几种常用数值积分方法的比较汇总

1、贵州师范学院本科毕业论文（设计）诚信声明学科分类号110.3420GUIZHOU NORMAL COLLEGE本科毕业论文题 目一几种常用数值积分方法的比较潘晓祥 学号1006020540200院（系）数学与计算机科学学院专业数学与应用数学年级2010 级讲师指导教师雍进军职称二0四年五月本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师 的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表 或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人

2、承担。本科毕业论文作者签名：年月曰贵州师范学院本科毕业论文（设计）任务书毕业设计题冃几种常用数值积分方法的比较作者姓名潘晓祥学号1006020540200年级2010 级所属学院数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级四班指导教师签名雍进军讲师职称讲师开題日期2013年7月10日主要目标1了解什么数值积分基本思想和一些常用的数值积分方法；2对各种数值积分方法的误差以及代数精度进行分析；3对各积分方法进行比较总结出优缺点。通过对几种常用的数值积分方法进行了的分折*并用这几种方法对被积函数是普通函数做了数值积分，并在计算机上进行实验。数值积分是计算方法或数值分析理论中非常重要的内容,数值积分方法

3、也 是解决实际计算问题的重要方法'对几种常用数值积分方法的分析很必要。贵州师范学院本科毕业论文（设计）开题报告书本文通过对复化求积公式，Newton -Coles求积公式，Romberg求积公式，咼斯型求积公式 进行分 析讨论并在计算机上积分实验，从代数精度,求积公式i吴差等角度对这些方法进行分析比较'并总结出毎种求积分法的优缺点以及实用性。贵州师范学院本科毕业论文（设计）开题报告书论文题冃几种常用数值积分方法的比较作者姓名潘晓祥学号1006020540200年级2010 级所属学院指导教师姓名数学与计算机科学学院雍进军专业职称题印性质应用硏究数学与应用数学班级数本（4 ）班讲

4、师预计字数5000.00 字日期2013年7月05日24选題的原由： 硏究意义：数值积分是数学上的重要课題之一,是数值分析申的重要内容之一,也是数学的硏究重点并在实际问题及应用中有 着广泛的应用常用于科学与工程的计算中，如涉及到积分方程，工程计算，计算机图形学，金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用，所以研究数值积分问题有很重要的意义数值积分是硏究如何求出一个积分的数值这一课题的超源可追溯到古代，其中一个突出的例子是希腊人用内接与外接正多边形推算出圖面积的方法也正是此法使阿基米德得以求出n值得上界与下界，若干世纪以来，尤其是十六世纪后，已提出了多彳中数值积分方法，其中有矩形求积法，内橢求积

5、法， 牛顿科待斯公式，复化求积公式，龙贝格求积公式，高斯型求积公式但各种方法都有特点，在不冋的情况下试用程 度不冋，我们将着重从求积公式的代数精度和余项等角度对这些方法进行分析比较 硏究动态2这些年来，有矢数值积分的硏究已经成为一个很活跃的硏究领域，历史上，阿基米徳，牛顿，欧拉，高斯，切比雪夫等人都对此有过贡献研究出各种各样的数值求积公式，但一个好的数值求积公式应该满足：计算简单，误差小，代数精度高我们将对矩形求积法，内橢求积法，牛顿科特斯公式，化求积公式，贝格求积公式，斯型求积公式进行比较对数值求积公式能有进一步的了解和学习1数值积分方法的基本思想2几类常用数值积分方法的基本分析2.1主要内

6、容：Newt on - Cotes求积公式复化求积公式2.3Romberg求积公式高斯型求积公式3几类数值积分方法的简单比较评述4利用MATLAB编程应用对几类求积算法的分析比较研究方法:本论文主雯通过对相矣文献和书籍的参考，合自己的见解，复化求积公式，Newton - Cotes求积公式,Romberg求积公式，高斯型求积公式逬行讨论并进行上机实验- 角度对这些方法进行分析比较完成期限和采取的主要措施：从代数精度，求积公式误差等本论文计划用6个月的时问完成，阶段的任务如下:7月份査阅相矢书籍和文献;8月份完成开题报告并交老师批阅9月份完成论文初槁并交老师批阅10月份完成论文二搞并交老师批阅主

