(完整版)必修四平面几何中的向量方法(附答案)

1、平面几何中的向量方法学习目标1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.知识梳理 自主学习知识点一向量方法在几何中的应用证明线段平行问题，包括相似问题,常用向量平行(共线)的等价条件：a/ b(bw。)？ a= b非零向量a,? Xiy2 X2yi = 0.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、b, a±b? a 扣0? xix2 + yiy2= 0.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式正方形等，常用向量垂直的等价条件:a - bX1X2 + yiy2C0S 9 la

2、llbl，x2 + y2 .X2+ y2|a|=X2 + y2.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式:思考 4ABC中，M、N分别为 AB、AC的中点.求证： MN/ BC.证明 设 AB=a, AC=b,则 BC = ACAB=ba,又M、N分别为AB、AC的中点.AM = 2a, AN = 2b. AMN 中，MN = AN-AM = 2b _2a=2(b-a), .MN = 2BC, 即 MN与BC共线，. .MN / BC.知识点二直线的方向向量(i)直线 Ax+ By+C= 0的方向向量为(B, A);直线y=kX+b的方向向量为(i, k).(2)

3、应用直线的方向向量求两直线的夹角已知直线li ：y=kiX+bi与直线12：y=k2X+b2,它们的方向向量依次为vi=(i,ki),V2=(i, k2).当 V1，V2,即 vi V2= 1 + kik2= 0 时，li± l2,夹角为直角；当 kik2W 1 时，V1V2W0,直线 li与12的夹角为0(0 °如90° .)不难推导利用 ki、k2表示cos。的夹角公式：cos 0=|vi V2l_|1 + kik2|vi |v21小 + k2 41 + k2思考1已知直线1: 2X-y+ 1 = 0,在下列向量:1vi=(1,2);V2=(2,1);V3=

4、2， 1 ；V4=(2, -4).其中能作为直线l万向向量的有：.答案思考2 直线x 2y+1=0与直线2x+ y3=0的夹角为;直线2x y1=0与直线 3x+ y+1= 0的夹角为.答案 90° 45°知识点三直线的法向量(1)直线Ax+ By+C= 0的法向量为(A, B);直线y= kx+b的法向量为(k, 1).(2)直线法向量的简单应用：利用直线的法向量判断两直线的位置关系：对于直线li: Aix +Biy+Ci=0,I2:Azx+B2y+C2=0,它们的法向量分别为ni = (Ai,Bi),n2=(A2,B2).当 ni/n2 时，li / 12 或 li 与

5、 l2 重合.即 AiB2 A2Bi = 0? li/ |2或 li 与 |2重合；当 ni，n2 时，Ii±|2jp AiA2+BiB2=0? l山2.思考 直线 li： (a+2)x+ (i a)y3 = 0 与直线 l2： (ai)x+(2a +3)y+ 2=0 垂直，则 a 的值 为.答案 ±1解析 ni= (a+2,i-a), n2= (a-i,2a+3),-li±l2, n i n2 = (a + 2)(a i) + (i a)(2 a + 3)= (a-i)(-a-i)=0,1. a= ± i.重点突破h题型探究题型一 向量在平面几何中的应

6、用例i求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.解 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标设 A(2a,0), B(0,2a),则 D(a,0), C(0, a),从而可求：AC=( 2a, a), BD = (a, 2a),不妨设AC、BD的夹角为e,则cos e="受AC|BD|- 2a, a a, - 2a 4a2我a V5a5a45.故所求钝角的余弦值为-5.跟踪训练1 已知正方形 ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证: BECF; (2)AP=AB.证明建立如图所示的平面直角坐标系，设AB=2,则A(0,0),

7、B(2,0),C(2,2),E(1,2), F(0,1).BE = ( 1,2), CF = (-2, 1).EBE CF=(-1)X(-2)+2X (-1) = 0,BE±CF,即 BEXCF.(2)设点 P 坐标为(x, v),则 FP = (x, y-1),FC= (2,1), . FP / FC,，x=2(y1),即 x=2y 2,同理，由 BP/ BE,得 y= 2x+ 4,6x=2y-2,由 ,.y= 2x+ 4x=",58y=5，点p的坐标为(6,8).5 5 |AP|= 1 52+ 5 2 =2=|AB|,即 AP = AB.题型二向量在解析几何中的应用 例

8、2 已知 ABC的三个顶点 A(0, 4), B(4,0), C(6,2),点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点.(1)求直线 DE、EF、FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线方程.解 (1)由已知得点 D(-1,1), E(-3, 1), F(2, 2),设M(x, y)是直线 DE上任意一点,则 DM / DE.DlM = (x+1, y-1), DE = (2, 2).(-2)X(x+1)-(-2)(y-1)=0,即xy+2=0为直线DE的方程.同理可求，直线 EF, FD的方程分别为 x+5y+8=0, x + y= 0.(2)设点N(x, y)是CH所在直线上任意一点

