第6章 拉压杆件的应力变形分析及强度设计

1、1第六章第六章 拉压杆件的拉压杆件的应力变形应力变形与与强度强度的设计的设计主讲教师：毛卫国主讲教师：毛卫国单单 位：材料与光电物理学院位：材料与光电物理学院26.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形拉伸与压缩杆件的应力与变形承受轴向拉承受轴向拉(压压)杆在工程中的应用非常广泛。杆在工程中的应用非常广泛。3F外力特征外力特征：外力或其合力的作用线：外力或其合力的作用线通过横截面通过横截面 的形心的形心，并且沿杆件轴线，并且沿杆件轴线F变形特征变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线F轴向拉压轴向拉压：以轴向伸长或缩短为主要特征的变：以轴向伸长或缩短为主要特征的变 形形式形

2、形式F拉压杆拉压杆：以轴线拉压为主要变形的杆件：以轴线拉压为主要变形的杆件杆的受力简图为杆的受力简图为F FF F拉伸拉伸F FF F压缩压缩特点：特点：456.1.1 6.1.1 应力计算应力计算 在很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长在很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩短变形，因此根据材料均匀性的假定，杆件横截或缩短变形，因此根据材料均匀性的假定，杆件横截面上的应力均匀分布。面上的应力均匀分布。 这时横截面上的正应力为这时横截面上的正应力为AFN6AFN 该式为横截面上的正应力该式为横截面上的正应力计计算公式。正应力算公式。正应力和轴力和轴力F FN N同号。同号。即拉应

3、力为正，压应力为负。即拉应力为正，压应力为负。圣文南原理圣文南原理76.1.2 变形变形计算计算1. 绝对绝对变形、弹性模量变形、弹性模量EAlFlN在在弹性弹性范围内，杆的伸长量与杆所受的轴向载荷成正比：范围内，杆的伸长量与杆所受的轴向载荷成正比： 这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的的胡克定律胡克定律(Hooke law)。 )()(rigidityncompressiotensileEA刚度压缩为杆件的拉伸8 当拉、压杆有当拉、压杆有二个以上二个以上的外力作用时，需要先画的外力作用时，需要先画出轴力图，然后上面的公式分段计算各段的变形

4、，各出轴力图，然后上面的公式分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量段变形的代数和即为杆的总伸长量(或压缩量或压缩量)：iiiNiEAlFl92. 相对相对变形、正应变变形、正应变 对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的量表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应变正应变： llxEAlFlNAFNlEAlFNE注意：注意：F这是单向拉伸的这是单向拉伸的应力应变关系。应力应变关系。F只适用于只适用于各处均各处均匀变形匀变形的情形。的情形。10而对于各处变形而对于各处变形不不均匀的情况，会是怎么

5、样的呢？均匀的情况，会是怎么样的呢？我们考察杆内某一微段我们考察杆内某一微段dx的相对变形的相对变形dxdxx( )NxF dxEA xdxE无论变形是否均匀，正无论变形是否均匀，正应力与正应变之间的关应力与正应变之间的关系都是相同的。系都是相同的。113. 横向横向变形、泊松比变形、泊松比xyv横向变形与轴向变形之间存在下列关系：横向变形与轴向变形之间存在下列关系：V为泊松比为泊松比(Poisson ratio)轴向变形横向变形xyv12例题例题6-11. 作轴力图作轴力图 由于杆件内材料不同，且各处受力载荷也不同，由于杆件内材料不同，且各处受力载荷也不同，所以应该首先确定所以应该首先确定各

6、段杆的横截面上的轴力各段杆的横截面上的轴力。要注意各个外要注意各个外力的力的作用点作用点！132FpAD段段2FpDE段段2FpEB段段FpFp2FpBC段段Fp2FpFp2FpFpFpFpFp0142. 计算直杆横截面上绝对值最大的正应力计算直杆横截面上绝对值最大的正应力 横截面上横截面上绝对值最大的正应力绝对值最大的正应力将发生在轴力绝对值将发生在轴力绝对值最大的横截面上，或者横截面面积最小的横截面上最大的横截面上，或者横截面面积最小的横截面上 。6926N11Pa10 MPa10 MPam1m10dm100cm1000mm10m361N10 kN10 MN153. 计算直杆的总变形量计算