7、要措施：考相矣书藉和文献，合自己的见解，老师的指导下和同学的帮助下完成11月份完成论文三搞;12月份定稿.主要参考文献及资料名称:1矢治陆金甫数学分析基础（第二版）IM北京：等教育出版社-20107胡祖炽林源渠.数值分析M北京：等教育出版社.4 986.3薛毅数学分析与实验M北京：业大学出版社2005.34徐士良数值分析与算法M北京：械工业出版社2007.1王开荣杨大地.应用数值分析M北京:等教育出版社2010.7杨一都数值计算方法M北京:等教育出版社.2008478910韩明王家宝李林数学实验（MATLAB版上海：济大学出版社2012J 圣宝建矢于数值积分若干问题的硏究J南京信息工程大学.2

8、009.05.01. : 42 刘绪军.几种求积公式计算精确度的比较.南京职业技术学院.2009.史万明吴裕树孙新数值分析ML北京理工大学出版社.2010 A指导教师意见:签名：开题报告会纪要时间2013年8月26日地点宁静楼229教师办公室与会人员姓名职务（职称）姓名职务（职称）姓名职务（职称）雍进军导师（讲师）邓喜才副教授李晟副教授龙林林组长会议记录摘要：指导小组针对课题 二次函数性质的应用提问了以下问题以及报告人的回答-雍老师问：选择此题冃的冃的？潘晓祥答：随着计算机和计算方法的飞速发展,几乎所有学科都走向定量化和精确化中的数值计算方法则是解决“计算"问题的桥梁和工具。邓老师冋

9、：对这个冋题进行研究有什么实际的意义,又有实用性和实验性的技术待潘晓祥答：计算方法既有数学类课程中理论上的抽佥性和严谨性征，计算方法是一门理论性和实践性都很强的学科在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法例如在航天航空、地质勘探、汽车制造、 的踪影。桥梁设计、天气预报和汉字字样设计中都有计算方法李老师冋：对这个冋题你有什么自己的看法？潘晓祥答：随着计算机技术的迅速发展和普及,现在计算方法课程几乎已成为所有理工科学生的必修课程我们知道，计算能力是计算工具和计算方法的效率的乘积,提高计算方法的效率与提高计算机硬件的效率冋样重要科学计算已用到科学技术和社会生活的各个领域中所以，研究数值计算方法可以

10、让数学的应用更大更广。会议主持人签名：记录人签名：负责人签名：负责人签名：贵州师范学院数学与计算机科学学院指导教师指导本科毕业论文情况登记表论文（设计）题冃几种常用数值积分方法的比较用学生姓名潘晓祥学号1006020540200年级2010 级所属学院数计学院专业数学与应用数学班级四班指导教师姓名雍进军职称讲师学历硕士指导时间指导地点指导内容导教师签名备注2013 年 06 月 100致远楼416论文选题-资料准备面授2013年06月22日网上确定毕业论文选题电子邮件2013年06月26日网上怎样撰写毕业论文开题报告电子邮件2013年06月28日网上指导学生撰写开题报告电子邮件2013年07月

11、14日网上帮助学生查找有矢参考文献电子邮件2013年07月仃日手机女M町构思自己的毕业论文手机飞信2013年08月21日手机听取学生毕业论文写作进展情况汇报手机飞信2013年08月28日网上解答学生在论文写作中遇到的疑惑电子邮件2013年9月09日网上帮助学生查找有矢参考文献电子邮件2013年们月28日网上女M可规划自己的论文电子邮件2013年12月04日手机怎样写好论文引言手机飞信2013年12月08日网上怎样写好论文引言电子邮件2013 年 12 月 120网上怎样写论文摘要电子邮件2013 年 12 月 160网上怎样选取论文矢键词电子邮件2013年12月20日网上怎样编辑论文中的公式电

12、子邮件2014年01月05日手机督促学生在寒假中写好论文的初稿电子邮件2014年02月27日宁辭楼2伯检查学生论文完成悄况面授2014年03月03日宁辭楼2伯对学生的论文初犒提出修改时意见面授2014年03月07日宁辭楼2伯解答学生在修改时的闲惑面授2014年03月11日宁辭楼2伯指导学生修改论文面授贵州师范学院数学与计算机科学学院本科毕业论文（设计）学号 1006020540200姓名论文（设计）题冃交叉评阅表学院（盖章）：潘晓祥专业几种常用数值积分方法的比较数学与应用数学班级四班评语：该冋学在论文撰写过程中对相矢文献阅读范围广泛，方法正确 >内容完整-能综合运用所学知识分析和解决实际

