平面向量解三角形

1、第五章平面向量、解三角形第二节解三角形2010年高考题一、选择题1.（2010 上海文）18.若 ABC 的三个内角满足 sin A:si n B : si nC=5:11:13，则 ABC(A) 定是锐角三角形.(B) 定是直角三角形.(C) 一定是钝角三角形.(D) 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C 解析：由 sin A: sin B : sinC =5:11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:1352 W2_132由余弦定理得 COSC =<0，所以角 C为钝角2X5X112. (2010湖南文)7.在 ABC中,角A, B, C所对的边长分别为 a, b,

2、c,若/ C=120°,c=75a, 解法1:约定AB=6,AC=BC=3,由余弦定理CE=CfV0,再由余弦定理得cos/ECF =4A.a > bB.aC. a = bD.a与b的大小关系不能确定t答案】【解析】因为乙c=i2cr,匚=屈所以 r =才+ F -2处gsC , 2£7* =夕 + b' - 2ab（-所以 应：一*'=白6 a-b 二 孔 > ia +占因为d>o上>0所以-方所九M故选A【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值， 不等式的性质，比较法，属中档题。3. （2010江西理）7.E , F是等腰

3、直角 ABC斜边AB上的三等分点，则tan Z ECF =()16A. 27 B.23 C.昼33 D. 4【答案】D【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。53解得 tanNECF =-4解法 2:坐标化。约定 AB=6,AC=BC3/2,F(1,O),E(-1,O),C利用向量的夹角公式得4 3 cosNECF =，解得 tanNECF =。5 44. （ 2010北京文）（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1,顶角为a的四个等腰三角形， 及其底 边构成的正方形所组成，该八边形的面积为(A) 2s in a_2cosa+2 ；( B) sin a-73cosa+3(C)

4、 3sina-73co泊 +1 ;( D) 2sin a cosa+1【答案】a5.（ 2010天津理）（7）在 ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若 a2 -b2 =/3bc.(A) 300"0(B) 60._ _0(C) 120.lcO(D) 150sin C =273sin B，贝U a=【答案】a【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由由正弦定理得2bc2bc所以 cosA= b2+c2M = Jbc + c2 = Jbc + Mbc = ，所以 a=3O02bc2bc2bc2【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运

5、算或将角化为边 运算。6.（2010湖南理）6、在 ABC中，角A,B,C所对的边长分别为 a,b,c，若/ C=120°, c = J2a ,A、a>b B、a<bC 、a=b D 、a与b的大小关系不能确定【答案】A*【解析川因g忑s所以=少 + 护=2cosC T 2a* = a* + h'* = 2必（）*"所以 a" b* = ab, ab= > O.a > b因为fl > 0上> 0所以”bw业g所以Qb故选A【命題直图】本题若S余弦宦理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比校法属中档题7. （ 2010湖北

6、理）3.在AABC中,a=15,b=10,A=60。，贝U COSB =C-血D【答案】D可得解得sin B =逅sin A sin Bsin60sin B3B<A，故B为锐角，所以cosB=j1 sin2 B ，故D正确.3【解析】根据正弦定理15，又因为b ca，则二、填空题1. （ 2010 重庆文）（15）如题（15 ）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C,各段弧所在的圆经过同一点P （点P不在C 上）且半径相等.设第i段弧所对的圆心角为 a/i =1,2,3）, a1 a2 +a3贝y coscos3-sin 乞sin g333 a2 +a3 a1ot2 +a解析

7、：coscos-sin 1 sin33333 =cos«1 F +«3C所对的边分别为a，b，C =运,N c，贝U a=32叮4. （ 2010 北京理）（10）在 ABC中，若 b = 1 , c =, ZC，则 a =3答案15.（ 2010广东理）11.已知a,b,c分别是 ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b= J3,A+C=2B贝U sinC=答案1.解析：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60 ° .由正弦定理知,73sin A sin 60即sin2.由z知，XB60:则AS，= 180©A-B =1

