一元二次方程的四种解法

1、一元二次方程的四种解法亠元二次方程的解法（1） 一元二次方程的概念11 / 14考点、热点回顾1、元二次方程必须同时满足的三个条件(1)2、元二次方程的一般形式：二、典型例题xC y y + 6= 0< 1x21 x2 2x 3y 0 x23 (xax2bxc0mx20 （m是不为零常数）例2:一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)x210x9000(2)5x2 10x 2.2 0(3)2 x2150(4)x2 3x 0(x2)23(x 3)(x 3)0例3:当m时，关于x的方程（m+3 x|m|+3mx+1=0是一例1:判断下列方程是否为一元二次方程:1)(x 4)元二次

2、方程。的一元二次方程是()1 1B.p 20x yD.x2 2x x2 11、下列方程中，关于2A3(x 1)2(x 1)三、课堂练习2C.ax bx c 02、用换元法解方程(x2+x)2+ (x2 + x) = 6时，如果设X2+ x= y,那么原方程可变 形为()2B、y y 6= 02D 、y + y + 6= 02A、y + y 6=03、已知两数的积是12,这两数的平方和是25,以这两数为根的一元二次方程是 4、已知关于X的一元二次方程X2 (k 1)x 6 0的一个根是2,求k的值.四、课后练习1.将方程3x(x 1)5( X 2)化成一元二次方程的一般形式，得其中二次项系数是；

3、一次项系数是;常数项是2.方程(k 4)X2 5x 2k 30是一元二次方程，则k就满足的条件是.3.已知m是方程x2-x-2=0的一个根，则代数式 m-m=4. 在一幅长80cm宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形设金色纸边的宽为xcm，则x满足挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm,的方程是(2(A) X 130x14000(B)X265 X3500(0 X2130X14000(D)X265X35005.关于x的方程(m 3)x"nx m 0，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程?(2)-直接开方法一、考点、热点回顾直接1、了解形如x2=

4、a(a > 0)或(X + h) 2= k(k > 0)的一元二次方程的解法 开平方法小结：如果一个一元二次方程具有(X m)2 n( n 0)的形式，那么就可以 用直接开平方法求解。(用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的 左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯)【复习回顾】1.方程（k 4） x2 5x 2k 30是一元二次方程，则k就满足的条件2. 若（a+1） x2+（x-1） 2=0二次项的系数为-2,则a=二、典型例题例1:解下列方程:(1) x2= 2(2)4x2 1 = 0例2、解下列方程:（X1)2 22(X 1)402 12(3 x)

5、 30推荐例3:1(1) 1 3x 14用直接开平方法解下列方程2 215 0(2) x 32 2 24 2x 1(3) x2 2ax a2 b 0三、课堂练习1. 若方程（x-4 ） 2=m-6可用直接开平方法解，则m的取值范围是（）A.6 B . o C .6 D . m=62. 方程（1-x ） 2=2的根是（）A.-1、3 B.1、-3 C.1- 迈、1 + J2 D. J2-1、血+13. 方程(3x 1)2= 5的解是4. 用直接开平方法解下列方程:2(1)4x =9;2(X+2) =16(3)(2x-1) 2=3；(4)3(2x+1)2=12四、课后练习1、4的平方根是，方程x2

6、4的解是2、2方程x 11的根是,方程24 x 11的根是3、.时，代数式x2 5的值是2;若x2 7810,则x =4、关于x的方程3x20若能用直接开平方法来解，则k的取值范围是C 、k< 1、k> 15、解下列方程:(1)5x(5)128 00.5y2 2 0(6)24x2&已知一个等腰三角形的两边是方程4 (x0的两根，求等腰三角形的面积(3)-配方法一、考点、热点回顾1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为(x + h)= k (nA 0)形式的过程, 进一步理解配方法的意义;2、填空：2; (2)x 2-2x+=(x-)2; (4)x 2+x+=(x+ ) 22