13、冋题-毕业论文撰与过程中态度端正勒奋刻苦。论文硏究了Newt on- Cotes求枳公式 ' 复化求积公式、 Romberg积分、高斯积分方法-通过算例分析，得出几种常用数值积分方 法是解决头际计算冋题的重要方法°论文结构合理' 符合逻辑文章层次分明*语言准确文字通顺达到规范性要求*建议作为学士论文答辩。（满分100分）指导教师（签名）：评语：该冋学具备较好的基础理论与专业知识 > 学习态度认真 > 阅读教师指定的参哮资料、文献较好的完成了任务书 规定的工作量。论文硏究了 Newton- Cotes求积公式、复化求积公式、 Romberg积分、咼斯积分方法

14、-通过算 例分析'得出几种常用数值积分方法是解决实际计算问题的重要方法。论文结构合理'符合逻辑文章层次分明*语言准确文字通顺达到本科毕业论文相矢要求。同意参加答辩。（满分100分）评阅教师（签名）：论文题目作者姓名所属学院贵州师范学院本科毕业论文答辩记录表几种常用的多项式插值方法潘晓祥学号1006020540200年级2010 级数计专业数学与应用数学班级本科（四）班雍进军讲师指导教肺姓名' 帜称答辩会纪要时间2014年5月11日地点致远楼406答辩小组成负姓名职务（职称）姓名职务（职称）姓名职务（职称）左羽教授崔忠伟副教授麼玉梅讲师答辩中提出的主要问题及冋答的简要情况

15、记录：1自己做的有哪些？答：第页至第12页，总结进行比较。2程序运行过没有？ 答：运行过。320页程序代码中，if后的是什么符号？ 答：连接作用的符号。4-解释一下什么时候用分号-什么时候不用？ 答：回答不清。5 摘要中央文拼与有错 答辩后修改答辩小组负责人签名：左羽记录人签名：梅林林2014年5月们日评语：该生能在规定时间叙述论文的主要内容-对提出的问题一般能回答-无原则错误。答辩小组经过充分讨论- 根据该生论文质S和答辩中的表现*冋意评定论文成绩为中等”。答、丄辩评定成绩：77负责人（签名）：左羽2014年5月11日1Abstract1 前言2数值积分方法的基本思想3 几类常用数值积分方法

16、的简单分析3.1 Newt on Cotes 求积公式3.2 复化求积公式3. 3 Romberg求积公式34高斯型求积公式4几类数值积分方法的简单比较评述5 利用MATLAB®程应用对几类求积算法的分析比较10结束语错误！未定义书签。致谢14附录16贵卅师范学院毕业论文（设计）我们在求函数的积分时'往往因为原函数非常复杂以至于难以求出或用初等函数表 示' 这让我们计算起来非常困难' 所以我们只能想办法求它的近 似值，因此直接借助牛顿 “菜布尼兹公式计算定积分的，睜况是非常少见的。这时候数值积分就是解决这种问题的一 种很好很有效的方法。本文从数值积分问题的产生

17、出发，详细介绍了一些数值积分的常用 方法（Newton Cotes求积公式，复化求积公式，Romberg求积公式高斯型求积公式）并对其进行了简要的分析，在探讨了这些数值积分算法的优缺点的理论之外，我们 还将这些数值积分算法在计算机上通过matbb软件编程实现应用，并分别用各自求积 公式进行运算'以此来分析比较各种求积公式的代数精度和计算误差。矢键词：数值积分；求积公式；代数精度贵卅师范学院毕业论文（设计）Abstractfunction is very complex that it is difficult to find the elementary functions, whic

18、h makes u We in the function for the integration, often because the original s very difficult to calculate, so we can only think of a way to find the approximate value, thus directly with Newt on - Leib niz formula calculati ng defi nite in tegral situation is very rare. When numerical integration i