8、80©30©60© = 90: sinC =sin90 = 16.b a（2010江苏卷）13、在锐角三角形 ABC A、B、C的对边分别为a、b、c, - +- =6cosC ,a btan C 丄 tanC +=tan A tan B解析考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。tan A =tanBtanltanC . tanC 十=4 otan Atan B1 + cosC当 A=B或 a=b时满足题意，此时有：cosC =丄,tan2C = =丄,tanC 二2

9、3 21+ cosC 222b a22+=6cosC= 6abcosC=a +bb6ab2 4 2 a +b-c22ab= ab2,ab3c-2tan C JanCsin C cos B si nA中 si n BcosA sin C si n（A+B）sin2Ctan A tan BcosCsin Asin BcosC sin Asin B cosC sin Asin B三、解答题1.（ 2010陕西文）17.（本小题满分12 分）在 ABC中，已知B=45° ,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6 求 AB 的长.解 在 ADC中，AD=10,AC=14,DC=6

10、,由余弦定理得2 2 2/AD +DC -AC 100 +36-196cosN =2ADDC2x10x61=2/. Z ADC=120 , Z ADB=60在 ABD中，AD=10, Z B=45° , Z ADB=60 ,由正弦定理得一AB一=上2sin NADB sin B7310 X .Ab= ad叽ADB =10sin 6°'二J =5辰sin Bsin 45 °v222. （ 2010辽宁文）（17）（本小题满分12分）在人ABC中，a、b c分别为内角 A、B、C的对边,且 2asin A =(2b +c)sin B +(2c +b)sin C

11、求A的大小;(n)若sin B +sin C =1，试判断AABC的形状.解:（I）由已知，根据正弦定理得2a2 =（2b + c）b+（2c + b）c即a2=b2 +c2 +bc由余弦定理得a 又 sin B +sin C = 1，得 sin B = sin C =- 因为 0°vB <90；0°cC v90°,故B =C所以MBC是等腰的钝角三角形。3. （ 2010辽宁理）（17）（本小题满分12分）在 ABC中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且 = b2 +c2 -2bccos A2 2 2(n)由(I)得 sin A =si

12、n B +sin C +sin Bsin C-2asin A = (2a +c)sin B +(2c +b)sin C.(I)求A的大小;(n)求sin B +sin C的最大值.解:(I)由已知，根据正弦定理得2a2 = (2b + c)b + (2c + b)c即a2 =b2 +c2 +bc由余弦定理得2 2 2a =b +c -2bccosA1故 COSA = - , A=120°2(n)由(I)得：sin B + sin C =sin B +sin(60 B)丽1=cosB +-sin B2 2=si n( 60。+B)12分故当B=30°时，sinB+sinC 取

13、得最大值1。4.( 2010安徽文)16、(本小题满分12分)12MBC的面积是30,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c , cosA =。13(I)求 ABAC ；(n)若c-b =1，求a的值。【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系,三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力【解题指导】(1)根据同角三角函数关系，由12cos13得sinA的值，再根据也ABC面积公式得bc =156 ；直接求数量积 ABAC .2 2 2由余弦定理a =b+c -2bccos A，代入已知条件C -b =1，及be =156求a的值.51312解：由 cosA=，得 si

14、nA132 _1又 bcsinA=30,. be =156.2A O(I) AB AC =bccosA=156x = 144.13(n) a2 =b2 +c2 -2bccosA =(c-b)2 +2bc(1-cosA) = 1 + 2 d56 (25 ,3=5.【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知AABC的12面积是30, cosA=，所以先求si nA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值.第二13问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.（2010重庆文数）（18）.（本小题满分13分）,（I ）小问5分，（n ）小问8分.）设AABC

15、的内角A、B C的对边长分别为a、b、c,且3 b2+3c2 -3a2=4j2be .(I )求si nA的值;兀兀2s in(A+ -)si n(B +C +)(n )求4L的值.1cos2A*（£：（丨5曲余弦定理謝cos A - & 打3 =葺X 0 << 龙.故術肛-= ew'd s = ”-c(rt 7.AIsinfjl + 'y) »in( IT -冲 + y- 原式斗2&in( 4 +于Wifi(片-2sinU5. （ 2010天津理）（17）（本小题满分12分）已知函数 f(x) =273sin xcosx +2c

