(完整版)微积分复习资料

1、基本知识复习一、不定积分1 .不定积分概念，第一换元积分法(1)原函数与不定积分概念设函数F x与f x在区间 a,b内有定义，对任意的 x a,b ,有 F x f x 或 dF x fxdx,就称F x是f x在a,b内的一个原函数。如果F x是函数f x的一个原函数，称f x的原函数全体为 f x的不定 积分，记作f x dx F x C,(2)不定积分得基本性质.d1 .f x dx f x 2o F x dx F x C dx3。 Af x Bg x dx A f x dx B g x dx.(3)基本不定积分公式表一12(1) kdx kx C k是常数，1/x(2) x dx C

2、 11(3) dx In x C, x(4) 2 arctan x C,1 xarcsin x C,(6) cosxdx sin x C,(7) sin xdx cosx C,dx2- cos xdx一一 2 sin x2(9)sec xdx tan x C,2csc xdx cot x C,(10) secxtanxdx secx C,(11) csc x cot xdxcscx C,xax(12) axdx - C, ln a(13) shxdx chx C,(14) chxdx shx C, 1(15) dx thx C,ch xt是单调的、可导的函数，并且 t0.又设ft t具有原函数

3、则有换元公式f x dx f t t dt 1t (16) -dxcthx C.sh x(3)第一换元积分法(凑微分法)设f u具有原函数，u x可导，则有换元公式f x x dx f u du u x2.第二换元积分法，分部积分法(1) 第二换元积分法 x其中t的反函数.(2) 分部积分法设函数u U X及V V X具有连续导数，那么,uv u v uv , 移项，得uv uv u V.对这个等式两边求不定积分，得.uv dx uv u vdx.这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式：udv uv vdu.(3) 基本积分公式表二(17) tanxdx ln cosx C,(18)

4、cot xdx In sin x C,(19) secxdx 1nsec tanx C,(20) cscxdx ln cscx cotx C, dx 1, x 仆(21) 22 arctan- C,a x a adx ,1 Jx a 仆(22) Cdx Mx a c，(23)_dx_a2=x2(24)dxx2=a2ln xC,(25)dx.x _arcsin- C,a(3)有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分有理函数的积分Px 两个多项式的商称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式 P xQ x与分母多项式Q x之间是没有公因式的.当分子多项式P x的次数小于分

5、母多项式Q x的次数时，称这有理函数为 真分式，否则称为假分式.利用多项式的除法，总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式，由于多项式的积分容易求，故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式类型：一种是xPn x，首先将Qm x在实数范围内进行因式分解，分解的结果不外乎两种 Qm xk 2l2a ，另外一种是 x px q 淇中k,l是正整数且 p 4q 0;其次，根若Qm X分解后含有因式，则和式中对应地含有以下k个分式之和：据因式分解的结果，将真分式拆成若干个分式之和 具体的做法是：Al其中：Ai,L , Ak为待定常数.若Qm x分解后含有因式px，则和式中对应地含有以下

6、l个分式之和：M1xNiM2x N2x px qpx qMlx Nl2l ,x px q其中：Mi,Ni i 1,2,L ,l为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定以，有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和，所二、可化为有理函数的积分举例1 sin x 例4 求 dx.sin x 1 cosxx解 由二角函数知道，sinx与cosx都可以用tan 2的有理式表示，即sin xx x2sin cos一_ x2tan-_ x2 tan2_cosx2 x cos 一.2 sin2 x sec 一21 tan一 2 x1 tan -22 x sec 一2,

7、2 xtan22 x1 tan2 x如果作变换u tan -2，那么sin x2u2 ,cosx1 u2 u 2， u而 x 2arctan u,从而于是dx 2 du.1 u21 sin x , dx sin x 1 cosx( 2u2du1221 u1 u2u d 1 u22 121 u21 u21 c1,u 2 du2 u2u In u C2 21 , 2 x, x1,x x-tan -tanIntan -C.42222例5 求义 1 dx. x解设Jx 1 u，于是x u2 1,dx 2udu,从而所求积分为x 1 , uu ,dx-3 2udu 2 -3 dux u2 1u2 112