19、s to solve this problem in a very effective method. From the numerical integration problem, introduces some methods of nu merical in tegrati on (Newt on - Cotes quadrature formula, composite quadrature formulas, Lon gbei lattice quadrature formula, Gauss type quadrature formulas) and has carried on

20、brief analysis, discusses the advantages and disadvantages of these numerical integration algorithm theory, we will these numerical integration algorithm in the computer by MATLAB software program ming applicati on, and separately with their res pective quadrature formula for com put in g, in order

21、to an alyze the algebraic calculati on precisi on and error comparis on of various quadrature formulas.Keywords: Numerical in tegrati on; Calculati on meth; nu merical an alysis#贵卅师范学院毕业论文(设计丄、八亠亠1冃I言微积分的发明是世界数学史上一项辉煌的成就。但在实际求积问题的时候'求解积分却有着非常多局限性。比如对于定积分Ff(x)dx衽求某函数的定3积分时，在一定条件下，虽然有牛顿莱布里茨公式1=叫X)

22、dx二F(b) 一 F(a)可弋a以计算定积分的值，但在很多情况下f(x)的原函数不易求出或非常复杂。被()=沁(，等；有的X积函数f(x)的原函数很难用初等函数表达出来 ' 例如函数f(x)的原函数F(x)存在，但其表达式太复杂，计算量太大，有的甚至无法 有解析表达式。因此能够借助牛顿莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数对这类函 数的定积分，也不能用不定积分方法求解，只能设法求其近似值。因此，探讨近似计算的 数值积分方法是有明显的实际意义的即有必要研究定积分的数值计算方法，以解决定积分 的近似计算。而数值积分就是解决

23、此类问题的一种有效的方法，它的特点是利用被积函数f M在一些节点上的信息求出定积分的近似值。在很多实际应用中，只能知道积分函数在某些特定点的取值比如天气测量中的气温'湿度'气压等，医学测量中的血压'浓度等等。通过研究，我们将会更熟练掌握一些 数值积分方法去计算一些特定条件的数值计算，以便 我们得到自己想要的结果。2数值积分方法的基本思想在数学分析中，计算连续函数f(x)在区间a,b上的积分是通过f(x)的原函数F(x),由下列定积分公式a f(x)dx 二 F(b)F (a)得到的。但由于大量被积函数的原函数不能用初等函数表示，因此，很难用求原函数的公式彳(x)dx =

24、 F(b)-F(a)得到积分；有些被积函数f(x)不是明显知道的，例如由数值表给出它的离散值，或者是它被定义为某个微分方程的解，而这个微分方程是不能显示解出的。这说明，按f(x)dx = F(b) - F(a)公式计算定积分是有很大局限性的。因而常常采用在电子计算机上很有效的数值积分方法°我们从定积分的定义b n.(,f (x)dx :(b -a)' C(n.k) f(Xk)k=0出发。推导出两个简单的数值积分公式。f(x)dx =沖(kE)AXk式的几何意义，kn就是把整块曲线梯形的面积积分成若干个小曲边梯形面积的和，当无限细分时这个和取极 限就是真正曲边梯形面积。去掉取极

25、限这一步，用有限个小曲边梯形面积的和，代替整块 的曲边梯形面积'从而求得一个近似值，这就是数值积分的基本思想。根据小区间的不同分割方法和各分点f( Z )值的不同选择'就得到不同的数值积分公式。求和数值求积公式是取lab 1上若干个点Xk处的高度f(XK)，通过加权&后，再、Akf(Xk)k=0从而得到积分的近似值。数值求积公式写成一般形式f(x)dx 八 AJ(Xk)k=0式中Xk称求积节点，Ak称求积系数，也称伴随节点Xk的权。当积分区间a,bl确 定后 ' 求积系数人仅仅与节点Xk的选取有矢，而不依赖被积函数f(x)的具体贵卅师范学院毕业论文(设计Rjf

