2020-2021学年高二数学人教A版必修5学案：3.1 第2课时　不等式的性质 Word版含解析

1、第2课时不等式的性质目标 1.掌握不等式的有关性质；2.能利用不等式的性质比较大小、证明不等式、求代数式的取值范围重点 不等式的性质及应用难点 对不等式性质的理解知识点不等式的性质 填一填答一答1若a>b，c>d，那么ac>bd，是否有a>b，c>d则ac>bd成立？提示：不一定，如3>1，1>10，则3(1)>1(10)不成立2两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？提示：不可以两个不同向不等式的两边不能分别相除，在需要商时，可利用不等式性质转化为同向不等式相乘3对不等式变形时，要注意什么？提示：对不等式的每一次变形，都要有相应的性质为依据

2、，否则，变形就是错误的4由ab，bc能否得到ac呢？如果ab，b>c，能否一定得到ac呢？提示：由ab，bc可以得到ac；而如果ab，b>c，我们一定可以得到a>c.又“ac”包含“a>c”或“ac”，所以ac是一定成立的故如果ab，b>c，一定可以得到ac.类型一不等式性质的应用命题视角1：判断命题的真假例1判断下列命题是否成立，若不成立，适当增加条件使之成立(1)若a>b，则acbc；(2)若ac2>bc2，则a2>b2；(3)若a>b，则lg(a1)>lg(b1)；(4)若a>b，c>d，则>.分析本题考查不等

3、式的性质的应用，可结合不等式的性质找出所缺少的条件解(1)不成立命题“若a>b且c0，则acbc”成立，即增加条件“c0”(2)不成立由ac2>bc2可得a>b，但只有b0时，才有a2>b2，即增加条件“b0”(3)不成立由a>b可得a1>b1，但作为真数，应有b1>0，故应增加条件“b>1”(4)不成立.>成立的条件有多种(如a>b>0，c>d>0)，因此，可增加条件“b>0，d>0”1.判定一个命题是假命题，有下面两种方法：(1)从已知条件入手，推出与结论相反的结论；(2)举出反例，反例法简捷、快速、

4、有效，是解决该类问题行之有效的好方法.,2.应用不等式基本性质时，一定要注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”，其中“乘负反序”“同时取倒反序”两种情况极易忽视，应特别注意.变式训练1已知a，b，cr，且c0，则下列命题正确的是(d)a如果a>b，那么>b如果ac<bc，那么a<bc如果a>b，那么<d如果a>b，那么>解析：利用不等式的性质或者举反例进行判断取a2，b1，c1，满足选项a，b，c中的条件对a有：<，故a错对b有a>b，故b错对c有>，故c错对于d，c0，>0，由不等式的性质4知，d正确命题视角2：证明不

5、等式例2(1)已知a>b>0，求证：<.(2)若bcad0，bd>0，求证：.证明(1)a>b>0a2>b2>0<.(2)bcad0，bcad，bcbdadbd，即b(cd)d(ab)，又bd>0，两边同除以bd得，.利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不等式的形式化归.变式训练2若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>.证明：c<d<0，c>d>0，ac>bd>0.(ac)2>(bd

6、)2>0.0<<.又e<0，>.命题视角3：求取值范围例3已知6<a<8,2<b<3，分别求2ab，ab，的取值范围分析解答本题可利用不等式的可加性和可乘性求解解6<a<8,2<b<3，12<2a<16.10<2ab<19.又3<b<2，9<ab<6.又<<，(1)当0a<8时，0<4；(2)当6<a<0时，3<<0.由(1)(2)得3<<4.求含有字母的数(或式子)的取值范围时，要注意以下两点：(1)要注意题

7、设中的条件；(2)要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减；两边都是正数的同向不等式可乘不可除.变式训练3(1)已知12<a<30,15<b<48，则的范围是.解析：15<b<48，<<.又12<a<30，<<，即<<2.(2)已知0a1,2ab3，则a2b的取值范围是3,6解析：0a1,2ab3，1a0,42a2b6.3a(2a2b)6，即3a2b6.类型二不等式的性质与函数性质的综合应用例4(1)已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是()a.&

8、gt;bln(x21)>ln(y21)csinx>sinydx3>y3(2)设alog36，blog510，clog714，则()ac>b>abb>c>aca>c>bda>b>c解析(1)由ax<ay(0<a<1)及指数函数的性质得x>y，而函数yx3是单调递增函数，所以x3>y3.(2)因为alog361log32，blog5101log52，clog7141log72，又ylog2x是增函数，所以log27>log25>log23>0因为log27，log25，log23，所以

9、log32>log52>log72，所以a>b>c.答案(1)d(2)d高考中这样的考题较多，多是研究指数函数、对数函数、幂函数的运算性质和单调性，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的运算性质是关键.变式训练4若x(e1,1)，alnx，blnx，celnx，则(d)ac>b>abb>a>cca>b>cdb>c>a解析：celnxx(e1,1)，blnx(1,2)，alnx(1,0)，所以b>c>a.1设a>b>c，且abc0，则下列不等式恒成立的是(c)aab>bcbac>bccab&

10、gt;acda|b|>c|b|解析：由a>b>c且abc0得a>0，c<0，b符号不确定，则由a>0，b>c一定有ab>ac成立故选c.2已知a，b，c，dr且ab>0，<，则(b)abc<adbbc>adc.> d.<解析：由<得>又ab>0得·ab>·ab即bc>ad.故选b.3若1<<<1，则下列各式中恒成立的是(a)a2<<0b2<<1c1<<0d1<<1解析：1<<<1

11、，1<<1，1<<1，则有2<<2，又<，<0.综上必有2<<0.4给出下列命题：a>|b|a2>b2；a>ba3>b3；|a|>ba2>b2.其中正确的命题是.5已知a>b>0，c<d<0，求证：<.证明：c<d<0，c>d>0.0<<.又a>b>0，>>0.>，即>，两边同乘1，得<.本课须掌握的两大问题1对不等式性质的六点说明(1)性质1和2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识(2)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据(3)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”(4)性质5(即加法法则)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”(5)性质6,7(即乘法法则与乘方法则)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式(6)性质7,8可并为函