(完整版)二项式定理的练习及答案.docx

1、二项式定理的练习及答案基础知识训练（一）选择题1 .（X 7=） 6展开式中常数是（）A.第 4 B. 24 c 6“ C. C64 D.22 . （x- l）11展开式中x的偶次系数之和是（）A.-2048B.-1023 C.-1024D.10243 . （11月展开式中有理的数是（）A.4B.5C.6D.74 .若Cl7n与CJ1同有最大，m等于（）A.4 或 5B.5 或 6C.3 或 4 D.55 . （2x-3） 4=ao ai X a2 x 2 a3 X3 a4 X4, a+ai+a2+a3 的（）A.1 B.16C.-15D.156 .（x3十）U展开式中的中两（）Xa. Cn5

2、x12,Cn5x12 b. Cn6x9, Cn5x10c, Cn5x13 ,Ch5x9 d.Ch5x17, Cn5x13（二）填空题7. 在（2x十y ）7展开式中，x5y2的系数是*38. Cn0 3Cn 32 C n2 3n C nn 9. (V5)2的展开式中的有理是展开式的第 10. (2x-l) 5展开式中各系数之和是.11. (1 3x 3x2 x 3 )1展开式中系数最大的是 12. 0.991 5精确到 0.01的近似是 -(三)解答13. .求(l+x+x2)(l-x)1展开式中X的系数14.求(l+x)+(l+x)2 +(l+x) I。展开式中X3的系数15 .已知(l-2

3、x)5展开式中第2大于第1而不小于第3,求x的取范16.若f（x） （1 x）m （1 x）n （m n N）展开式中，x 的系数 21,m、n 何，x2的系数最小？17 .自然数n偶数，求:18 .求8011被9除的余数._ 214； 3,求展开式的常数项19 .己知(Q )11的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为 X20 .在(x?+3x+2)5的展开式中，求 x的系数,21 .求(2x+l) 12展开式中系数最大的项， 参考解答：1.通项Tr 13r2 2，由 6 4r 024 ,常数项是T5C 64 24 ,选(B)2 .设 f(x)=(x-l) h,偶次项系数之和是 f(l)

4、 f( L) ( 2)/21024 ,选(C)23 ,通项r ；C7r (2)r C7r2-,当r=0 , 2, 4, 6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，选(A)4 .要使Ci7n最大，因为 17为奇数，则n4-71-或n -1.71 n 8或n=9,若n=8,要使C 8m最大，则22m=_=4,若n=9,要使C 9m最大，则m或m_Im 4或m=5,综上知，m=4或m=5,故选(A)2225 .C 6.C7.-224 ;8.4%9.3,9,15,21310. (2x-l) 5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2X+1) 5展开式系数之和，故令 X=1 ,则所求和为311. (1+3X

5、+3X2, 3 1030 ,此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是15 1512.0.991 5 =(1-0.009) 5=C50.0090.963 (1 x X2 )(1 X)10(1 X3)(l X)要得到含x 4的项，必须第一个因式中的1与(1-X) 9展开式中的项C 94(X )4作积，第一个因式中的一 X与(1-x)9展开式中的项C19( X)作积，故X4的系数是c) C94 135214. (1 X )(1 X )10(1 X)(1 x)l (1 X严(X 1)11(X 1)1(1 X) =X3原式中X 实为这分子中的X，则所求系数为 CuZI15 .由 0 5 ( 2x)C5

6、1 ( 2x)0C5C52 ( 2 X)210,X 0411016.由条件得m+n=21, x?的项为C nF X 2Cn2x2 , MCm2 Cn2399二一.因 nG N,故当 n=10 或 114时上式有最小值，也就是 m=ll和n=10,或m=10和n=ll时，x 2的系数最小*17.原式= (CnJ Cn2 Cnn 1 Cn11) (C11. C C5n C J 1)2n 2nl 3.2 118. 8011(81I)11Cnl10Ch1081 1 81k l(k Z),Vke z, J 9k-1 ez, J 81”被 9 除余 8.19 .依题意 C J: C J 14 : 3 3C

7、 n4 14C n2/. 3n(n-l)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-l)/2!n=10.210 5 r设第 r+l 项为常数项，又Tr I Cior/x)10 r( )r ( 2)rCiorx 2X令 10 5r 0 r 2 , T2 i Cio2( 2)2180.此所求常数项为 180.220 .(X2 3x 2)5 (x I)5 (x 2) 5在(x+l)5展开式中，常数项为1,含x的项为cl5 5x ,在(2+x) 5展开式中，常数项为 25=32,含x的项为C 51 24 x 80x展开式中含 x的项为1 (80x) 5x(32)240x ,此展开式中x的系数为240 21