8、 1 2 du 2 u arctanu C1 u2dx3xdx3u2In 1-du udu3 i3G 31n * 1C.解 设x 16,于是dx 6t5dt,从而所求积分为dx1 3 x Jx6t51 t2dt 6 -t31t2dt t-，1.-6 1 2 dt 6 t arctan t C1 t26 6 x arctan 6 x C.1xt2,x2tdt从而所求积分为t2-J-1xdxt2 1 t 空方dt2一dtx , xt2 1 2 t2 1121 -2 dtt2 12t 1n H CC.定积分(1)定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质(1) 定积分的概念1。定积分的定义定义(定

9、积分)设函数f x在区间a,b上有定义用分点a x Xx2 Lxn 1 xnb,将区间a,b任意分成n个小区间，小区间的长度为xxi x 1 i 1,2,L , n ,记 max x .在每个小区间 xi 1,xi上任取一点i k 1 i k ,作乘积 1 i nf i xi i 1,2,L ,n .将这些乘积相加，得到和式nn f i x ,i 1这个和称为 函数f x在区间a,b上的积分和.令0,若积分和n有极限I（这个值I不依赖于 a,b的分法以及中间点i的取法i 1,2,L ,n，则称此极限值为f x在a,b上的定积分，记作nbI lim f ixif x dx,0 i i i i a

10、其中a和b分别称为 定积分的下限与上限，a,b称为积分区间.函数的可积性定理1若f x在a,b上连续，则f x在a,b上可积.定理2 若f x在a,b上只有有限个间断点，并且有界，则f x在a,b上可积.定积分的几何定义b在a,b上f x 0时，我们已经知道，定积分 f x dx在几何上表示由曲线 ay f x、两条直线x a,x b与x轴所围成的曲边梯形的面积；在a, b上f x0时,由曲线y f x、两条直线x a,x b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，定积分bf x dx在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在a,b上f x既取得正值又取得负a值日 ,函数f x的图形某些部分在x轴的

11、上方，而其它部分在x轴下方.此时 定积分bf x dx表示x轴上方图形面积减去 x轴下方图形面积所得之差 （图4-2）.a定积分的基本性质为了以后计算及应用方便起见，对定积分做以下两点补充规定b时,f x dx0;(2)当 ab时,f x dxaf x dx.b性质1ba.1dxa性质2 (线性性质k2g xdxbk1fax dxk2bg x dx.a K推论dxdxdx.推论bkfax dxdx.性质x dxbdx fcdx.性质b, f，则bfadxbagx dx.推论3b, f xb0,则 fax dx0.推论4b,mM，则推论5x dxx dx性质5(定积分中值定理4-6)a,bx d

12、x M上连续，则至少有一点a, b，使得dx积分上限的函数及其导数定理1如果函数f x在区间a,b上连续，则积分上限的函数定理2如果函数f x在区间a,b上连续，则函数xf t dta就是f x在a,b上的一个原函数.、牛顿莱布尼茨公式定理3如果函数F x是连续函数f x在区间a,b上的一个原函数，则bf x dx F b F a .a通常也把牛顿-莱布尼茨公式叫做微积分基本公式.(2) 定积分的换元积分法与分部积分法f x在a,b上连续，作变换xt淇中t满足13(1) a, b,且当 t ，时，t a,b ;(2) t在，上具有连续导数，则b,f x dx f t t dt.a定积分的分部积

13、分法:b.u x v x dxb.v x u x dx例28证明：1 .若f x在 a,a上是连续的偶函数，则 aaf x dx 2 f x dx.a02 .若f x在 a,a上是连续的奇函数，则af x dx 0.a例29若f x在01f0,1上连续，证明：sin x dx 2 f cosx dx;0(2)xf sin x dx0 f sin x dx. 2 0例31设f x是连续的周期函数，周期为 T ,证明：a TT(1) f x dx f x dx;a0a nTT(2) f x dx n f x dx n N .a0例9证明:In2 sinnxdx02 cosn xdx0证:令t,则n

14、n-12时,In这样，我们得递推公式当n为正偶数时,1当n为正奇数时,InIn1 n 3L3 1 ,n为正偶数;4 2 2:2, n为正奇数.32sinn xdx002 sinnxdx_ n 1 cosxsin xcosntdt5sinn02 sinn 2 xdx0Innn-11 In.In3L22I1n n ，； 3I1.02 cosn xdx.1 xd cosx2.sinn 2 xcos2 xdx2 sin xdx 1,0102 dx3L02 sinnxdx1 ,n为正偶数;2 23L 4 2,n为正奇数.在一些实际问题中，常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分，它41反