26、f (x)dxA f (Xk)k=0#贵州师范学院毕业论文（设计）把R If 1称为求积公式的截断误差或余项。数值求积方法的特点是直接利用积分区间lab 1上一些离散节点的函数值 进行线性组合来近似计算定积分的值 ' 从而将定积分的计算归结为函数值的 计算，这就避开了牛顿 菜布尼兹公式需要寻求原函数的困难，并为计算机求积分提供了可行性。3几类常用数值积分方法的简单分析3.1 Newton- Cotes求积公式常用的梯形公式和Simpsor公式是低阶的牛顿柯特斯公式，牛顿柯特斯 公式是积分区间上等距节点的插值求积公式。插值求积公式在积分区间上， 所取节点是等距时称为牛顿柯特斯公式 

27、9; 即f (x)dx : (b-a)- C(n,k)f(Xk)k=0其中c(n,k)为Cotes求积公式的系数，是n和k的函数。当时，为梯形公式：:f(x)dx © 9f(a)2f(b)7梯形公式的代数精度为1，有两个积分节点。当n=2时 ' 为Simpson公式:b(b -a)/(b)af(x)cJx f(a) 4f(6Simpson公式的代数精度为3，有三个积分节点由于只增加一个节点，其代数精度增加2，由此可知，Simpson公式比梯形公式代当n=4时' NewtonCotes求积公式为Cotes公式：:f(x)dx 烤7f(a) 32f (专)12f(宁)32

28、(宁)7f(b)Newton-Cotes公式的代数精度为5,有5个积分节点。所以对于Newt omCotes积分公式，n为偶数时的代数精度要比n为奇数时的积分公式效果比较优越。但并不是n的值越大越好，当n过大时（n=8），求积公式的数值稳定性不好。3.2复化求积公式由于NewtomCotes的节点n越大对应的精度就越高，但是n=8时公式的数值 是 不稳定的'因此就不能用增加求积节点的方法来提高精度，因此，我们常常将求积区间a,b分成若干小区间，然后在每个小区间上采用数值稳定的Cotes公式求小区间上的积分'然后把每个小区间上的结果加起来作为原定积 分的近视值，这种方法构造的求积

29、公 式就叫做复化求积公式。常用的复化求积公式有: 复化梯形公式：n变步长梯形公式为：T2計 f（xo）：r）二猪Mn 二宁"f(X2ii)2n j#复化Simpson公式:b - a人盲“心)ygb_aS2n 八 Ik6n变步长复化Simpson公式:"心f(X。)fgn) 4、f(X2 一 2' f(X2k)kdkT3.3 Romberg求积公式Romberg积分方法也叫做逐次分半加速法，它是在复化梯形公式误差估计的基础上'应用线性外推的方法构造出的一种加速算法。将积分区间分成n等分和2n等分时，求得积分近似值Tn和Tm，并没有误差估计式1I 'T

30、an. 3 （Tzn-Tn）3积分近似值Tzn的误差大致等于3仃2人），当用-）对丁?.进行修正时,33-<T2n-Tn）与n之和比T?n更接近于真值I，故Pn）是对Tth误差的一种补偿, 33因此可以期望下式是一个更好的结果，即T - T2n' (J -)二今 n2- ； Tn3 33F面说明T即是分成n等分时Simpson公式的值&。将复化梯形公式nVf(a) 2 ' f(xO f(b)梯形变步长求积公式T2ndin4f(X!2 2心n4n4代入上式T表达式得-hT= ; Jf(a)+4 送 f(x .)+2 送 f(xj+f(b)6 -心 迁心这就是说 &#

31、39; 用梯形法二分前后两个梯形值Tn和丁加作线性外推，结果得到Simpson法的积分值&。将误差由o（»）变为o（hj，从而提高了逼近精度。再考察Simpson法。其截断误差与成正比，因此，若将步长折半，则误差减至】，即有 16:16 S2 j1515不难验证 ' 上式右端的值其实等于Cn，就是说，用Simpson法二分前后的两个积分值& 与S2n,按上式再作线性外推，结果得到柯特斯法的积分值即有16 1Cn S2n Sn1515这时将误差由0（椚变为o（h。），逼近精度又一次得以提高。同样的方法'依据柯特斯法的误差公式，可进一步导出下列龙贝格公式6