16、os2xT(x R)7(I)求函数f (X)的最小正周期及在区间 o, 11上的最大值和最小值;L 26兀 T(n)若 f(x0)：=-,沧 I二二 I,求 cos2x0 的值。54 212【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分 分。（1）解：由 f（X）=2船sin xcosx + 2cos2 x 1，得f（X）= J3（2sin xcosx） +（2cos2 x 1）=丽sin 2x +cos2x = 2sin（2 x +三）6所以函数f (X)的最小正周期为 兀因为f(X)=2sin f2x

17、 + -在区间0,-1上为增函数，在区间匡,一1上为减函数，又I 6丿 6L6 2f（0）Tfdm=_1，所以函数f (x)在区间0, = 1上的最大值为2，最小值I 2为-1(n)解：由(1)可知f（X0）=2sin "2x0 +-I 6丿6又因为f (Xo)=，所以5sin 2x0 + I 6丿=3一53T 3T 由x。"匚，2，得2X04=53-矶10r（兀）兀1f兀）兀f兀）兀cos2x =col2x0 + i=cosl 2xcos +sin I2x0 + sin=L<6 丿 6<6 丿6<6 J66. ( 2010全国卷1理)(17)(本小题满分

18、10分)已知VABC的内角A , B及其对边a , b满 a+b = a cot A+bcot B，求内角C .解：由已知曼正弦定理，有 sin + sin B = sin A -+ sin B >= cos j4 + cos Sgin卫sin 8A sin y4-coscos E - sin F, Asin(-) =)/; 05-h <444 A 44 A.A- +B + = jt,.A+S = C = ;t-(A+ 5) = 4 4227. （ 2010福建理）19.（本小题满分13分）。在小艇出发时，某港口 0要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上轮船位于港口 0北偏

19、西30爼与该港口相距 20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以V海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少?（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】如图，由（1）得OC =10y3,AC=10,故OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有0卍0OAC，而小艇的最高航行速度只能达到 30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A C （包含C）的任意位置Eg，O疇由于

20、从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t=g吐和t平VCOS 日30所以理沁=皿|，解得v=1朋VCOST30J3sinW30亍又心0,故曲+30）订相遇，设 NCOD=e（0 <0<90）,则在RtiCOD中,J3从而30tHv90：由于0 =30时，tan日取得最小 值，且最小值为 ，于是330当9 =30时，t = 10勺朋仙日取得最小值，且最小值为 -。一3此时，在AOAB中，OA =OB = AB =20，故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东 30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。（2010安徽理数）16、（本小题满分12分）设MBC是锐角三角

21、形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，并且2兀兀2sin A =sin( + B) sin( - B) + sin B。3 3（I ）求角A的值;(n )若 ABAC =12,a =27，求 b,c (其中 b cc)。（16）（本小題满分12分）本题考査两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数 值，向燉的数ft积：利用余弦定理解三角形筹有关知识，考査综合运算求解能力， 解：（I ）因为= （cos B + -sin 月）（琴aos B - -sin S） * sii?5=丰cqs"R -丄-sinB +=丄4 44所UUinA=遐又d为锐角，所以.4 =手.

22、（n）由諺花=12可得由（I）知小于，所以ch = 24.由余弦定理知J+圧-亦cos仏将2 27?及f弋人，得? + b* = §2 ,+得。+ 6）口100所以Q i =10,因此，匕“是一元二次方程?-10i+24=0的两个抿+ 解此方程并由20知"6, 6=4,8. （ 2010江苏卷）17、（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔 AE的高度H（单位：m）,如示意图，垂直放置的标杆 BC的高度h=4m仰角/ ABEp , / ADE=P。（1）该小组已经测得一组P 的值，tan a =1.24 , tan P =1.20 ,请据此算出H的值;I（2）该小组分析若干

