(完整word版)热传导方程傅里叶解.docx

1、热传导在三维的等方向均匀 介质里的传播可用以下方程表达:dua+ div(Uu) = k一A (乜工工 + Uyy + %j其中: u =u（t, x, y, z）表温度，它是时间变量t与 空间变量（x,y,z）的 函数。 是空间中一点的温度对时间的变化率。 联班，葭卯与u心温度对三个空间座标轴的二次导数。 k决定于材料的热传导率、密度与热容。热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）O如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定U的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定 解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。热方程的解具有将初始温度平滑化的特

2、质，这代表热从高温处向低温处 传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也 一样。热方程也是 抛物线偏微分方程 最简单的例子。利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式其中的是对空间变量的拉普拉斯算子。热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动X 电仕。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯 模型与"Ornstein-Uhlenbeck过程。热方程及其非线性的推广型式也被应 用于影像分析。量子力学中的薛定影方程虽然有类似热方程的数学式 (但时间参数为纯虚数)，本质却不是扩散

3、问题，解的定性行为也完全 不同。就技术上来说，热方程违背 狭义相对论,因为它的解表达了一个扰 动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方T锥外的影响通常可忽略 不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双 曲线型偏微分方程。以傅里叶级数解热方程编辑以下解法首先由约瑟夫傅里叶在他于1822年出版的著作Theorie analytique de la chaleur(中译：解析热学)给出。先考虑只有一个空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程如下：(1) tz, kuxx其中U = u( t , X)是t和X的双变量函数。x是空间变量，所以X£O,L,其中L表示棍

4、子长度。.t是时间变量，所以t 2 Oo 假设下述初始条件(2) .(0产)=f V® 0,1其中函数f是给定的。再配合下述边界条件(3) 0) = 0 = L) Vt > 0让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件(3)并具备以下 形式：(4) ti(t=X(t)T.这套技术称作 分离变量法。现在将u代回方程(1),_ XH (x)kT(t)= Xx'由于等式右边只依赖x,而左边只依赖t,两边都等于某个常数-入，于是：(5) r(i) = -XkT(t)(6) X"=-XX .以下将证明(6)没有 入W 0的解:假设X <0 ,则存在实数 B、

5、C使得从（3）得到X(0) = 0 = x(£).于是有B = 0= C,这蕴含u恒等于零。假设入=0 ,则存在实数 B、C使得x(%)= + a仿上述办法可从等式（3）推出u恒等于零。因此必然有X >o ,此时存在实数A、B、C使得X(x) = Bsm(y/Xx) + C cos(/Xx).从等式（3）可知C=0 ，因此存在正整数n使得由此得到热方程形如（4）的解。一般而言，满足（1）与（3）的解相加后仍是满足（1）与（3）的解。事实上可以证明满足（1）、（2）、（3）的解由下述公式给出：其中Dn =v / /wsuidTLit JoL推广求解技巧编辑上面采用的方法可以推广到

6、许多不同方程。想法是：在适当的函数空间上，算子 奇浦智的 特征矢量族示T就自然地导向线性自伴算 子的谱理论。考虑线性算子,以下函数序列2 . mrxZsm7T的特征矢量。诚然:此外，任何满足边界条件f (。)= f ( L)=0的 的特征矢量都是某个n2e o令L(0, L)表0, L上全体平方可积函数的矢量空间。这些 函数en构成L2。L)的一组正交归一基。更明白地说：最后，序列enn£N张出L2(0, L)的一个稠密的线性子空间。这就表明我们实际上已将算子对角化。非均匀不等向介质中的热传导一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是6L 量流的一种形式，因此可以谈论

7、单位时间内流进空间中一块区域的热量。单位时间内流入区域V的热量由一个依赖于时间的量qt(v)给出。假设q有个密度Q(t,x),于是Qt(V) - J、热流是个依赖于时间的矢量函数H (x),其刻划如下：单位时间 内流经一个面积为dS而单位法矢量为n的无穷小曲面元素的热 量是H(z) dS因此单位时间内进入 V的热流量也由以下的面积分给出Qt(V) = - H(t) n(r) dS Jdv其中n(x)是在x点的向外单位法矢量。热传导定律 说明温度对时间的梯度满足以下线性关系H(z) = A(a?) - u(a?)其中A(x)是个3X3实对称正定矩阵。利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分qt