15、常积分无穷限的反常积分定义 1 设函数 f x 在区间 a, 上连续 ,取 t a ,如果极限lim f x dxta存在,则称此极限为函数 f x 在无穷区间a, 上的反常积分,记作f x dx, 即atf x dx lim f x dx,ata这时也称反常 积分f x dx 收 敛 ; 如果上述极限不存在, 则函数 f x 在无穷区间aa,上的反常积分f x dx就没有意义，习惯上称为 反常积分f x dx发散，这时aa记号 f x dx不再表示数值了 a类似地 , 设函数 f x 在区间,b 上连续,取 t b ,如果极限lim f x dxttb存在,则称此极限为函数 f x 在无穷区

16、间bf x dx,b 上的反常积分,记作f x dx, 即blim f x dx,ttb这时也称反常积分f xdx收敛;如果上述极限不存在,则称 反常积分bf x dx发散.设函数 f x 在区间, 上连续 ,如果反常积分0f x dx 和 f x dx上的反常积分,记作都收敛,则称上述两反常积分之和为函数 f x 在无穷区间f x dx, 即0f x dx f x dx f x dx,0这时也称 反常积分f x dx收敛；否则就称反常积分f x dx发散.上述反常积分统称为无穷限的反常积分.由上述定义及牛顿-莱布尼茨公式,可得如下结果.设 F x 为 f x 在 a,上的一个原函数,若 li

17、m F x 存在,则反常积分xf x dx lim Fax若lim F x不存在，则反常积分f x dx发散.xa如果记Flim F x ,xF a，则当F存在时，x dx不存在时，反常积分dx发散.类似地，若在 ，b上Ff x，则当Ff x dx若在不存在时，反常积分x dx发散.，则当F都存在时，f x dx与F有一个不存在时，反常积分f x dx发散.例2证明反常积分dx0当p 1时收敛，当p 1时发散.证当p 1时,当p 1时,i pdx xxp1 p,p 1,a1 p1，p1.a1 p因此，当p 1时，这反常积分收敛，其值为；当p 1时，这反常积分发散p 1-、无界函数的反常积分现在

18、我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形如果函数f x在点a的任一邻域内都无界，那么点a称为函数f x的瑕点.无界函数的反常积分又称为瑕积分.定义2设函数f x在a,b上连续，点a为f x的瑕点.取ta，如果极限lim f x dx t a tb存在,则称此极限为函数f x在a,b上的反常积分，仍然记作f x dx,即abbf x dx lim f x dx,atatb这时也称反常积分 f ax dx收敛;如果上述极限不存在，则称反常积分b f x dx发散.ab，如果极限类似地，设函数f x在a, b上连续，点b为f x的瑕点 取tlim f x dxt b a存在，则定义btf x dx

19、 lim f x dx;at b a否则,就称反常积分bf x dx发散.a设函数f x在a,b上除点c ac b外连续，点c为f x的瑕点.如果两个反常积分都收敛，则定义否则就称反常积分f x dx和 f x dxacbf x dxacf x dxax dx,bf x dx发散.a计算无界函数的反常积分，也可借助于牛顿-莱布尼茨公式设x a为f x的瑕点，在a,b上Fx f x，如果极限lim F x存在，则反常积x abf x dxalim F x F b F a ;x a如果lim F x不存在，则反常积分 x adx发散.我们仍用记号 F x b来表示aF a，从而形式上仍有bf x

20、dx F xa对于f x在a,b上连续，b为瑕点的反常积分，也有类似的计算公式，这里不再详述证明反常积分dx1时收敛，当q 1时发散.微分方程微分方程的基本概念一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程.未知函数是一元函数的，叫做 常微分方程；未知函数是多元函数的，叫做 偏微分方程.微 分方程有时也简称方程.微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶.设函数y (x)在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，F x, (x), (x),L , (n)(x)0,那么函数y(x)就叫做微分方程(10)在区间I上的解.如果微分方程的解中含有相互独

21、立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数 相同，这样的解叫做微分方程的通解.设微分方程中的未知函数为y y(x),如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是：x x0 时，y yo,或写成yx xn y。，x xo其中x。、y。都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：或写成x x。时，y yo, y y。.yxx。yoiyxx。y。，其中x。、y。和y。都是给定的值.上述这种条件叫做 初始条件.确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解.一阶微分方程的初值问题 ，记作(12)y f(x,y),yxx。y。.微分方程的解的图形是一族曲线，叫做微分方程