23、测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m），使a与P之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔 的实际高度为125m,试问d为多少时，Ct - P最大?解析本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。htanP。HHH(1)=tanP=AD= n ,同理：AB =, BD =ADtan Ptan= 124。ADAB=DB 故得 H HtanP，解得:tana tanP因此，算出的电视塔的高度H 是 124m。h tana4x1.24tanP -tana 1.24-1.20(2 )由题设知d = AB ,得 tana =H, tan P dH H -hH -hADDB“

24、 a、tan a - ta nPtan© - P)=石口1 + tana tan PHdhdH -hdd2+H(H -h) d + H(H -h) dd + H (H -h) 32Jh(H -h),(当且仅当d = jH(H -h) =(125121 = 55/5时，取等号）故当d =55j5 时，tan (a - P)最大。因为兀0 吒 P < 二，贝U 0 <a - P2< ，所以当d = 55/5时，a - P最大。2故所求的d是55j5m。9. （ 2010江苏卷）23.（本小题满分10 分)已知 ABC的三边长都是有理数。（1）求证cosA是有理数；（2）

25、求证:对任意正整数n, cos nA是有理数。解析本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分 10分。b2 +22（方法一）（1）证明：设三边长分别为 a,b,c , cosA= 2bc, a,b,c是有理数,b2 + C2 - a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性,b2 + c2 _a2必为有理数， cosA是有理数。2bc（2）当n =1时，显然cosA是有理数;当n=2时， cos2A=2cos2 A1，因为cosA是有理数，/ cos2A也是有理数;假设当n <k（k>2）时，结论成立，即 c

26、oskA、cos（k1）A均是有理数。当 n =k +1 时，cos(k+1)A =coskAcosAsinkAsinA ,cos(k +1)A =coskAcosA-一cos(kA - A)-cos(kA + A),211cos(k +1)A =coskAcosA cos(k T)A + cos(k 中1)A , 22解得：cos(k +1)A =2coskAcosA -cos(k _1)A/ cosA, coskA , cos(k -1)A均是有理数，二 2coskAcosA-cos(k 一1)A是有理数, cos(k + 1)A 是有理数。即当n =k +1时，结论成立。综上所述，对于任

27、意正整数n，cos nA是有理数。(方法二)证明：(1)由AB BC AC为有理数及余弦定理知cosA-AB'+AC-BC2 是有理数。2ABAC(2)用数学归纳法证明 cos nA和sin A sin nA都是有理数。当n =1时，由(1 )知cos A是有理数，从而有sin A sinA=1-cos2A也是有理数。假设当n =k(k>1)时，coskA和sin A sin kA都是有理数。当 n= k+1 时，由 cos(k+1)A =cosA coskAsin A sin kA，sin A si n(k +1)A=si nA (s inA coskA +cosA sin k

28、A) =(si nA si nA) coskA+(si nA si nkA) cosA及和归纳假设，知 cos(k+1)A和sin A sin(k+1)A都是有理数。即当n =k +1时，结论成立。综合、可知，对任意正整数n，cos nA是有理数。2009年高考题1.(2009年广东卷文)已知AABC中,NA,NB,NC的对边分别为a,b,c若a+ 近且 NA =75°，则A.2.4 2晶 D 晶-迈答案解析Sin A =sin750 =sin(30° +45°) =sin 300 cos450 +sin 450cos300 =%丘可知 dcE，所以 N B=30

29、0，sinB.sin B = yE + 农 X1 = 2,故选 A逅+76 22. （2009全国卷n文）已知ABC中，cot AcosA =A.工13答案DB.513C.513D.1213解析 本题考查同角三角函数关系应用能力,12先由cotA=- 知A为钝角,5cosA<0 排除 A和 B,再由 cotA -cosAsin A12 2 2,和 sin A+cos A = 1 求得 cosA = 512133.（2009全国卷n理）已知 AABC中,cot A12,贝 U cos A=(D.1213答案D12解析 已知心ABC中，cot A =5,5（尹）.cos A = - 4 +t

30、an2 A12 故选D./ rr 13dr4. （ 2009湖南卷文）在锐角ACMBC 中，BC=1,B=2A,则 cosA的值等于AC的取值范围为答案2(72,73)解析设NA =日,=B =2日.由正弦定理得ACBCACsin29*竺=2sin 日，2cos&”cos日a由正弦定理得b =sin A2Zcos 川2由锐角 MBC 得 0"<2日 <9 Oje <45:又 0°<180°-3& <90°= 300<日 <60 :故 30。" 45。=二 AC =2cos族(血 73).