9、,则 CNAB.1 CN AB= 0.又CN = (x+6, y-2), AB =(4,4). 4(x+6) + 4(y2)=0,即x+ y+ 4= 0为所求直线CH的方程.跟踪训练2 已知点A(4,0), B(4,4), C(2,6),试用向量方法求直线 AC和OB(O为坐标原点) 的交点P的坐标.解 设 P(x, v),则 OP = (x, y), AP = (x 4, y),因为P是AC与OB的交点，所以P在直线AC上，也在直线 OB上，即得 OP /OB, AP/ AC,由点 A(4,0), B(4,4), C(2,6)得，Ac=(-2,6), OB = (4,4),得方程组6 x-4

10、 +2y=0, 4x 4y= 0x= 3.解得故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3).y= 3题型三 平面向量的综合应用例3 如图所示，在平行四边形 ABCD中，BC = 2BA, /ABC=60°,作AELBD交BC于E,求BE的值.EC解方法一(基向量法) 设BA=a, BC=b, |a|=1, |b|= 2.a 哥 ai|b|cos 60=1, BD = a+ b.设BE=入 BC= b,贝UAE=BE-BA=不一a.由 AEXBD,得AE BD=0.即(北一a) a什 b)=0.2、2BE 5 25EC 3 35方法二 以B为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，根

11、据条件，设B(0,0),C(2,0),.1353A 2, 2 ? D 2? 2 .又设 E(m，。)，则BD= 2#，二 13AE= m-2，- 2 .由 AEXBD,得AE BD=0.5133c即 2 m- 2 - 2-x -2-= 0，23.4所以胃5EC 65跟踪训练3 已知P是正方形 ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形.求证：PA=EF且DA所在直线为y轴,PAX EF.证明 以D为坐标原点，DC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系 Oxy(如图所示),设正方形边长为1,OP尸 N 则 A(0,1),2 2)n 干旱 pa 2)1 2 ；F 2 1 0,于PA 2% 1 2 入，V

12、2EF=彳入-1 ,一彳入.|PA|= 7 1，入2+ 呼入 2=、)一J2 计 1,同理|EF=、猿一成计1,|PA|= |EF|,PA= EF.一一 也 也入 出 皿PA EF= -2-入 学T + 1- 2 x - V 入=0， PAX EF.1. FAXEF.难点突破转化条件证“三心”例4 (1)已知。是平面上的一个定点，A, B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足标=0A+ XABAC-+-|AB|cos B |AC|cosC),其中(0, +8),则动点P的轨迹一定通过 ABC的( )A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心已知。是平面上的一个定点， A, B, C是平面上不共线

13、的三个点，动点 P满足+AB ACX-+),其中(0, +8),则动点P的轨迹一定通过4)|AB|sin B |AC|sin CA.重心 B.垂心 C.外心 D.内心一 OB+OC(3)已知。是平面上的一个定点，A,B, C是平面上不共线的三个点， 动点P满足0P=-A B AC+ K+二),其中 衣(0, +8),则动点P的轨迹一定通过4)|AB|cos B |AC|cosCA.重心 B.垂心 C.外心 D.内心解析 (1)由已知得AP= ?(二旭一十 .AC),两边同向量取数量积，得 AP BC =|AB|cos B |AC|cosCAB BC AC BC故选乂二十二)=M|BC|+|BC

14、|)=0,故动点P的轨迹一定通过 ABC的垂心,|AB|cos B |AC|cos CB. AB AC(2)对OP=OA+ ?(=+-),其中 K (0, +°°)进行移项转化， 设4ABC的BC边|AB|sin B |AC |sin C上的高为h, BC边上的中点为 D,则由已知得AP=(AB+AC),即靠，向量靠与向量AD共线，故动点P的轨迹一定通过 ABC的重心，故选 A.->AB AC->(3)设BC的中点为D,则由已知得DP=X=+-),两边同时与向量BC取数量积，|AB|cos B |AC|cosC-> >> >/口 一AB

15、BC AC BC>得DP BC= +)= X-|BC|+|BC|)=0,故动点 P 的轨迹一定通过 4ABC 的|AB|cos B |AC|cosC外w故选c.答案(1)B (2)A (3)C自查自纠厂当堂检测1 ,已知 ABC, AB = a, AC=b,且 a <0,则 ABC 的形状为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定2 .已知A(1,2), B(2,1),以AB为直径的圆的方程是 ., , 一 ， ， 一， ， . 3 .在直角坐标系 xOy中，已知点 A(0,1)和点B(3,4),若点 C在/ AOB的平分线上且|OC| =2,则 OC =.4 .

