值为 2a311311所以 / (x)«2 介于 ln() 1K2 ,即 ln() HF1« 04。2a 4a 4a2a 2a设g(x) = lnx-x+l ,则g'(x) = L-l x当xe(0J)时，g'(x)>0 ；当工£(1,一) ,

18、 g'(x)vO。所以放於在(0,1)单调递增，在单调递减。故当工=1时，g(x)取得最大值，最大值为g(l) = 0 ,所以当x > 0时，g(x) < 0113从而当。<0时，ln()H+ 1 <0 ,即 /'(X)<22a 2a4a18. ( 2017山东)已知当工«0川时，函数y =(a-1)2的图象与V = «+in的图象有且只有一个交点，则正实数机的取值范围是(B )(A) (0U2司(B) (0,lU3,词(C)(0,U2/y) ( D )(0,>/2 JU 3,+oo)19. (2017山东)若函数e&qu

19、ot;(x) ( e = 2.71828是自然对数的底数)在/(力的定义域上单调递增，则称函数/(、)具有"性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.f(x)=2、 f(x) = 3 "=/(x) =+2快乐分享，知识无限!快乐分享，知识无限!20( 2017 山东)B知函数= /+2cosx 琵(x) = e'(cosx-sinx + 2x-2)其中 e = 2.71828 是自然对数的底数.(I )求曲线y = /(x)在点(4,/(幻)处的切线方程；(n)令Mx)= g(M-qf(M(“eR),讨论MM的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解：(I )

20、由题意/(乃)=42-2 ,又/'(x) = 2x-2sinx ,所以/'(4)=2，因此，曲线y=f(x)在点(心/)处的切线方程为y一(42 -2)= 24(x-乃)，即 y = 2x -n -1.(II )由题意得h(x) = e2 (cosx-sinx + 2x-2)-a(x2 + 2cosa),因为 / (a) = e、(cos a - sin x + 2x-2) + eT (-sin x - cos x + 2) - a(2x - 2 sin x)=2ex (x - sin a ) - 2a (x - sin a ) =2(eT -a)(x-sinx),令?(x)

21、= x-sinx ,贝！= l-cosxNO。所以小(x)在R上单调递增.所以 当x>0时，m(x)>0 ；当xvO时，?(x)<0(1 )当“VO时，ex-a>0 ,当X V 0时，力'(x) < OJ1(A)单调递减，当X > 0时，hx) > O./?(x)单调递增,所以当x = 0时，咐)取到极小值，极小值是加0) = -2。-1 ；(2 )当“>0时，/(A-) = 2(eA -6-1,U/)(A-sinx)由分'(x) = 0 彳导 x, = In a , x2=0当0Va vl 时，Ina vO ,当xc(f,ln&

22、quot;)时，Z-?U/<0,/r(x)>0 , Mx)单调递增；当xe(lna.O)时，/一小">0"(司<0，力(x)单调递减； 当xe(O,+oo)时,/ 一>0H(x)>0，力(x)单调递增. 所以当x = ln时(x)取得极大值.极大值为人(ln“) = 一" In - a-2 In a + sin (In a) + cos (In ) + 2 j ,当x = 0时MM取到极小值，极小值是/(0) = -2«-1 ；当 “ =1 时，hu/ = O ,所以当xc(-oom)时，,函数力在(F+8)上单调递增

23、，无极值；当“>1时，hu/>0，所以当xe(Yo,O)时，/一"<0"3>0 , (x)单调递增；当”(0】")时，Z-ln<0J/(x)<0 , 4M单调递减；当xe(ln“.»)时，一】">0,/(耳>0 , “X)单调递增.所以当 = 0时M、)取到极大值，极大值是/:(0) = -2</-1 ；当x = lna时(%)取得极小值，极小值是ln2a_21n" + sin(lnq) + cos(ln”) + 2综上所述：当“40时，”X)在(-8.0)上单调递减，在(O.+x

24、)上单调递增，函数Mx)有极小值，极小值是"0)=-加-1 ;当Ov“<I时，函数“X)在(Y0.1n)和(O.lna)和(0、侬)上单调递增，在(ln,0)上单调递减, 函数力3有极大值,也有极小值,极大值是(lna) = -”in?”-21n” + sin(lna) + cos(ln") + 2 极小值是人(0) = 2“一1 ；当“ =1时，函数力在(to,+与上单调递增，无极值；当“>1时，函数/?(x)在(yo,0)和(ln,+oc)上单调递增，在(O.lnq)上单调递减，函数力(x)有极大值，也有极小值，极大值是力(0) = -2-1 ；极小彳(In