22、的积分曲线.初值问题(12)的几何意义，就是求微分方程的通过点(x。，y。)的那条积分曲线.二阶微分方程的初值问题y f (x, y, y)yxx。 丫。八% y。的几何意义，是求微分方程的通过点(x。，y。)且在该点处的切线斜率为y。的那条积分曲线可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy f(x)dx(5)的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy ,另一端只含x的函数和dx,那么原方程就称为可分离变量的微分方程.g(y)dy f(x)dx.设G(y)及F(x)依次为g(y)及f(x)的原函数，于是有G(y) F(x) C.(6)齐次方程一、齐次方程如果一阶微分

23、方程dydx中的函数f (x, y)可写成？的函数，即f(x,y)xx, y(Y),则称这方程为齐次方程，引进新的 x未知函数就可化为可分离变量的方程.因为由(2)有dy y ux,-dxduxdx 代入方程(1),便得方程duu x 一 dxdux (u)dx(u)，分离变量，得dudx两端积分，得(u) udu(u) udx求出积分后，再以 Y代替u ,便得所给齐次方程的通解 x可化为齐次的方程方程dy ax by c当c 0 0时是齐次的,dx a1x bi y g否则不是齐次的.在非齐次的情形，可用下列变换把它化为齐次方程：令其中h及k是待定的常数.于是dx dX, dy dY ,从而

24、方程(3)成为dY aX bY ah bk cdX a1X bY a1h b1k c1如果方程组ah bk c 0a1h b1k c1 0b1,那么可以定出h及k使它们满足上述方程组.这样,ba ba的系数行列式0 ,即史aha方程便化为齐次方程dY aX bYdX a1X b1Y求出这齐次方程的通解后，在通解中以x h代X , y k代y ,便得方程（3）的通解.当亘 打时，h及k无法求得，因此上述方法不能应用.但这时令电 ，从而a ba b方程（3）可写成dyax by cdx(ax by) ci引入新变量v ax by ,则dv a bdy,或 6dx dx dx1 dv a b dx于

25、是方程（3）成为dvcidx这是可分离变量的方程.以上所介绍的方法可以应用于更一般的方程dy f ax by cdx &x by g一阶线性微分方程一、 线性方程方程dx P(xx叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y及其导数是一次方程.如果Q（x） 0,则方程（1）称为齐次的；如果Q（x）不恒等于零，则方程（1）称为非齐次的.设（1）为非齐次线性方程.为了求出非齐次线性方程（1）的解，我们先把Q（x）换成零而写出dydx P(x)y 0方程（2）叫做对应于非齐次线性方程（1）的齐次线性方程.方程（2）是可分离变量的，分离变量后得dy P(x)dx,y两端积分，得ln y P(x)dx C

26、1,P(x)dxCy Ce , CeC1 ,这是对应的 齐次线性方程（2）的通解.这里记号P（x）dx表示P（x）的某个确定的原函数.现在我们使用所谓 常数变易法来求非齐次线性方程（1）的通解.这方法是把（2）的通解中的C换成x的未知函数u（x）,即作变换(3)dy dxP(x)dxuP(x)eP(x)dx(4)P(x) dxue ,将（3）和（4）代入方程（1）P(x)dxu euP(x)eP(x)dxP(x)ueP(x)dxQ(x),P(x)dxQ(x),uP(x)dxQ(x)eP(x)dx两端积分，得u Q(x)e dx C.把上式代入(3),便得非齐次线性方程(1)的通解P(x)dxP

27、(x)dxy e ( Q(x)e dx C).(5)将(5)式改写成两项之和P(x)dx P(x)dxP(x)dxy Ce e Q(x)e dx,上式右端第一项是对应的 齐次线性方程(2)的通解，第二项是非齐次线性方程(1) 的一个特解(在(1)的通解(5)中取C0便得到这个特解).由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和二、伯努利方程方程dy P(x)y Q(x)yn (n 0,1)(13)dx叫做伯努利(Bernoulli )方程.当n 0或n 1时，这是线性微分方程.当n 0,n 1时，这方程不是线性的，但是通过变量的代换，便可把它化为线性的.