16、正方形 OABC的边长为1,点D, E分别为AB, BC的中点，试求 cos/DOE的值.5 .已知直线li: 3x+y2=0与直线12： mx-y+ 1 = 0的夹角为45°,求实数 m的值.0时精练一、选择题1 .在 ABC中，已知 A(4,1)、B(7,5)、C(-4,7),则BC边的中线 AD的长是()A. 2乘B.5y/5C. 3乖D.7V52 .点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 oA oB=OB OC=oC oA,则点。是 ABC 的()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点3 .在四边形 ABCD中，AC=(1

17、,2), BD = (-4,2),则该四边形的面积为()A. 5B. 275C. 5D. 104 .若。是 ABC所在平面内一点，且满足 |OBOC|= |OB+OC 2OA|,则 ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形5 .已知点 A(V3, 1), B(0,0), C(U3, 0),设/ BAC的平分线 AE与BC相交于E,那么有BC =入"Ce其中入等于()A. 2B.1C.-3D.-1236 .若四边形 ABCD满足AB+CD=0, (ABAD) AC = 0,则该四边形一定是()A.正方形B.矩形C.菱形D.直角梯形7 .已知直线ax

18、+by+c= 0与圆x2+y2=1相交于A,B两点，则|AB|=小,则 OAoB=.一 ，一一， 一一 一一78 .已知平面上二点 A、B、C 满足 |A B|=3, |B C|=4, |C A|=5.则 A B B C+B CC A+C A A B =.9 .如图所示，在 ABC中，点。是BC的中点.过点 O的直线分别交直线人AB、AC于不同的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则m+n的值为.v.-，.11L 1 7 1 7 用 “ 卫-10 .已知 P、Q 为4ABC 内的两点，且 AQ="AC+2AB, AP = AC+4AB，则 APQ 的面积与ABC的面积之比为.

19、三、解答题11 .过点 A(2,1),求：(1)与向量a =(3,1)平行的直线方程；(2)与向量b=(1,2)垂直的直线方程.12 .三角形 ABC是等腰直角三角形，/ B=90°, D是BC边的中点，BEXAD,延长BE交AC 于 F,连接 DF.求证：/ ADB=Z FDC.13 .如图所示，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点, 且分别靠近点 A、点B,且AE、CD交于点P.求证：BPXDC.当堂检测答案1 .答案 A2 .答案 x2+y2+x3y= 0解析设P(x, y)为圆上任一点，则AP=(x-1, y-2), BP=(x + 2, y-1),由AP

20、 BP = (x 1)(x+ 2)+ (y 2)(y1) = 0, 化简得 x2+y2+x3y= 0.3.答案10 3.105 '5解析 已知 A(0,1), B(3,4),设 E(0,5), D(3,9),四边形OBDE为菱形./AOB的角平分线是菱形 OBDE的对角线OD.设 C(x1, y1), |(OD|= 3710,O C = O D.3 .110.,2.(x1'刈=赤-3，9)一乎呼，即oC=遍，屈 55.4.解 以OA, OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知:11OD= 1, 2，OE= 5，1，cos / DOE =OD OE|OD| OE|1

21、X1+1X12 245.即cosZ DOE的值为45.5.解 设直线1i, l2的法向量为n1, n2, 则 n1 = (3,1), n2=(m, 1).由题意：。|m -2| _|3m-1| _2cos 45 = -：-= =-,-±-.|m| -2|n 101 + m2 2整理得：2m23m 2=0,1解得：m = 2或m=-课时精练答案一、选择题Ab5- 22 .答案 D解析 OA OB=OB 0C, (OA-OC) 0B=O.OB CA=0.08，人0同理0人。OCXAB,，O为三条高的交点.3 .答案 C解析 AC BD = (1.2) (4,2) = 4+4 = 0, A

22、CXBD, S西边形abcd = |AC| 俞=;X m X 2 = 5.4 .答案 B解析 OC|= |CB|= |AB-AC|,|6b + OC-2OA|= |AB +AC|,|AB-AC|= |AB+ AC|,二四边形ABDC是矩形，且Z BAG =90° .ABC是直角三角形.5 .答案 C解析 如图所示，由题知 /ABC =30°, /AEC=60°, CE = 3|BC|= 3, .,.Bc=- 3CE. |CE|6.答案 C解析 AB+Cb = 0,.AB=DC,四边形ABCD是平行四边形，由(ABaD) aC=o,得DB aC=0, .-.5b&#

23、177;Ac,即此四边形对角线互相垂直，故为菱形.-17.答案 解析 如图，作 0口，人8于口，则在 RtAAOD中，OA=1, AD =以/AOD=60°, /AOB=120°,所以 OA OB=|OA|OB |cos120,1、11 x ix()= 5.8.答案 25解析 ABC 中，B=90°, cos A=3, cos C = 4, 55- 一4 一ABBC=0, BCCA=4X5X - - = - 16,5 3门CAAB = 5X3X -5=-9.AB BC+ BC CA + CA AB=- 25.9.答案2解析 :。是BC的中点,f 1 一 上. AO = 2(AB+AC).ri>.ri>.又. AB = mAM, AC = nAN,. M, O, N三点共线,m ny+ 2= 1.则 m+ n = 2.10.答案16解析如图，根据题意,P、Q为4ABC中位线 DE、DFPQ的距离是到BC距离的3,根据三角形的面积公式可知,三、解答题所O的中点,& APQ =ABC.11 .解 设所求直线上任意一点P(x, y),- A(-2,1),AP=(x+2, y-1).由题意知 AP/a,(x+2)x 1-3(y-1