算术平方根与平方根的概念及性质

1、第六章实数专题6 算术平方根与平方根的概念及性质知识要点1算术平方根：如果一个正数 x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数 x叫作a的算术 平方根。记为 丽，读作根号a”，a叫作被开方数规定：0的算术平方根是0.2平方根：如果一个数 x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次 方根，a叫作被开方数.正数a的正的平方根，即为a的算术平方根。正数a有两个互为相反数的平方根：.a，读作 正负根号a”；负数没有平方根；0的平方根是0.3求一个非负数的平方根的运算叫作开平方，平方和开平方互为逆运算。4如果被开方数的小数点向左（或向右）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应向 左（或向

2、右）移动 1位，例如：若.a b，贝U 100a 10b， ,0.001a0.1b.5算术平方根的双重非负性对于,a,满足关系式：a>o（被开方数为非负数）；.a（算术平方根为非负数）6. 算术平方根的性质：若 a>b>（则 苗> Vb > 0.7. 两个结论：a a （a> 0； a x4 【点评】遇到带分数，需要先把带分数化为假分数； 求一个式子的平方根或算是平方根， 需要先求出该算式的值；一个正数的平方根总是成对出现的，不要遗漏拓展与变式1 娠的算式平方根是 .拓展与变式2若m+1是9的平方根，则 m=拓展与变式3若一个正数的两个平方根为x-1和2x+

3、1，则这个正数为 .拓展与变式4若整式x-1和2x+1都可以表示一个正数的平方根，求这个正数. a 2 a .典例精析3 2 :例1 01 ）求下列各数的算术平方根：81;25 :36（2）求下列各数的平方根：0.49:2-:3 22 :x【反思】审题时，要注意按照定义运算，注意“ ”的作用.需要灵活判断和运用平方运算和它的逆运算-开平方的运算4【分析】分别按照平方根和算术平方根的定义来求值，要注意两者符号书写的不同2【解】01）因为92=81，所以、81=9;因为§ 空，所以 25636N36 6因为 > 3,所以-3 > 0，根据、a2|a ,有-2因为x（2）因为0

4、.70.49，所以.019= 0.7;因为9'所以：24；4 i;因为5 23 22-.255 ;因为例2已知：（m+1） 2+ . 3n=0，求式子n m3的值.【分析】两个非负数的和为 0，则这两个数均为 0.【解】依题意得 m 1 0解得m 1,所以n m3 = 31 3=43 n 0n 3【点评】灵活借助平方结构和算式平方根的非负性进行分析和求解拓展与变式5已知：m 1寸3 n ,式子m+n的值为.拓展与变式6已知： 苗5 J5 a 0， a的值为2拓展与变式7已知：m (a-1) 2=4;(3) (x-2) 2-1=4 1J廿 tn 0 ,代数式2m n（的值为.【反思】学过

5、的具有非负性的式子有a2 0 , a 0 , , a 0 （ a> 0）.学会运用和区别算术平方根的非负和被开方数非负两个性质.例3.30的大小约为（）A.3与4之间 B. 4与5之间C. 5与6之间D. 6与7之间【解】因为20V 30 v 36且a> b0则応血0.所以 5= 25 v、.30 v ,36=6.答案为C【点评】利用被开平方数的范围进行估算，需要寻找与其大小最接近的两个平方数拓展与变式 8比较大小：15 13.拓展与变式9若.51的整数部分为a，小数部分为b,求a、b的值【反思】若m 肓 m 1 （m为非负整数），则. 5的整数部分为m,小数部分为a -m.专题突破1. （1） x是81的算术平方根，那么 x的算术平方根是（）A. 3 B. 9C.3D.9（2）下列式子：尿 4 :3 :何3 1 :2調品2，其中正确 的个数是（）A.0B.1C.2D.32. 如图6-1所示，点 A, B, C, D, O分别表示的数是 1 , 2, 3, 4, 0.0 12 3 1t4iL0AHCD 图 6-1（1 ）点P从O点出发，向数轴正方向匀速运动，速度为每秒.2个单位长度，2秒后，点P在线段上；（2）点P从B