7、直杆的总变形量直杆的总变形量等于各段杆变形量的代数和直杆的总变形量等于各段杆变形量的代数和 。 由于各段材料存在差异，以及各段内的应力也存在差异，由于各段材料存在差异，以及各段内的应力也存在差异，所以要分段计算变形。所以要分段计算变形。BCEBDEADiiiNillllEAlFlBCBCNBCEBEBNEBDEDENDEADADNADEAlFEAlFEAlFEAlFmmmmm6666610211.110875.010286.0106 .0102 .1.16补充例题：补充例题： 图示杆的图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为点分别作用着大小为5P、8P、4P、P 的力，方向的力，方向如图，试画

8、出杆的轴力图。如图，试画出杆的轴力图。解：解： 求求OA段内力段内力N1：设置截面如图：设置截面如图ABCDPAPBPCPDOABCDPAPBPCPDN10 xF 01DCBAPPPPN 04851PPPPNPN2117同理，求得同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：段内力分别为： N2= 3PN3= 5PN4= P轴力图如右图轴力图如右图BCDPBPCPDN2CDPCPDN3DPDN4Nx2P3P5PP+180 xF0yFFNBDFNBDFNBDFNCDFP045sinPoNBDFF045cosNCDoNBDFF kNFFFPNBDNBD40.312 kNFFPNCD2 .22192. 计

9、算各杆的应力计算各杆的应力AFN应用公式：206.3 拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能 进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制成标准试样成标准试样(standard specimen)；然后将试样安装在试；然后将试样安装在试验机上，使试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的验机上，使试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的 加载过程，加载过程，试验机自动记录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应试验机自动记录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应变的关系曲线，称为变的关系曲线，称为应力应力-应变曲线应变曲线(stress-strain

10、curve)。 21不同的材料，其应力不同的材料，其应力应变曲线有很大的差异。应变曲线有很大的差异。典型的典型的韧性材料韧性材料(ductile materials)低碳钢的拉伸应力低碳钢的拉伸应力应变曲线应变曲线典型的典型的脆性材料脆性材料(brittle materials)铸铁的拉伸应力铸铁的拉伸应力应变曲线。应变曲线。 通过分析拉伸应力一应变曲线，可以得到材料的若干力学性能指标。通过分析拉伸应力一应变曲线，可以得到材料的若干力学性能指标。22oabcef明显的四个阶段明显的四个阶段1 1、弹性阶段、弹性阶段obobP比例极限比例极限Ee弹性极限弹性极限tanE2 2、屈服阶段、屈服阶段

11、bcbc（失去抵（失去抵抗变形的能力）抗变形的能力）s屈服极限屈服极限3 3、强化阶段、强化阶段cece（恢复抵抗（恢复抵抗变形的能力）变形的能力）强度极限强度极限b4 4、局部径缩阶段、局部径缩阶段efefPesb6.3.2 韧性韧性材料材料拉伸拉伸时的力学性能时的力学性能23两个塑性指标两个塑性指标: :%100001lll断后伸长率断后伸长率断面收缩率断面收缩率%100010AAA%5为塑性材料为塑性材料%5为脆性材料为脆性材料低碳钢的低碳钢的%3020%60为塑性材料为塑性材料0材料材料拉伸拉伸时的力学性能时的力学性能24三三 卸载定律及冷作硬化卸载定律及冷作硬化1 1、弹性范围内卸载

12、、再加载、弹性范围内卸载、再加载oabcefPesb2 2、过弹性范围卸载、再加载、过弹性范围卸载、再加载ddghf 即材料在卸载过程中即材料在卸载过程中应力和应变是线形关系，应力和应变是线形关系，这就是这就是卸载定律卸载定律。 材料的比例极限增高，材料的比例极限增高，延伸率降低，称之为延伸率降低，称之为冷作硬冷作硬化或加工硬化化或加工硬化。韧性韧性材料材料拉伸拉伸时的力学性能时的力学性能25四四 其它材料拉伸时的力学性其它材料拉伸时的力学性能能对于没有明显屈对于没有明显屈服阶段的塑性材料，服阶段的塑性材料，用 名 义 屈 服 极 限用 名 义 屈 服 极 限0.2来表示。来表示。o%2 .