25、 a) = -a in，“ - 2 In a + sin (In a) + cos(In a) + 2j.23 . ( 2017山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且/(x + 4) = /(a-2).若当xe3,0时，若幻=6-"，则f(919) = §24 .( 2017 山东)已知函数/Cv) = -x3-2,r/e/?, 32(1)当。=2时，求曲线y = /(a)在点(3,/(3)处的切线方程；(2 )设函数g(x) = f(x) + (x-a)cosx-sinx ,讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解：(1)由题意尸(幻=/一次，所以当”

26、2时，3) = 0,广(幻=/-2%所以八3) = 3因此，曲线y = /(a)在点(3,/(3)处的切线方程是y = 3* 3),即3x - y9 = 0(2 )因为 g(x) =/(x) + (x-a)cos;v-sinx，所以 g'(x) =/'(x)+cosx (x-a)sinx - cosx=x(x - a) -(xa) sin x =(x-a)(x - sin x)令h(x) = a -sinx ,则hx) = 1-cosx>0 ,所以hx在 R 上单调递增因为/?(0) = 0，所以当 x>0 时，h(x) > 0 ；当工<0 时，(x)v

27、0当时,g'(x) = (x-a)a-sinx),当时.r-«<0, gW > 0 , g(x)单调递增；当x(g.0)时,x-a>0 , g(r)<0, g(x)单调递减；当，w (0. + as)时，x - a > 0 , g'(x) > 0 , gCr)笊潮递增.所以 当工=4时g(x)取至I极大值，极太值是g(a)=-)a*-sina, 6当x = 0时g(x)取到旗:;他.极小值是或。)二一。.(2)当o。时，'(分二阳a -simx),当x&(f,十8)时.g'CG蝮。贰冲单调递增；所以g8在(f

28、 +上单调递增.gCr)无极大值也无极小值.(3)当心0 时.g'G)之(x 4)Gr-3nx)当 x£(t>. 0)时，x-a<0 , g (x)>0 , g(.r)单调递增；当工匠(O.a)时，x-avO. gf(x) < 0 . g(x)单调递减，当 mg。+ 9)时,x-。)。- gGA 0，g(x)单调递增所以当工=0时以均取到极大值，极大但是第0)，F：当天=忖以幻取至4极，卜值，极小(也是g9) = -：R -sina, 综上所述:当v0时.函数或片)在(-叫。)和S,2)上单调递增，在3, 0) 1-. 单调递减.函数既有板大值,又有极

29、小假,极大值是点a)u-3/Yinj 极小值是以。)”。；当4 = 0时,函数虱工)在(F，十8)上单.调递增，无微值，当口>0时，函数g)在y. 0)和+电上单调递增，在他a)上 单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值班第0>三-。,极小值 是g二/ -sina.6x -o I- 4 q Aq - x + 3.x W1,25 .( 2017天津)已知函数/(x)=2 设“wR，x + ,x > 1. X若关于X的不等式f (x) K 5 + a I在R上恒成立，则a的取值范围是(A )4747 39(A)【一二(B)【一二为IoIo 1O(C ) -2/2( D )

30、-24当1626 . ( 2017天津)设awZ ,已知定义在R上的函数/(幻=2/+3/ 3/-61+。在区间(1,2)内有一个零点/ , g(x)为/(x)的导函数.(I )求8")的单调区间；(n )设/ el,%)U(Xo,2,函数/7(x) = g(x)(Xo)-/(?),求证：h(m)h(x < 0 ;(m )求证：存在大于0的常数A ,使得对于任意的正整数,* ,且C£l,x°)U(x0,2,满足 q(I )解：由/'(幻=2/+3/ 一3M 61 +。，可彳导g(x) = /'(x) = 8x'+9x2 -6工一6 ,

31、 进而可得g'(x) = 24/+181一6 ,令g'(x) = O，解彳导工=-1 ,或x = l.4当x变化时，g(v),g(x)的变化情况如下表：X(f,1)(-臼4+S) 4g'(x)+g(x)z/所以，g*)的单调递增区间是(y,T) , (；y)，单调递减区间是 44(n)证明：由力(x)= g(x)("?“/o),得/?(?)= g(，?)(?一/)-/(?),力(X。)= g(%)(rn-x-f(m).令函数% (%) = g(%)(x-%)-/(%),则 ：(X)= gX)(X7o).由(I )知，当xel,2时,gx) > 0 ,故当

32、kUo)时，H；(x)<0 , 仆)单调递减；当工£(%,2时，H；(a)>0 ,凡(幻单调递增.因此，当xeLq)U*o,2时，> 兄*。)= -/(%) = 0 ,可得”(?)>0,即/?(?)>().令函数”式幻=8(/)(工一工0)-/(%)，则凡'(x) = /(%) g(x).由(I )知，g(x)在1,2上单调递增,故当xel,x。)时，,也单调递增；当xe(%,2时,H；(x)<0 , /(x)单调递减.因此，当工£1,，%)1)*0,21时，H式x)H式,%) = 0 ,可得“式?)<0,即力(4)vO.所