8、.设T 的系数最大，则T的系数不小于 T与T 的系数，即有 r+lr+lrr+2展开式中系数最大项为第5项，Ts=16C !24 x 47 9 2 0 x4例1在二项式 V X三.拓展性例题分析17= 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项. 20 x分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决. 解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的r0,12得系数为：tlI, t2C!n+21-n, t327 1Cn2-41-n(n i), 8由已知：2t2ti t31一 n(n 1),8/. n 8通项公式为163rC8 2rx0,1,28,Tr

9、1为有理项，故16 3r是4的倍数,0,4,8.依次得到有理项为Tix4,T535一x,T988 1c82212X X256的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页100说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了 r的取值，得到了有理项.类似地，:I系数和为3n .例2（1）求（1 X）3（l X严展开式中x5的系数；（2）求（X， 2）6展开式中的常数项.X分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式.解：（1） （1 X）3 （1 X）l展开式中的X 5可以看成

10、下列几种方式得到，然后合并同类项:用（1 x）3展开式中的常数项乘以（1 x）l展开式中的x5项，可以得到C105 X5 ;用（1 X）3展开式中的一用（1 X）,中的x2乘以（1 x）展开式次项乘以（1 x）i展开式中的X4项可得到（3x）（C104x4） 3C104 x5 ；中的x3可得到3x2C103 X3 3C103 X5 ；用(1 x)3 中的 x3 项乘以(1X）10展开式中的X 2项可得到3x3 Cio2 x2C102 X5,合并同类项得x5项为:(Cio5 Cio43c1()3 Cio2)x? 63x.(2) X12(X -LX2)5C126 924.说明：问题（2） 式展开的

11、问题来解决.12展开式的通项公式Tr 1 C12（Wjl2r/ XCi2r x6 r ,可得展开式的常数项为中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决.这时我们还可以通过合并项转化为二项展开.例3求（1分析：（1解：方法一:X X2）6展开式中X5的系数.x x2 ）6不是二项式,我们可以通过1 X x2 （1 X）X2或1（X X?）把它看成二项式(lx X2)6 (1x) x2其中含X5的项为C 65 x56C 53 X515cl4x56x5.2含X5项的系数为6.方法二：（1XX2）61(X6X2 )6x5 6x5 .其中含X5的项为20( 3)x515( 4) X5,X5项的系数为6.方

12、法3：本题还可通过把(1 X X?)6看成6个1 X X2相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，X,项可由下列几种可能得到.5个因式中取X, 一个取 1得到3个因式中取X, 一个取 X2 ,两个取1得到C6 CX3 ( X2 ).1个因式中取X,两个取 X2 ,三个取1得到C】6 C52 X ( X2 )2 .合并同类项为(C65 C 63cl3CC 52 )X5 6 X5 , 项的系数为6.例 4 求证：(1) Cn 2Cn2 nC n11 n 2n 1 ；(2) 0 . 2-1- n L2nl 1).NN 1 c 1 C n 2 n 3 nn 1 n n 1分析：二项式系数的性质实际

13、上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等 式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质 Cn C Cn2 Cnn 2n.解：(1) kCnk k tri n-! n 色以 nC nk 11k!(n k)! (k l)!(n k)! (k 1)! (n k)!J 左边nC n 1 nC11! 1 nC J1n(Cn ! C 1 Cn) n 2nl 右边.h-!(k l)!(n k)!(2) lCnk i- k 1 k 1 k!(n k)!11(k l)!(n，左边1 n-TC12n-lCn 11

14、nl n-TCni说明:Cn2 1Cn11 I1) 1(2n 1n 11)右边.本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和,再用二项式系数的性质求解.组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式, 可以看下面的例子：但这需要逆用二项式定理才能完成,此外，有些所以需仔细观察，我们2C102 10的结果.例 5：求 29 c70 28 cl()9 27 cl()8仔细观察可以发现该组合数的式与(1 2)1的展开式接近，但要注意:从而可以得到：10 2cd 28Cio9 29 Cio10 -1 (310 1).而且各项中 X和y的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为 1110 91 66 ,应选D.n例9 若X ； 2的展开式的常数项为20 ,求n .分析：题中x 。，当x 0时,n时，同理 X _1 2( l)n JX n解：当x 0时x 1 2XT一r C21n 百)2 n r (1)r令 2n 2r 0 ,得 n r ,J