13、00.2韧性韧性材料材料拉伸拉伸时的力学性能时的力学性能26 对于脆性材料，从开始加载直至试样被拉断，对于脆性材料，从开始加载直至试样被拉断，试样的变形都很小。而且大多数脆性材料拉伸的应力试样的变形都很小。而且大多数脆性材料拉伸的应力应变曲线上都没有明显的直线段，几乎没有塑性变应变曲线上都没有明显的直线段，几乎没有塑性变形，形， 也不会出现屈服和颈缩现象。因而只有断裂时也不会出现屈服和颈缩现象。因而只有断裂时的应力值的应力值强度极限强度极限b 。 6.3.3 脆性脆性材料材料拉伸拉伸时的力学性能时的力学性能韧韧性断裂性断裂脆脆性断裂性断裂276.3.4 强度失效强度失效概念与失效应力概念与失效

14、应力如果构件发牛断裂，将完全丧失正常功能，这是强度如果构件发牛断裂，将完全丧失正常功能，这是强度失效的一种最明显的形式。失效的一种最明显的形式。如果构件没有发生断裂而是产个如果构件没有发生断裂而是产个明显的塑性变形明显的塑性变形，这，这在很多工程中都是不允许的。因此当发生屈服，产生在很多工程中都是不允许的。因此当发生屈服，产生明显塑性变形时，也是失效。明显塑性变形时，也是失效。根据拉伸实验过程中观察的现象。强度失效的形式可根据拉伸实验过程中观察的现象。强度失效的形式可以归纳为：以归纳为： 韧韧性材料的强度失效性材料的强度失效屈服屈服与与断裂断裂。 脆脆性材料的强度失效性材料的强度失效断裂断裂。

15、28 因此材料发生屈服和断裂时的应力就是因此材料发生屈服和断裂时的应力就是失效应力失效应力(failure stress)，也就是强度设计中的危险应力。韧性，也就是强度设计中的危险应力。韧性材料与脆性材料的强度失效应力分别为：材料与脆性材料的强度失效应力分别为：韧韧性材料的强度失效应力性材料的强度失效应力 屈服点屈服点s(或条件屈服强度或条件屈服强度0.2)、抗拉强度、抗拉强度b脆脆性材料的强度失效应力性材料的强度失效应力 抗拉强度抗拉强度b 某些材料力学中将某些材料力学中将屈服强度屈服强度与与强度极限强度极限标为材料的强度指标。标为材料的强度指标。29一一 试件和实验条件试件和实验条件常温、

16、静载常温、静载6.3.5 压缩压缩时材料的力学性能时材料的力学性能30二二 塑性材料（低碳钢）的压缩塑性材料（低碳钢）的压缩屈服极限屈服极限S比例极限比例极限p弹性极限弹性极限e 拉伸与压缩在屈服拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。阶段以前完全相同。E E - - 弹性摸量弹性摸量6.3.5 压缩压缩时材料的力学性能时材料的力学性能31三三 脆性材料（铸铁）的压缩脆性材料（铸铁）的压缩obtbcF脆性材料的抗脆性材料的抗拉拉与抗与抗压压性性质质不不完全相同！完全相同！F压缩时的强度极限远大于压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限拉伸时的强度极限F脆性脆性材料宜用作材料宜用作承压承压杆件。杆件。