31、5. （2009全国卷I理）在 MBC中，内角 A B、C的对边长分别为 a、b、c,已知2 2a -c =2b，且 sin AcosC=3cosAsinC,求 b分析:此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手.对已知条件（1） aA34,二 cosA =2cos 一1 =一，sin A=,又由 AB -AC =3 - C2 = 2b左侧是二次的右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件sin AcosC =3cos Asin C,过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不到突破口而失分解法一：在 心ABC中寫sin AcosC =3c

32、os As in C,则由正弦定理及余弦定理2b22b2+22有:af=2 55得 bc cos A = 3,be = 5 ,（2）对于be =5，又b+c = 6，二b=5,c = 1或b=1,c = 5，由余弦定理得a2 =b2 +c2 -2bccos A =20，二 a =2/57. （2009浙江文）（本题满分14分）在心ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c，且七产9,化简并整理得：2（a2c2）=b2又由已知a2 -c2 =2b. 4b =b2.解得 b =4或b=0(舍).解法二：由余弦定理得：a2-c2 =b2-2bc cosA .又 a2-c2 = 2b，b H 0

33、 .所以 b =2ccosA + 2又 sin AcosC =3cosAsinC , /. sin AcosC +cosAsinC = 4cos AsinCsin (A +C) =4cos Asi n C，即 sin B =4cos As in C由正弦定理得sin B =巴sinc，故b =4ccosA c由，解得b = 4 .在备考中应注意总.另外提醒：两纲中明评析：从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。6. （2009浙江理）（本题满分14分）在 MBC中，角A, B,C所对

34、的边分别为a,b,c，且A 2需 满足 cos厂丁，ALAC3 .（I ）求MBC的面积;（II）若 b+c =6，求 a 的值.3解(1)因为 cos=25满足cos鈔萼，E.(I )求MBC的面积;(II )若 c=1，求 a 的值.解(I)-A*1 2：亠 2"2f)2 亠3又 A (0,兀),sin A =1 _ cos2 A = 4，而 AB.AC =5"3AB . AC .cos A = be = 3,所5以be =5，所以心ABC的面积为：1 bcsin A = 1咒5 4 = 2225(n)由(I)知 be = 5，而 c=1，所以 b=5所以 a = Jb

35、2 +c2 -2bccosA = j25+1-2x3 = 2J58. (2009北京理)在人ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c,B= 3cos A(I)求/b W。5sin C的值；(n)求AABC的面积.【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力.兀4解(I)T A、B、 ABC的内角，且 B= ,COSA= 3 53C 二-A,sinA=5二 sin C =sincosA + nA二诬2 2 10(n)由(I)知 si nA=9.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+,si n C

36、 二3 十(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期. 廳5 10又 B=,b = 73 ,在 ABC中，由正弦定理，得3._ bsin A 6a =.36+9350兀2)+si nx.sin B 51 c1 设A,B,C为也ABC的三个内角，若cosB= ，f ()=-，且C为锐角，求si nA.3 24解(1)f(x)=cos(2x+兀 2兀兀一)+SI n x.= cos2xcossi n2xs in +3331-cos2x 1 J3-sin 2x2所以函数f(x)的最大值为,最小正周期兀.2 f(|)=2叵inC=丄24所以 sinC 二、32因为C为锐角，所以兀C =3AQ又因为在i

37、ABC中，cosB=-, 所以 sin B=-J3,33所以2 sin A =sin( B + C) =sin BcosC +cosBsin C = -32乔 272+7310.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数2申f(x)=2 si nxcos +COSXS in® sin x(0；i)在处取最小值.2(1 )求W .的值;(2)在也ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知a =1,b = J2, f (A)43求角C.1 + cos 申解 (1) f(x)=2sin X，+ cosxsin-sinx2=sin X+sin xcos®+cosxsin

