2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第一册学案：3.1.3 第1课时　函数的奇偶性 Word版含解析

1、3.1.3函数的奇偶性第1课时函数的奇偶性素养目标定方向课程标准学法解读1奇、偶函数的概念(理解)2奇偶性的几何意义(了解)3奇、偶函数的应用(掌握)学习时，应类比函数单调性，先由具体函数入手，对奇、偶数有初步认识，然后由此抽象概括并用符号语言描述奇、偶函数的定义把握奇、偶函数的本质特征图像的对称性，并能利用它解决相关问题.必备知识探新知基础知识1函数的奇偶性前提函数f(x)定义域d内的_任意一个x，都有xd_，条件且_f(x)f(x)_且_f(x)f(x)_结论则称yf(x)为偶函数则yf(x)为奇函数思考1：函数奇偶性的注意点是什么？提示：(1)从奇函数、偶函数的定义可知，当x是定义域中的

2、一个数值时，则x也必是定义域中的一个数值，因此函数yf(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性例如，函数yx2在区间(，)上是偶函数，但在区间3,5上却不具有奇偶性(2)若奇函数f(x)在x0处有定义，则根据定义可得，f(0)f(0)，即f(0)0.(3)若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一类，即f(x)0，xd，d是关于原点对称的非空数集2奇偶函数的图像特征(1)函数是偶函数图像关于y轴对称；(2)函数是奇函数图像关于原点对称3奇、偶函数的对应关系的特

3、点(1)奇函数有f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)；(2)偶函数有f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)4奇、偶函数的单调性根据奇、偶函数的图像特征，我们不难得出以下结论(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性上述结论可简记为“_奇同偶异_”(2)_偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值_，取最值时的自变量互为相反数；_奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数_，取最值时的自变量也互为相反数基础自测1下列函数中，既是奇函数又是增函数的是(d)ayx1byx2cydyx|x|解析：函数yx1是非奇非偶函

4、数，函数yx2是偶函数，函数y不是增函数，故选d2对于定义域是r的任意奇函数f(x)，都有(c)af(x)f(x)0bf(x)f(x)0cf(x)f(x)0df(x)f(x)0解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)20.3若函数f(x)x2ax1为偶函数，则a_0_.解析：解法一：f(x)为偶函数，f(x)f(x)，x2ax1x2ax1，即2ax0(xr)恒成立，a0.解法二：f(x)为偶函数，f(1)f(1)，即1a11a1，a0.4下列图像表示的函数是奇函数的是_，是偶函数的是_(填序号)解析：关于y轴对称是偶函数，关于原点对称是奇函数5已知yf(

5、x)是定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，则f(x)在r上的解析式为_f(x)_.解析：当x0，f(x)x22x.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)x22x.f(x).关键能力攻重难类型判断函数的奇偶性典例剖析_典例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)x22|x|1，x1,1；(4)f(x)(x2)；(5)f(x)(x2)(|x|2)思路探究：先求定义域，验证定义域是否关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系，进而做出判断解析：(1)由知x1.函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)由得x21，即

6、x1.函数f(x)的定义域是x|x1，关于原点对称又f(x)0，f(x)既是奇函数也是偶函数(3)函数的定义域为1,1，关于原点对称f(x)(x)22|x|1x22|x|1f(x)，f(x)是偶函数(4)设f(x)(x2).由得x2或x2，函数的定义域为(，2(2，)，不关于原点对称f(x)(x2)既不是奇函数也不是偶函数(5)设f(x)(x2)(|x|2)|x|2，2x2，函数的定义域为(2,2)，关于原点对称，而f(x)(2x)，f(x)f(x)，f(x)(x2)(|x|2)是偶函数归纳提升：如何判断函数的奇偶性1判断函数的奇偶性一般不用其定义，而是利用定义的等价形式，即考察f(x)与f(

7、x)的关系，具体步骤如下：(1)求f(x)的定义域(2)若定义域不关于原点对称，则函数f(x)不具有奇偶性，若定义域关于原点对称，可再利用定义验证f(x)与f(x)的关系2关于一些较复杂的函数，也可以用如下性质判断函数的奇偶性：(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数(2)奇函数的和、差仍为奇函数(3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数对点训练_1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x21；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x).解析：(1)函数的定义域为r，关于原点对称，f(x)(x)21x21f(x)，函数f(x

8、)x21是偶函数(2)函数的定义域为r，关于原点对称，f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，函数f(x)|x1|x1|是奇函数(3)函数f(x)的定义域为1，)，不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数类型奇偶函数图像的应用典例剖析_典例2(1)如图1，给出了奇函数f(x)的局部图像，那么f(1)等于(b)a4b2c2d4图1图2(2)设偶函数f(x)的定义域为5,5，且f(3)0，当x0,5时，f(x)的图像如图2所示，则不等式xf(x)0的解集是_5，3)(0,3)_.思路探究：根据函数的奇偶性可作出函数在y轴另一侧的图像，再根据图像来解题解析：(1)