7、(1) x X2 4x 30 +6x+=(x+ )(3)x 2-5x+=(x-)2(5)x +p x+=(x+ )3、将方程x2+2x-3=0化为(x+h)2=k的形式为 小结1:用配方法解一元二次方程的一般步骤: 1、把常数项移到方程右边;2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方;3、利用直接开平方法解之。小结2:当一元二次方程二次项系数不为 1时，用配方法解方程的步骤:二次项系数化为1;移项；直接开平方法求解.二、典型例题例1 ：将下列各进行配方:Q2 X + 10x+= (X +) X2 6x += (X) x2+bx +=( X +) X(1) X 110 X

8、190 5x +=(X ) 24例2 :解下列方程：(2) X2 3x 10推荐例3:用配方法解下列关于X的方程:(2) X2 6ax 9a2 4b2 0例4:例1解方程：2x2 5x 2 3x2 4x 1 O例5、一个小球垂直向上抛的过程中,它离上抛点的距离h( m与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系：h 24t5t2。经过多少秒后，小球离上抛点的高度是 16m？推荐例6:求证：对任意实数X,代数式x24x 4.5的值恒大于零。三、课堂练习1. 完成下列配方过程:(1)2x +8x+=(x+)(4)2x -x+=(x-)2x +4=(x+)_=( x-)4-)2，贝U m的值为()575

9、2.若 x2-mx+49=(x+25A. 753.用配方法解下列方程:B.-C.145D.-145(1)x 2-6x-16=0 ；(2)xx 2+3 x-4=0 ；(4)x4.已知直角三角形的三边2+3x-2=0 ；222 c-X- =O.33且两直角边a、b满足等式c的值。(a2+b2)2-2(a2+b2)-15=0，求斜边一元二次方程的四种解法5. 用配方法解方程2y2-75y=1时，方程的两边都应加上()15 / 14A. ¥ B. 4 C.D.5166. a2+b2+2a-4b+5=(a+ _2+(b- 7.用配方法解下列方程:2cc-y-2=0 ；23y(1) 2x +1=

10、3x;(3)3x 2-4x+1=0 ；2x2=3-7x.8.若4x2-(4m-1)x+m2+1是一个完全平方式,m.四、课后练习1、用配方法解下列方程:2(1) x 6x 16 O3x(3)x27 6x1-X42、把方程x2 3x p O配方，得到x(1)求常数P与m的值；(2)求此方程的解。3、用配方法解方程x2px0( P2 4q 0)2 3x212x 4 X 2 12X 1= 02x27x0,(5)3x 2+ 2x 3= 02x24x2、你能用配方法求：当X为何值时，代数式3x26x5有最大值?4、用配方法解下列方程:(1) x21510x(4)-公式法、考点、热点回顾1、把方程 4-x

11、2=3x化为 ax2+bx+c=0(a工0)形式为 b2-4ac=.2、方程x2+x-1=0的根是,所以方程的根的情况3、方程3x2+2=4x的判别式 b2-4ac=是.4、元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是()A.有两个不等的实数根B. 有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定来判断:总结：一元二次方程ax2+bx+c=0（a工0）的根的情况可由当 b2-4ac > 0 时，当 b2-4ac=0 时，当 b2-4ac < 0 时，二、典型例题例1：解下列方程:(1)x23x 20;(2)2x2 7x 4变式:1、解方程：（1）2x（x 1）3;(2)x21 x( 2J5

12、x).例2：解下列方程:(1)x2x 10;(2)x2273x 30；2(3)2x2 2x 10.例3:不解方程，判别下列方程根的情况(1) 2x2+3x+4=0;2(2) 2x-5=6x ;(3) 4x(x-1)-3=0 ；(4) x2+5=275x.一元二次方程的四种解法题变：1、试说明关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=o必定有两个不相等的实数根.推荐例4：当k为何值时，关于x的方程kx2( 2k + 1) x + k+ 3 = O有两个不 相等的实数根?题变：1、已知一元二次方程(m-2) 2x2+(2m+1)x+1=O有两个不相等的实数根，求 的取值范围.三、随堂练习1. 把方