17、bcbt6.3.5 压缩压缩时材料的力学性能时材料的力学性能326.3.5 压缩压缩时材料的力学性能时材料的力学性能336.2 拉伸与压缩杆件的拉伸与压缩杆件的强度强度设计设计 上节中分析了轴向载荷作用下杆件中的应力和变形，上节中分析了轴向载荷作用下杆件中的应力和变形，以后的几章中还将对其他载荷作用下的构件作应力和变以后的几章中还将对其他载荷作用下的构件作应力和变形分析。形分析。 但是在工程应用中，但是在工程应用中，确定应力很少是最终的目的确定应力很少是最终的目的，而只是工程师借助于完成下列主要任务的而只是工程师借助于完成下列主要任务的中间过程中间过程： 分析已有的或设想中的机器或结构，确定他

18、们在分析已有的或设想中的机器或结构，确定他们在特定载荷条件下的状态。特定载荷条件下的状态。 设计新的机器或新的结构，使之设计新的机器或新的结构，使之安全而经济安全而经济地实地实现特定的功能。现特定的功能。34 例如对于例题例如对于例题6-2中所示之三角架结构，上一节中已经计中所示之三角架结构，上一节中已经计算出拉杆算出拉杆BD和压杆和压杆CD横截面上的正应力。现在可能有以下横截面上的正应力。现在可能有以下几方面的问题：几方面的问题： 在这样的应力水平下，二杆分别选用什么材料，才能在这样的应力水平下，二杆分别选用什么材料，才能保证三角架结构可以安全可靠地工作？保证三角架结构可以安全可靠地工作？在

19、给定载荷和材料的情形下，怎样判断三角架结构能在给定载荷和材料的情形下，怎样判断三角架结构能否安全可靠的工作？否安全可靠的工作？ 在给定杆件截面尺寸和材料的情形下，怎样确定三角在给定杆件截面尺寸和材料的情形下，怎样确定三角架结构所能承受的最大载荷？架结构所能承受的最大载荷？为了回答上述问题，需要引入为了回答上述问题，需要引入强度设计强度设计的概念。的概念。35一、一、 安全系数和许用应力安全系数和许用应力工作应力工作应力AFN un极限应力极限应力塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料0.2uS （）（bcbtu塑性塑性材料的许用应力材料的许用应力 0.2sssnn脆性脆性材料的许用应力材料的许用应力

20、 bbcbbtnn2-62-6 n n 安全系数安全系数 许用应力许用应力。 6.2.1 强度设计准则、强度设计准则、安全因数安全因数与与许用应力许用应力36二、二、 强度条件强度条件 AFNmax AFNmax根据强度条件，可以解决三类强度计算问题根据强度条件，可以解决三类强度计算问题1 1、强度校核强度校核： NFA2 2、设计截面设计截面： AFN3 3、确定许可载荷确定许可载荷：6.2.1 强度设计准则、强度设计准则、安全因数安全因数与与许用应力许用应力37 所谓所谓强度设计强度设计(strength design)是指将杆件中的是指将杆件中的最大应力限制在允许的范围内，以保证杆件正常

21、工作。最大应力限制在允许的范围内，以保证杆件正常工作。不仅不发生强度失效，而且还要具有一定的不仅不发生强度失效，而且还要具有一定的安全裕度安全裕度。对于拉伸与压缩杆件，也就是杆件中的最大正应力满足对于拉伸与压缩杆件，也就是杆件中的最大正应力满足 max 这一表达式称为拉伸与压缩杆件的这一表达式称为拉伸与压缩杆件的强度设计准则强度设计准则(criterion for strength design)，又称为强度条件。其，又称为强度条件。其中中称为称为许用应力许用应力(allowable stress)，与杆件的材料，与杆件的材料力学性能以及工程对杆件安全裕度的要求有关，由下式力学性能以及工程对杆

22、件安全裕度的要求有关，由下式确定确定 no为安全因数。定。它由材料的拉伸实验确险应力为材料的极限应力或危nstresscriticalo)(6.2.1 强度设计准则、强度设计准则、安全因数安全因数与与许用应力许用应力386.2.3 强度设计准则应用举例强度设计准则应用举例391.受力分析受力分析2.确定两杆的轴力确定两杆的轴力00yxFF0cos21NNFF0sin2NwFF21sin23coswNFF73. 11wNFF22403. 确定最大起吊重力确定最大起吊重力4142本例讨论本例讨论 这种设计实际上是一种等强度的设计，是保证构件与结这种设计实际上是一种等强度的设计，是保证构件与结构安全