8、(y) = 一/ H()- n(i) dS JdvI A Vu(x) - n(x) dS Jdv=j, E 为巴式吟%加，工)dx V温度在X点对时间的改变率与流进X点所在的无穷小区域的热 量成正比，此比例常数与时间无关，而可能与空间有关，写作 K (X)o力=K(X)Q(ttX)将以上所有等式合并，便获得支配热流的一般公式。(& x) = O £ % % (比)。工产(九注记:系数K（X）是该材料在X点的密度和比热的积的倒数。*在等方向性介质的情况，矩阵A只是个标量，等于材料的导热 率。.在非等向的情况，A不一定是标量，我们鲜少能明确写出热方 程的解。然而通常可考虑相应的

9、抽象柯西问题，证明它是 适定 的，并（或）导出若干定性结果（诸如初始值保持正性、无穷 传播速度、收敛至平衡态或一些平滑化性质）。这些论证通常有 赖于单参数半群理论:举例来说，如果 A是个对称矩阵，那 么由Au:=£01cg （父）也护 定义的明算齐是自伴而且耗散的，因此由谱定理导出它生成 一个单参数半群。粒子扩散编辑粒子扩散方程编辑在粒子扩散的模性中，我们考虑的方程涉及在大量粒子集体扩散的情况：粒子的体积。度，记作Co或者在单一粒子的情况：单一粒子对位置的概率密度函数，记作Po不同情况下的方程:Cf. = D&G或者Pt = DAP.c与P都是位置与时间的函数。D是扩散系数，

10、它控制扩散速度，通常以米/秒为单位。如果扩散系数D依赖于浓度c (或第二种情况下的概率密度P),则我 们得到非线性扩散方程。单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动o如果一个粒子在时间 力二0时置于 H = 则相应的概率密度函数具有以下形式：产伊=5其±)=画嬴。一品它与概率密度函数的各分量 乙、/和五工的关系是：-1廨+段+碎P 值=(4打0 评一皿 * = P(R3)P(/J)P(R")随机变量 耳，取，凡服从平均数为0、变异数为21H的丁太公斤的1L态分布在三维的情形，随机矢量月服从平均数为 正、变异数为60f的正态 分布。 在仁o时，上述P（R5）的表示式带有

11、奇点。对应于粒子处在原点 之初始条件，其概率密度函数是在原点的 狄拉克6函数,记为3（国 （三维的推广是6（团=.扩散方程对此初始值的解也称作格林函数。扩散方程的历史源流编辑粒子扩散方程首先由Adolf Fick于1855年导得。以格林函数解扩散方程编辑格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解（数学家称之为扩散方程 的基本解）。当粒子初始位置在原点 正时，相应的格林函数记作 "但尚（t>0 ）；根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初 位置点0始，相应的格林函数是G（左岸，士）对于一般的初始条件，扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林 函数的叠加。举例来说，设仁o时有一大群粒子

12、，根据浓度分布的初始值6瓦°）分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。跟任何（广义）函数一样，浓度分布的初始值可以透过积分表为狄 拉克5函数的叠加：Wf = kuxxu (瑞 0) = g(x)ut = kg u(X0) = g(x) u(0, t) = 0C（左5 = 0） = /心（用工=0）6（五一用）£/4段d型扩散方程是线性的，因此在之后的任一时刻 t,浓度分布变为:c（ t）= f4#,t = 0）G宙-乔此时d瑕在粒子扩散的情形，我们可以将狄拉克S函数对应的初始条件理解 为粒子落在一个已知位置。一般而言，任何扩散过程的解都有这种表 法，包括

13、热传导或动量的扩散；后者关系到流体的粘性现象。一维格林函数解列表编辑以下以简写BC代表边界条件，IC代表初始条件。OO < X < oo, 0 < f < ooIC9(y) dy0 < X < OQy 0 < t< (X)ICBC就 jo 4"3 = kuxx打(皿 0) = g(z)u式 01t) = 00 < x < oo, 0 < i <ICBC9=册 r (exp+exp (-)9®dyI Ut = kuxx + f联(跖0) = 0ft fXiM % 0 = / /JO J-B-00 <

14、 X <0 < t <00IC1 =exp (：") £)dyds s) 4断土 - s) JW = ku* +/(15)ux 0) = 0it(OJ) = 0ICBC0 < t < ex)nooL 1 feXp j (虞 3) /JttAC 4A(士- s)Ut = kuxx 0 < t < 00, 0 < t < ex?M 瑞 0) = 0 ic1) = h(t) BCu(z, t) = /X( x2expJ47rAp - £尸 权(大一句h(s) ds(可能的问题：根据上解，u(0)=0 )心】IC<z<cx), 0<t<oovt = kk + /, wt = kwxxu(距 0) = 0, w(xy 0) = g(x)< X < OO, 0 < t < CXDIC)u1 = k