9、由函数的图像可得f(1)2，又由函数为奇函数，则f(1)f(1)2.(2)因为f(x)为偶函数，且由图像可得在0,3)上，f(x)0在(3,5上，f(x)0，则在5，3)上，f(x)0，在(3，0上，f(x)0，xf(x)0或所以5x3或0x3，即不等式的解集为5，3)(0,3)归纳提升：巧用奇偶性作函数图像的步骤(1)确定函数的奇偶性(2)作出函数在0，)(或(，0)上对应的图像(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(，0或0，)上对应的函数图像对点训练_2已知函数yf(x)是定义在r上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示(1)请补

10、出完整函数yf(x)的图像；(2)根据图像写出函数yf(x)的增区间、值域解析：(1)由题意作出函数图像如图：(2)据图可知，单调增区间为(1,0)，(1，)，值域为1，)类型分段函数奇偶性的判定典例剖析_典例3用定义判断函数f(x)的奇偶性思路探究：判断分段函数的奇偶性，要注意x与x是在不同的“段”中，则f(x)与f(x)是不同的关系式解析：解法一：任取x0，则x0.f(x)(x)21x21(x21)f(x)又任取x0.f(x)(x)21x21(x21)f(x)对x(，0)(0，)都有f(x)f(x)成立函数f(x)为奇函数解法二： f(x)，即f(x)|x|(x)(x0)，则f(x)|x|

11、(x)|x|(x)f(x)f(x)为奇函数归纳提升：1.判断分段函数的奇偶性，必须分段考虑2若分段函数是奇函数或偶函数，常用含绝对值符号的函数表达式来表示对点训练_3判断函数f(x)的奇偶性解析：函数f(x)的定义域为r，关于原点对称，当x0时，x0，f(x)(x)22x22(x22)f(x)，当x0，f(x)(x)22x22(x22)f(x)当x0时，f(0)0，即x0时，f(x)f(x)综上所述，xr，有f(x)f(x)，故该函数为奇函数类型由函数的奇偶性求函数的解析式典例剖析_典例4已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x|x2|，求当x0时，f(x)的表达式思路探究：已知函数f(x

12、)是奇函数，可利用对称性求对称区间上的解析式解析：令x0，则x0.f(x)x|x2|x|x2|.f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(x)x|x2|.故当x0时，f(x)的表达式为f(x)x|x2|.归纳提升：由函数奇偶性求函数解析式的解题策略1函数具有奇偶性，若只给出了部分区间上的解析式，则可以利用函数的奇偶性求出对称区间上的解析式，其解题理论为函数奇偶性的定义正用定义可以判断函数的奇偶性，逆用可以求出函数在对称区间上的解析式2结论：(1)若f(x)是奇函数，且已知x0时的解析式，则x0时的解析式只需将原函数式yf(x)中的x，y分别替换为x，y，然后解出y即可(2)若f(x)是偶函数，且已

13、知x0时的解析式，则x0时的解析式只需将原函数式yf(x)中的x替换为x，y不变，即得x0时的解析式对点训练_4若f(x)是定义在r上的奇函数，当x0时，x0，当x0时，f(x)x(1x)，f(x)x(1x)，又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)x(1x)，f(x)x(1x)，又f(0)f(0)f(0)，f(0)0，当x0时，f(x)x(1x)类型抽象函数的奇偶性典例剖析_典例5已知函数yf(x)(xr)，若对于任意实数a、b都有f(ab)f(a)f(b)，求证： f(x)为奇函数思路探究：因为对于任意实数a、b都有f(ab)f(a)f(b)，可以先令a、b为某些特殊值，从而得出f(

14、x)f(x)证明：令a0，则f(b)f(0)f(b)，f(0)0，再令ax，bx，则f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，且定义域xr关于原点对称，f(x)是奇函数归纳提升：判断抽象函数的奇偶性，应利用函数奇偶性定义，找准方向，巧妙赋值，合理，灵活变形配凑，找出f(x)与f(x)的关系，从而判断或证明抽象函数的奇偶性对点训练_5已知函数yf(x)(xr)，若对于任意实数x1、x2，都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)，求证： f(x)为偶函数证明：令x10，x2x，得f(x)f(x)2f(0)f(x)，令x1x，x20，得f(x)f(x)2f(0)f(x)，由得， f(

15、x)f(x)，且定义域xr关于原点对称，函数f(x)为偶函数课堂检测固双基1设函数f(x)是定义在r上的奇函数，且f(3)2，则f(3)f(0)(c)a3b3c2d7解析：函数f(x)是定义在r上的奇函数，f(0)0，又f(3)f(3)2，f(3)2，f(3)f(0)2，故选c2下面四个结论：偶函数的图像一定与y轴相交；奇函数的图像一定经过原点；偶函数的图像关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)0(xr)，其中正确命题的个数是(a)a1b2c3d4解析：偶函数的图像关于y轴对称，但不一定相交，因此正确，错误；奇函数的图像关于原点对称，但不一定经过原点，因此不正确；若yf(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)0，但不一定xr，只要定义域关于原点对称即可，故错误，既是奇函数又是偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零，区别在定义域，选a3已知函数f(x)是定义在r上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_12_.解析：当x(，0)时，f(x)2x3x2，f(2)2(2)3(2)216412，又f(x)是定义在r上的奇函数，f(2)f