23、的前提下，最经济合理的设计。构安全的前提下，最经济合理的设计。另外要注意：另外要注意：如果起重机不在如果起重机不在A点，那么点，那么AB杆将受到横向载杆将受到横向载荷而主要承受弯曲，这时最大起重量将发生变化。荷而主要承受弯曲，这时最大起重量将发生变化。436.4 6.4 结论与讨论结论与讨论主要结论：主要结论： 通过拉、压构件的变形与强度问题约分析，可以看出，通过拉、压构件的变形与强度问题约分析，可以看出，材料力学分析问题的思路和方法与静力分析相比，除了受材料力学分析问题的思路和方法与静力分析相比，除了受力分析与平衡方法的应用方面有共同之处外，力分析与平衡方法的应用方面有共同之处外， 还具有自

24、身还具有自身的特点：的特点：一方面不仅要应用一方面不仅要应用平衡原理和平衡方法平衡原理和平衡方法，确定构件所，确定构件所受的外力，用截面法确定构件内力；要根据变形的特点确受的外力，用截面法确定构件内力；要根据变形的特点确定横截面上的应力分布，建立定横截面上的应力分布，建立应力的表达式应力的表达式。另一方面还要另一方面还要通过实验通过实验确定确定材料的力学性能材料的力学性能，了解材，了解材料何时发生失效，进而建立保证构件安全、可靠工作的设料何时发生失效，进而建立保证构件安全、可靠工作的设计准则。计准则。 44 此外，对于承受拉伸和压缩杆件，此外，对于承受拉伸和压缩杆件，直接通过实验就直接通过实验

25、就可以建立失效判据，进而建立设计准则可以建立失效判据，进而建立设计准则。 在以后的分析中，将会看到材料在一般受力与变形在以后的分析中，将会看到材料在一般受力与变形形式下的失效判据，是无法直接通过实验建立的。但形式下的失效判据，是无法直接通过实验建立的。但是是轴向拉伸轴向拉伸的实验结果，仍然是建立材料在一般受力的实验结果，仍然是建立材料在一般受力与变形形式下失效判据的重要依据。与变形形式下失效判据的重要依据。 456.4.2 6.4.2 关于应力和变形公式的应用条件关于应力和变形公式的应用条件AFNxEAlFlN载荷作用线沿着杆件的轴线方向载荷作用线沿着杆件的轴线方向所有横截面上的轴力作用线所有

26、横截面上的轴力作用线都都通过通过横横截面的中心截面的中心1) 1) 导出这一公式时应用了导出这一公式时应用了胡克定律胡克定律，因此只有杆件在弹性范围内加载时，因此只有杆件在弹性范围内加载时，才能应用上述公式计算杆件的变形；才能应用上述公式计算杆件的变形； 2) F2) FNN为一段杆件内的轴力，只有当为一段杆件内的轴力，只有当杆件仅在两端受力时杆件仅在两端受力时F FNN才等于外力才等于外力F FP P。当杆件上有多个外力作用，则必须。当杆件上有多个外力作用，则必须先计算各段轴力，再分段计算变形，然后按代数值相加。先计算各段轴力，再分段计算变形，然后按代数值相加。P112P112问题问题46

27、如果杆端两种外加力如果杆端两种外加力静力静力学等效学等效，则距离加力点稍远，则距离加力点稍远处，处，静力学等效静力学等效对应力分布对应力分布的影响很小，可以忽略不计。的影响很小，可以忽略不计。这一思想最早是由法国科学这一思想最早是由法国科学家圣维南提出的。家圣维南提出的。6.4 6.4 圣维南原理和应力集中圣维南原理和应力集中amaxaKmax47Saint-VenantSaint-Venant原理与应力集中示意图原理与应力集中示意图( (红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) )变形示意图：变形示意图：a ab bc c