38、 -sinx =sin xcos®+cosxsin® =sin(x+W)因为函数f(x)在X =兀处取最小值，所以si n(兀+ 9) = 1,由诱导公式知si nW =1,因兀为0W兀，所以申=.所以f(x)=si n(x+)=cosx2 2/ 33江因为f(A.,所以cosA=y'因为角A为&ABC的内角，所以AW又因为a =1,b = J2，所以由正弦定理b,得=,也就是sin A sin B因为b>a,所以B = 或B4兀 兀=兀一一一一64当B =-时，C44=;当 B =二时，C =1243兀兀37!兀兀一一一=6412【命题立意】：本题主

39、要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质，并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合10. （ 2009全国卷n文）（本小题满分12分）设 ABC的内角A、B C的对边长分别为a、3b、c, cos（AC）+cosB = 2，b2 = ac , 求B.解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，；关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB= 1（负值舍掉），从而求出B=t。2333解：由 cos(AC) +cosB=-及 B=n (A+C 得 cos (A C) cos ( A+C =223 cosAcosC+sinAsin

40、C ( cosAcosC-sinAsinC )=2sin Asi nC=4Q又由b =ac及正弦定理得2sin B=sin AsinC,故 sin2 B = 34sin B =2或 sin B卡（舍去）,于是B= n3又由B=n。311. (2009 安徽卷理)在 也 ABC 中，si n(CA) =1 , si nB=(I )求si nA的值;(II) 设 AC=76，求 ABC的面积.解：（I）由兀兀 BCA = 2，且 C+AB , a=42兀si nA=si n(4B72BB一 )= (cos sin ),22221 13sin2A=-(1-sinB)=-，又 sinA>0, s

41、inA =2 3AC BC（n）如图，由正弦定理得jAC=_B匕sin B sin A3B76晅 BC=笃晋二r=3血，又sinC =sin(A + B) =sin AcosB +cosAsin B=晅咒空2+血=區333331 .-S禹BC = AC BC sinC212. （2009安徽卷文）（本小题满分12 分) 在 A ABC中，C-A=2 , sinB= 3 。（I ）求sinA的值；（II）设AC誌，求A ABC的面积。【思路】（1）依据三角函数恒等变形可得关于SinA的式子，这之中要运用到倍角公式;（2）应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出SV.解(1)T cA=-且c

42、+ A B A=-24芮 B .2)= 2 (cos2 SJ)兀- sin A =sin(421 B B 211 sin2 A=(COLsin)2 = (1sinB)= 22223又 sin A >0 - cosA =3（2）如图，由正弦定理得BCACsinBBC- BCsinA_ AC sinA sin B3又sinC =sin(A +B) =sinAcosB +cosA sinB73 22116 SABC = AC BC SinC = x 施心近八=3近.2 2313. （2009江西卷文）在 ABC中，A,B, C所对的边分别为a,b,c ,(1+ 73)c=2b (1 )求 C

43、；(2)若 CB CA =1 +73，求 a, b ,解：（1）由（1 + J3）c=2bsin Bsin C则有5花一-sin cosC cossinC66si nCsinC1 =-cotC +2 2得 cotC =1 即 C =-4(2)由 CB CA = 1+73推出abcosC=1 + 73 ；而 C =4即得¥ab十爲,则有2(1+ J3)c=2b|a =解得 <b=1+73si nA sinC14. （ 2009江西卷理） ABC中,A, B, C所对的边分别为a,b,c，cos A + cos BtanC = sin sin B , sin(B-A) =cosC.