32、41% C2nCn6363Rn逼近积分值的误差为0（"，这样Romberg公式将误差由o（h。）变为o（h），逼近精度再次得以提高。Romberg公式有7次代数精度，这表明该公式不是牛 顿柯特斯公 式。在步长二分的过程中运用SnG、Rn表达式加工三次，就能将粗糙的积 分值九逐步 加工成精度较高的Romberg值Rn，或者说，将收敛缓慢的梯形值序列九加工成收敛迅 速的Romberg值序列Rn，这种加速方法称Romberg算法。3.4高斯型求积公式前面介绍的n1个节点的Newton -Cotes求积公式，其特征是节点是等距 的。这 种特点使得求积公式便于构造'复化求积公式易于形成

33、。但同时也限 制了公式的精度。n 是偶数时 ' 代数精度为' n是奇数时，代数精度为n ；我们知道n个节点的插值型求n 0能不能在区间积公式的代数精确度不低于a,b 1上适当选择个节点Xo,Xi,X2 X.使插值求积公式的代数精度高于n呢?答案是肯定的'适当选择节点'可使公式的精度最高达到不失一般性，将求积公式Ja所学的高斯型求积公式°f（x）dx八Akf（Xk）的求积区间La,b转换成TJk=0贵州师范学院毕业论文（设计）对任意求积区间ab 1作变换D-a, 322Xtt可以变换到区间1-1,1上，这时af(X) dX=乜"b-aT&quo

34、t;ba丄 ab' *b'a丄 ab*P(附'J (t) dt 二 2I 22b V(t) dt其中仕）二f （ b合tbt） o22高斯勒让德求积公式在这里简称高斯公式，它是在区间1-1,1上进行讨论 的。4几类数值积分方法的简单比较评述所以不同类由于我们在计算实际问题是往往要考虑到代数精度和计算最， 型的求积公式有着不同的特点：Simpson积分方法和梯形积分方法虽然计算简便，但是精度比较差，不理想。但对于光滑性较差的被积函数有时会比高精度的积分方法更为有效。特别是梯形积分方法对被 积函数是周期函数的求积效果更为突出。Newt on- Cotes公式是不稳定的 &#

35、39; 然而复化梯形公式和复化Simpson公式不仅 保留 了低阶公式的优点还能够获得比较较高的精度，所以在实际计算中应用 得最为广泛。Romberg积分方法的算法简单.方便编程的实现。收敛速度快-计算精 度较高，但 是计算;较大。Gauss积分方法的精度较高，数值稳定收敛速度较快，但因为其节点不规则'计算比较麻烦5利用MATLAB编程应用对几类求积算法的分析比较在简单的认识积分方法比且理论比较之后，则要进行数学实验进行验证，因此就要通过matlab软件对各种积分方法逬行编程并运算，然后对其各种方法的运算结果进行分析比较'掌握和理解各方法的优缺点。规定各个程序都以I = 0皿d

36、x为例子进行运算。原积分的精确值为isin XoX dx"9°®M"70367483例 分别用不同的方法计算积分I二，沁dx，并作比较。用以上介绍的几类积分方法分别计算积分，得出误差，并进行比较:1 ' 用 Newt on-Cotes 公式当时，即用梯形公式，用程序一（程序见附录）11在MATLAB命令窗口中输入>>NCotes （0,1,1,2）得92703549240395 Ir =0.01904757796323当n=2时，即用Simpson公式，用程序一（程序见附录）在MATLAB命令窗口中输入>>NCotes （

37、0,1,2,2）得I 肝 0.94614588227359 Ir =0.000062811906407当n=4时，即用科特斯公式，用程序一（程序见附录）在MATLAB命令窗口中输入>>NCotes （0,1,4,2）得I -0.94608300406367R =0.0000000663035132-用复化梯形公式令 h=1/8=0.125,ffl程序二（程序见附录）在MATLAB命令窗口中输入 » trapri Cf,0,1.8），得J ；叱0%(f (0) +2 f (h) +. .+ f(7h)+ f(l) =0.9456908635270 x2R =0.000392

38、2068401823 '用复化Simpson公式令h=1/8=0J25,用程序三（程序见附录）怡nXdx： hf(0)4f(h) °x3=0.94608308538495R =0.000000015017767在MATLAB命令窗口中输人>> simpr1（t0,8）,得f(7h)b： ； , 2f(2h)f(6h)IHf(1£4 '用Romberg公式用程序四（程序见附录）在MATLAB命令窗口中输人» romber(T,0,1,5,0.5*(10 八(8)，得(沁 dx 4.94608307036718X1R = 0.0000000