28、事实上，以yn除方程(13)的两端，得n dy1 ny P(x)y Q(x)(14)dx容易看出，上式左端第一项与y1 n只差一个常数因子1 n,因此我们引入新的未知函dx数1 nz y ，dzn dy那么一 (1 n)y n .dxdx用(1 n)乘方程(14)的两端，再通过上述代换便得线性方程dz一 (1 n)P(x)z (1 n)Q(x). dx求出这方程的通解后，以y1 n代z便得到伯努利方程的通解.利用变量代换(因变量的变量代换或自变量的变量代换)，把一个微分方程化为变量可分离的方程，或化为已经知其求解步骤的方程，这是解微分方程最常用的方法.下面再举一个例子.例5解方程dydx x

29、y解若把所给方程变形为dxdy即为一阶线性方程，则按一阶线性方程的解法可求得通解也可用变量代换来解所给方程:dy duu x , dx dxdu 1dx1.代入原方程，得1 du u 1一,.u dx u分离变量得两端积分得以u xy代入上式，即得du dx ，u 1u In u 1 x C.x Gey y 1,(C1e C).可降阶的高阶微分方程一、 y(n)f(x)型的微分方程(2)微分方程y(n) f (x)的右端仅含有自变量 x .容易看出，只要把y(n 1)作为新的未知函数，那么(2)式就是新未知函数的一阶彳分方程.两边积分，就得到一个 n 1阶的微分方程y(n 1) f (x)dx

30、 C1.同理可得y(n 2)f(x)dx C1 dx C2.依此法继续进行，接连积分n次，便得方程(2)的含有n个任意常数的通解.二、 yf(x,y)型的微分方程方程y f(x, y)的右端不显含未知函数y .如果我们设ydp最p而方程(7)就成为P f(x, p).这是一个关于变量X、p的一阶微分方程设其通解为(x,Ci).但是p dy,因此又得到一个一阶微分方程 dxdydx(x,G).对它进行积分，便得方程（7）的通解为(x,G)dxC2.yf（y,y）型的微分方程方程(ii)f(y,y)中不明显地含自变量 x .为了求出它的解,我们令p ,并利用复合函数的求导法则把y化为对y的导数，即

31、dp dpy dx dydydxdpPdy .这样，方程（11）就成为pdy f(y，p).这是一个关于变数y、p的一阶微分方程.设它的通解为y p (yC),分离变量并积分，便得方程（11）的通解为dy x C x C2 .(y,C1)题型分析1.简单积分法；1 x24xd x.2.21 x 1 x . d x.d x2x_d x_，1 x2arcsin x In x1 x2c.2.象函数结合分部积分例：设f(x)的一个原函数为 n/,则xf x(x)dxxf (x)dx xf (x)f(x)dxxf (x)sin xxcosxxsin xsin xxsinxcosx 2x故应填:cosx

32、2 sinx c. x3.角函数有理式积分例。求一dx 3 cosx解:令tan x t2dx2dt7cosx1 t2t2dx3 cosx3 -1-t1 t22dt2t24-dtdtt2 2二arctan 乌例：求一(12x3dx.x 2.十arctan， c224.角代换去根号)323 dx. (1 x2) 2令 x tantdxsec2 tdt原式22.tan t sec tdt3；sec t. 2 .sin t27 cos tcostdtsn-ldt cost2 .卫Jdt costInsect tant sin t c, 口 T xIn x v 1 x ： c.4T75.单无理式积分例

33、：求dxx 13 x 11原式A 5 16u du令(x 1)6u x 1 u6 dx 6u5du36 duu 1216 (u u 1) du u 132c uu,/6 u In u 1x x 13yx 1 616,6 . x 1 In x 1 1 c326.段函数的定积分v1 sin 2x ,0 x .1 例：设f(x),求 2 f (x)dx6(x 1- )2, x 1 2 22,1 -o原式 2 sinx cosxdx 26(x ) dx0I 24 (cosx sinx)dx2(sinx cosx)dx41 一2(x 2)3_2sinx cosx 0 cosx sinx 2 242( .

34、 2 1) 2 2 .27.变限函数求导法.例：若x x(t)是由方程txteu2du 0所确定白1则 Bt0 - 1.d 2xdt21dt e、一x 1.2设xx(t)是由方程sint 1 e du00f确te的隐函数，试求cost e (x x (t) 0x (t) cost e(x 再关于t求导,x (t)(x e1)2(sint2(x 1) x(t)由已知方程得t 0, x 2x (0) ex (0) 2e27 .函数光滑性的关系.可导比连续强，连续比可积强.8 .参数方程结合变上限函数求导.t小、江 x cosudu dy 1例：设 0贝Iy lnt, (t 0) dx -tcostt sin u2设参数方程x 1Id” (0 t)所确定的函数是y y(x),求业,*yydx dx y si