44、(1)求 A, C ；(2)右 S必Bc =3 + 求 a, c.cos A + cosB cosCcos A + cosB解: (1)因为 tanC = sinA+sinB，即 sinC sinA + sinB所以 sin C cos A +sin C cos B = cosC sin A + cosC sin B，即 sinC cosA_cosCsin A =cosCsin B _sin C cosB，得 sin (C-A) =si n(B-C). 所以 C-A = B-C,或 C - A =兀(B - C)(不成立).即2C =A + B,得C，所以.3 1又因为 sin( B - A)

45、 = cosC = ，则22兀B+A =3兀一B-A=，或B-A=(舍去)6 65兀12JacsinB.后血2ac = 3 +，8又sin A csi nC得 a =2返 c=2y/3.15. （2009天津卷文）在 AABC中，BC = J5, AC = 3,sinC = 2sin A(I)求AB的值。(n)求JIsin(2A-7)的值。(1)解:在 也ABC中，根据正弦定理,妲=旦，于是sin C sin AAB =si nC-B =2BC =2J5 sin A（2）解：在 MBC中，根据余弦定理,得 cosA-ABAC-BC22ABAC于是 sin A = J1 -cos2 A =5从而

46、 sin 2A = 2sin Acos A = 4, cos2A = cos2 A - sin2 A =-5 5兀兀兀J2sin(2A 一)= sin 2Acos -cos2Asin =4 4410【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。16.（2009四川卷文）在心ABC中，A、B为锐角，角A B、C所对的边分别为a、b c，且sin A =亚,sin B 二彳0510(I )求A + B的值;(II)若 a-b = 721，求 a、b c的值。解(I ) A、B 为锐角，sinA芈sinB=晋 cosA

47、 -sin2 A =&5,cos B = j1-si n2 B =510cos(A + B) = cosAcos B -sin Asin B =5W5 3 怖 75 710 72X X105102(II )由(I )知 CsinC 卫2由得sin A sin B sin Cl5a = >/T5b = /2c，即卩 a = 42b, c = 4572b-b =72-1b =1C的对边长分别为a、b、c,B =兀一(A+C)代入17. (2009全国卷n理)设 卫ABC的内角A、B、32cos(A-C)+cosB =-, b =ac，求 B3分析：由cos(A C) + cosB =

48、，易想到先将23 3cos(A -C) +cosB =得cos(A-C) -cos(A+ C)= 然后利用两角和与差的余22。3弦公式展开得sinAsin C =-；又由b2 =ac，利用正弦定理进行边角互化，得43气2叮Sin2 B =Sin ASinC，进而得SinB =.故3或丐。大部分考生做到这里忽2辽1略了检验，事实上，当 B =丿 时，由cosB = cos(A + C)=-，进而得323 cos(AC) =cos(A +C) +=2a1，矛盾，应舍去。22兀也可利用若bJc则心或bS而舍去B話。不过这种方法学生不易想到。评析：本小题考生得分易，但得满分难。18. (2009辽宁卷

49、文)如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B, D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为750, 300，于水面C处测得B点和D点的仰角均为600 , AC= 0.1km。试探究图中B, D间距离与另外哪两点距离相等， 然后求B, D的距离(计算结果精确到0.01km, 72 H.414 , 76 止2.449 )解：在 AACD 中，NDAC = 30°, NADC = 60° NDAC = 30°所以 CD= AC 0.1又 NBCD = 180° 60° 60°= 60°故C

50、B是iCAD底边AD的中垂线，所以 BD= BA 5 分AB在人ABC中，一AB一 =sin NBCA sin NABCAC即AB=也遊丄一3逅十血Sin 1520因此，BD = 3血+拆丸0.33km20故B、D的距离约为 0.33km。1219. (2009辽宁卷理)如图， A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B, D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°, 30°，于D间距离与另外水面C处测得B点和D点的仰角均为60° , AC=0.1km。试探究图中B,哪两点间距离相等，然后求B, D的距离(计算结果精确到0.

51、01km, J2止1.414 ,yJ6 "449 )解：在 ABC 中，/ DAC=30 , / ADC=60 -/ DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又/ BCD=180 60°60° =60°故CB是 CAD底边AD的中垂线，所以BD=BAABAC在 ABC中，sin NBCA =sh ZABCACsin60 ° 32+76 即 AB= sin15203运乐因此，BD=一20一a.33km。故B, D的距离约为 0.33km。20. （2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶 M, N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B, M N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和 A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标