39、000000025 -用高斯勒让德求积公式令 x=(t+1)/2，| =t+1（1）用2个节点的Gauss公式10.94604115827633（2）用3个节点的Gauss公式，用程序五（程序见附录）在 MATLAB 命令窗口中输人 » GuassLegendre (0,1,2,2)得1-0.946083134078473|R =0.000000063711290算法比较:1.原积分的精确值为：1 sin X/ = dx =0.946083070367183 oX2.由例题的各种求积算法可知：（1）对Newton-cotes公式，当nh时只有1位有效数字，当n=2时有3位有效数贵州师

40、范学院毕业论文(设计)字，当n=4时有7位有效数字。(4) 用复化梯形公式有2位有效数字 ' 对复化Simpson公式有7位有效数字。(5) 用复化梯形公式 ' 对积分区间0,1二分"次用了 2049个函数值，才可以得7位有效数字°(6) 用Romberg公式对区间0们二分3次用了 9个函数值，就可以得到7位有效数字；二分4次用了 14个函数值，却可以得到14位有效数字。(7) 用高斯勒让德求积公式仅仅用了 3个函数值，就能得到比较精确的6位有效数字。#贵州师范学院毕业论文（设计）结束语本文主要研究了常用的几类数值积分的求积算法并通过例题计算积分进行分析比

41、较。Newt on-Cotes积分方法是一种非常普遍的积分方法，然而梯形积分方法的误差最大，近似效果最差，Simpson积分方法的精度比梯形积分方法高了一个数量级；Cotes 积分方法精度比Simpson积分方法高两个数量级。则Cotes代数精度比较高。由此可知 一般情况下，积分公式代数精度越高，计算精度也越高。但是高阶的Cotes积分方法收Simpson 积分敛性没有保证，因此实际应用中很少用。复化梯形积分方法比梯形积分方法精度高，同样的'复化 方法比Simpson积分方法精度高，高了差不多7个数最级，所以复化积分方法比较优 越。Romberg积分方法收敛速度快-计算精度较高，但是计

42、算量较大。Gauss积分方法精度高 > 数值稳定收敛速度较快，但是计算麻烦。经研究可以知道Newt omCotes方法的代数精度越高，数值积分的效果越 好 ' 越精 确。当积分区间比较大的时候，积分数值不稳定 ' 这个时候可以利用复化积分方法效果会 更好；Romberg积分方法可以利用变步长复化积分公式得到更为精确的数值结果，是比 较好的积分方法。高斯求积方法精确度高，收敛性快，比其他积分方法优越。具有很广泛13的运用。参考文献1（第二版）32005.3薛毅.数学分析与实验M北京:业大学出版社4徐士良数值分析与算法M 北京:械工业出版社2007.15王开荣.杨大地.应用数

43、值分析M北京:等教育出版社2010.76杨一都数值计算方法M.北京:等教育出版社.2008.4韩明王家宝李林数学实验（MATLAB）版M.上海:济大学出版社2012.18圣宝建.矣于数值积分若干问题的研究J 南京信息工程大学.2009.05.01. :429刘绪军.几种求积公式计算精确度的比较J.南京职业技术学院.2009.10史万明.吴裕树.孙新.数值分析M.北京理工大学出版tt.2010.4.矢治陆金甫数学分析基础M.北京：等教育出版社.2010.7胡祖炽林源渠数值分析M北京:等教育出版社.1986.3贵卅师范学院毕业论文（设计行文至此，我的这篇论文已接近尾声：岁月如梭，我四年的大学时光也

44、 即将敲 响结束的钟声。离别在即，站在人生的又一个转折点上，心中难免思绪万千' 一种感 恩之情油然而生。首先感谢贵州师范学院四年来对我的培养，是博学的老师们教会了我学习的方 法、锻炼了我思考的能力指明了我未来奋斗的方向，从而使我进一步明确了人生的 目标。其次，我要感谢我的指导老师一雍进军老师，他的严谨细致' 一丝不苟的作风一直是 我工作、学习中的榜样；他的循循善诱的教导和不拘一格的思 路给予我无尽的启迪。在撰 写整个毕业论文的过程当中 ' 他为我们考虑到了每一个细节，从开题报告到毕业论文的拟 定修改上，雍老师更是不厌其烦的 为我们做好每一步的细心指导。对此，我表示衷心地