28、P PP P应力分布示意图：应力分布示意图：486.4.5 6.4.5 超静定问题超静定问题 前面几节讨论的问题中，作用在杆件上的外力或杆件横前面几节讨论的问题中，作用在杆件上的外力或杆件横截面上的内力，都能够由静力平衡方程直接确定，这类问截面上的内力，都能够由静力平衡方程直接确定，这类问题称为题称为静定问题静定问题。 工程实际中，为了提高结构的强度、刚度，或者为了满工程实际中，为了提高结构的强度、刚度，或者为了满足构造及其他工程技术要求，常常在静定结构中足构造及其他工程技术要求，常常在静定结构中再附加某再附加某些约束些约束( (包括添加杆件包括添加杆件) )。这时，由于未知力的个数。这时，由

29、于未知力的个数多多于所于所能提供的独立的平衡方程的数目，因而仅仅依靠静力平衡能提供的独立的平衡方程的数目，因而仅仅依靠静力平衡方程式无法确定全部未知力。这类问题称为方程式无法确定全部未知力。这类问题称为超静定问题超静定问题。49补充多少个方程呢？怎么列出方程？补充多少个方程呢？怎么列出方程？静不定度静不定度： 静不定问题未知力的数目，多于静不定问题未知力的数目，多于有效平衡方程有效平衡方程的数的数目，二者之目，二者之差差称为静不定度。称为静不定度。独立独立平衡方程数：平衡方程数：平面任意力系：平面任意力系：3 3个平衡方程个平衡方程平面共点力系：平面共点力系：2 2个平衡方程个平衡方程平面平行

30、力系：平面平行力系：2 2个平衡方程个平衡方程共线力系：共线力系：1 1个平衡方程个平衡方程补充方程的类型：补充方程的类型：利用利用变形协调条件变形协调条件，列出相应的方程，列出相应的方程(几何方程几何方程)。50 多余约束使结构由静定变为超静定，问题由静力平衡可解变为多余约束使结构由静定变为超静定，问题由静力平衡可解变为静力平衡不可解，这只是问题的一方面。静力平衡不可解，这只是问题的一方面。 问题的另一方面是，多余约束对结构或构件的变形起着一定的问题的另一方面是，多余约束对结构或构件的变形起着一定的限制作用限制作用，而结构或构件的变形又是与受力密切相关的，这就为求，而结构或构件的变形又是与受

31、力密切相关的，这就为求解解超静定问题超静定问题提供了补充条件。提供了补充条件。 思路思路 因此求解超静定问题，除了根据静力平衡条件列出平衡方程外，因此求解超静定问题，除了根据静力平衡条件列出平衡方程外，还必须还必须在多余约束处在多余约束处寻找各构件寻找各构件变形之间变形之间的关系，或者构件各部分的关系，或者构件各部分变形之间的关系，这种变形之间的关系称为变形之间的关系，这种变形之间的关系称为变形协调关系变形协调关系或或变形协变形协调条件调条件(deformation compatibility relations)。进而根据。进而根据弹性范围弹性范围内内的力和变形之间关系的力和变形之间关系(胡

32、克定律胡克定律)，即物理条件，建立补充方程。总，即物理条件，建立补充方程。总之，求解超静定问题需要综合考察之，求解超静定问题需要综合考察平衡、变形和物理平衡、变形和物理三方面，这是三方面，这是分析超静定问题的分析超静定问题的基本方法基本方法。 51举例：举例：1. 分析约束力分析约束力0 xF0BPPAFFFFBAFF 2. 建立补充方程建立补充方程变形协调方程变形协调方程0DBCDACABllll3. 胡克定律胡克定律物理方程物理方程EAlFlNACACEAlFlNCDCDEAlFlNDBDB52应用截面法求得各段的轴力大小应用截面法求得各段的轴力大小)(压ANACFF)(拉APNCDFFF)(DB压BNFF最后联立以上四组方程，求得两固定端的约束力为：最后联立以上四组方程，求得两固定端的约束力为：3PBAFFF53最后画出轴力图最后画出轴力图54例题例题 ABAB长长2m, 2m, 面积为面积为200mm200mm2 2。ACAC面积为面积为250mm250mm2 2。E E=2