13、程(2x-1)(x+3)=x 2+1 化为 ax2 + bx + c = O 的形式，b2-4ac=方程的根是.2. 方程(x-1)(x-3)=2 的根是()A. x1=1,X2=3B.x=2 2J3 C.x=273D.x=-22433. 关于x的一元二次方程x2+4x-m=O的一个根是J5-2，则m ，方程的另 一个根是4. 若最简二次根式Jm2 7和J8m 2是同类二次根式，则的值为()A.9 或-1B.-1C.1D.95. 用公式法解下列方程:(1)x2-2x-8=O ；(2) x2+2x-4=0 ；(3) 2x2-3x-2=0 ；(4) 3x(3x-2)+1=0.6. 方程（2x+1）

14、（9x+8）=1的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定2219 / 147. 关于x的方程x2+27kx+1=0有两个不相等的实数根，则k（）A.k >-1 B.k >-1 C.k > 1 D.k > 08. 要使关于x的方程kx2-4x+3=0有实数根，则k应满足的条件是（）A. k< 4/3B.k >4/3 C.k < 4/3 D.k >4/3那么符合条件的一组m n的值可9. 已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根, 以是m= ,n=10. 不解方程，判断下列方程根的情况:(1) 3x2

15、 x + 1 = 3x(2) 5 (x2 + 1)=7x11. 解下列方程:2(1)x 6x 0;2(2)x12x272(3)2y y 50;X26x16四、课后练习1. 用公式法解方程V2x2+4V3x=272,其中求的b2-4ac的值是（）A.16 B.4 C.732D.64,方程的根2. 用公式法解方程x2=-8x-15 ,其中b2-4ac=是.。3. 用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正确的是（）A.X1.2=12B. x1.2 一12 心44 12C. X1.2=12时PD. x1.2 = 12 44 484. 三角形两边长分别是3和5,第三边的长是方程3x2-10x-8

16、=0的根，贝U此三角形是三角形.25. 如果分式-口 的值为零，那么x=x 16.用公式法解下列方程:(1) 3y 2-y-2 = 0 2 x2+1 =3x(3)4x 2-3x-1=x-2 3x(x-3)= 2(x-1)(x+1)7. 下列方程中，没有实数根的方程式()2 2A.x =9B.4x=3(4x-1)2C.x(x+1)=1D.2y+6y+7=08. 方程ax2+bx+c=0(a工0)有实数根，那么总成立的式子是()2 2A.b -4ac >OB. b-4ac < 0B.4xB. b2C. b -4ac < OD. b2-4ac > O9.如果方程9x2-(k+

17、6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k=(4)-因式分解法一、考点、热点回顾应用回顾：下列哪些方法能用因式分解法解(1)x2 2x O(x-3)2 (x 3) O(3) x 1 2(x 1)2 112(4) x9 O一元二次方程的四种解法小结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤:1 .将方程的右边化为02 .将方程左边因式分解.3 .把原来的一元二次方程转化为两个一元一次方程.4 .分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根二、典型例题例1:用因式分解法解方程：23 / 14(1) x24x (2) x3 x(x 3)0例2:解方程(2x 1)2x20三、随堂练习1.如果方程x2-3

18、x+c=0有一个根为1,那么c=_，该方程的另一根为=0该方程可化为(x-1 ) (x)2. 方程x2=x的根为()A.x=0 B. x1=0,X2=1C. x 1=0,X2二1D. x 1=0,x 2=23. 用因式分解法解下列方程:(1) (X+2) 2=3x+6;(3) 5 (2x-1 ) =(1-2x)(x+3);(2) ( 3x+2) 2-4x2=0;(4) 2 (x-3 ) 2+(3x-x 2)=O.4. 用适当方法解下列方程:2(1) (3x-1 ) =1;2 2(2) 2 (x+1) =x-1 ;(3) (2x-1) 2+2(2x-1)=3 ;(4) (y+3) (1-3y ) =1+2y2.四、课后训练1下面哪个方程用因式分解法解比较简便(1) x(3) 3x -4x-1=0 2x 50 (2)(2x 1)210.2. 已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（）B.只有一个根x=0A.只有一个根x=-3D.有两个根X1=0,X2=-44C.有两个根X1=0,X2=-43.如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（）A.x=1