45、感 谢。没有雍老师' 我的论文也不可能这么顺利的完成。同时，我也要感谢每一位给过我帮助 的老师和同学，在我撰写论文的过程当中同样给了我大量有益的建议，在此一并向他们表 示真诚的感谢一感谢他们对我的支持和帮助。最后感谢这篇论文所 涉及到的各位学者' 本 文引用了数位学者的研究文献' 如果没有各位学者的 研究成果带给我的的帮助和启发，我 将很难完成本篇论文的写作。由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学 友批评指 正。最后，衷心感谢评阅论文及参加答辩的各位老师！15贵州师范学院毕业论文(设计)1 NewtonCotes求积公式的MATLAB实现先用M文

46、件定义一个名为fl.m的函数:% i是要调用第几个被积函数g(i)，X是自变最 g(1)=sqrt(x);if x=0g(2)=1： else g(2)=si n(x)/x;end g(3)=4/(1+x2);匸 g(i);程序一：fun cti on C,g=NCotes(a,b, n,m)%a， b分别为积分的上下限；%n是子区间的个数;% m是调用上面第几个被积函数；%当n=1时计算梯形公式；当n=2时计算辛浦生公式，以此类推;i=n：h=(b-a)/i;贵卅师范学院毕业论文（设计19z=0;forj=0:ixG+1)=a+j*h; s=1;ifj=Os=s;elsefor k=1:js

47、=s*k;endendif i-j=0r=r：elser=r*k;endendif mod(i-j),2)=1elseq=i*s*r;end贵州师范学院毕业论文(设计)y=i： for k=0:iif k =jy=y*(sym(T)-k);end end l=int(y,0J);CG+1)=l/q；2=z+CG+1)*f1(m,xG+1): endg=(b-a)*21.11) 当输入, n=1=2时，即在MATLAB命令窗口输入 » NCotes(0,1,1,2)即可得用梯形公式的积分值和相应科特斯系数如图2) 当输入a=0,b=1 / n =2,m=2时即在MATLAB命令窗口输入

48、 » NCotes(0,1,2,2)即可得用辛浦生公式的积分值和相应科特斯系数如图1.23) 当输入a=0,b=1 / n =4,m=2时即在MATLAB命令窗口输入 » NCotes(0,1,4,2)即可得用科特斯公式的积分值和相应科特斯系数如图1.3#贵州师范学院毕业论文（设计）23图"图1.2图1.32复化梯形求积公式的MATLAB实现通过f（X）的n 1个等步长节点逼近积分：/ (幼办怎 £(/()+/(*) )+方 £ yl匕)其中,xP kh,Xo=a程序二:fun cti on s=trapM (f,a,b, n)% f是被积函数

49、;%a,b分别为积分的上下限;% n是子区间的个数；%S是梯形总面积；h=(b-a)/n;s=0;for k=1:( n-1)x=a+h*k;s=s+feval(I,x);endformat longs=h*(feval(T,a)+feval(T,b)/2+h*s;先用M文件定义一个名为f.m的函数:fun cti on y=f(x)if x=0y=1：elsey=s in( x)/x;end若取子区间的个数 在MATLAB命令窗口中输入»trapr1(t0,1.8)回车得到如图2.1贵卅师范学院毕业论文（设计）图2.13复化Simpson求积公式的MATLAB实现程序三：fun c

50、ti on s=simpr1(f,a,b ,n)% f是被积函数;% a,b分别为积分的上下限；%n是子区间的个数；%s是梯形总面积，即所求积分数值；h=(b-a)/(2* n);s仁0;s2=0;for k=1: nx=a+h*(2*k-1);si 二 s1+feval(T,x);end25贵州岀碑堂聲f禅耳丫设计）s=0;27endx=a+h*2*k;s2=s2+feval(T,x);s 二 hWal.a)+feval(T,b)+4*s1+2*s2)/3：先用M文件定义一个名为f.m的函数:fun cti on y=f(x)if x=0y=1：elsey=s in( x)/x;end若取子