33、以，力(?)/?(小)<0.(IH )对于任意的正整数 p , q，且己£1,4)1(与，2, q令加=2 ,函数/?(X)= g(X)(L/) /(7). q由(n)知，当(ei,x0)时,力在区间(八与)内有零点；当阳e (王)，2时，h(x)在区间(小，加)内有零点.所以/?(x)在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为,则力(M)= g3)("7o)-/(4 = O. q q由(I)知 g(x)在1,2上单调递增，故。< g(l) < g(%) < g(2),于是 I X。I = Iq12/74 + 3pyq-3p2q2 -6pq- + aq4

34、 II >= g($)g(2)g(2)炉因为当xwl,2时，g(x)>0，故/(x)在1,2上单调递增，所以/*)在区间口, 2上除小外没有其他的零点，而C w毛，故/(2) H 0. qq又因为，q，”均为整数，所以124+334-3242-643+附4|是正整数，从而 12P4+ 3p'q-3p2q2 -6pq' + aq41> 1.所以一二.所以，只要取A = g(2),就有|上一凡整上.q g(2)qq Aqx+2,x< 1,x27. ( 2017天津)已知函数=2 设，若关于的不等式幻界+。I在x + ,x> 1.2R上恒成立，则的取值范

35、围是(A )(A) -2,2(C) -2,2后(B) -2/2(D ) -2®2向28.(2017 天津)设,已知函数f(x) = Y-6/-3”(。-4口 + , g(x) = exf(x)(I )求/(尤)的单调区间；(n)已知函数,，=履幻和)，的图象在公共点(小,肾)处有相同的切线，(i )求证：/(X)在x = x。处的导数等于0；(ii )若关于X的不等式g(x)<e'在区间KT/ + 1上恒成立，求8的取值范围.(I )解：由/(幻=父6/+ 可得/'(k) = 3x2 -12x-3r7(-4) = 3(x-6z)x-(4-tz)令/'(x

36、) =。r 解得x = a ,或x = 4-。，由 I a K1 ,得。<4一。当x变化时(x)J(x)的变化情况如下表:X(M)(a, 4-a)(4-,+oo)八X)+fW/所以，的单调递增区间为(M), (4 a,«o)，单调递减区间为(a, 4 - a)o(X )=。"(D) ( i )证明：因为g'(x) = "(/(x) + r(x)，由题意知: ” 3(/)=*,所以=*,*(/(.%)+广()=*,y(xh)= 1,，解得O一所以，/在N=与处的导数等于0U(%)=。(ii )解：因为g(x)«e'，xex0-l,x0

37、 + l z 由e' >0 ,可得/(x)< 1.又因为/(凡)=1 ,r(与)=0，故/为/(x)的极大值点，由(I )知相=。.另一方面，由于laK 1 ,故。+ 1 <4-。，由(I)知/a)在m1m)内单调递增，在(。,。+1)内单调递减,故当玉)=。时，/(x)</(a) = l在aTa + l上恒成立,从而g(x) < eA在-1, % + ”上恒成立.由/(。)=。、-6。2一3.(。-4)。+ /? = 1 ,彳导 =2" 6a? + 1 , -1 <rz<l0令/(x) = 2/ 一6/+1 ,所以/(X)= 6/-

38、，令/'(x) =。，解得了=2 (舍去)，或x = 0.因为"-1) = -7 , /(I) = -3 , «0) = 1 ,因此心)的值域为7,1.所以，的取值范围是-7.29. ( 2017江苏)已知函数/(%) = / 一 2x + / -二，其中e是自然数对数的底数， e若/(-1) + /(2«因为/(x)有极值，故/(幻=。有实根，从而5 = (27-/)<。，即之3 9a)<0，则实数a的取值范围是2 x e D30. ( 2017江苏)设/(a是定义在R且周期为1的函数，在区间0,1 )上 J(x)= <''x.xD其中集合。="1'=匕、£乂,则方程/(x)-lgx = 0的解的个数是8n31. ( 2017江苏)已知函数7。) = /+加+1( > 0,/7 e R)有极值，且导函数尸(x)的极值点是/*)的零点。(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2 )证明：b2 > 3a ;7(3 )若/(x) , /'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-不，求。的取值范围。2解：(1)由f(x) = / +bx + l r 得/"(X)= 3x2 + 2ax + b = 3(x+-)2