一线三角模型及例题

1、1. 相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截成的三角形与原三角形相似。2. 相似三角形的判定定理：(1) 两角对应相等两三角形相似。(2)两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。(3)三边对应成比例，两个三角形相似。3. 直角三角形相似的判定定理：(1) 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2) 一直角三角形的斜边和一条直角边与另一直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这 两三角形相似。相似三角形的性质： 要点1 :相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例 要点2:相似三角形的性质定理:相似三角形的性质定理

2、1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形的性质定理2:相似三角形的周长的比等于相似比相似三角形的性质定理3:相似三角形的面积的比等于相似比的平方要点3:知识架构图1、如图，锐角？ABC的高CD和BE相交于点0,图中相似三角形有多少对？请分别写岀2、如图，在锐角?ABC中，/ ADEN ACB图中相似三角形有多少对？请分别写岀 3、如图已知/ BAC=Z BDC=90， S ebc 16, S ade 8.问：/ BEC的大小确定吗？若确定，求期度 数；若不确定，请说明理由A4、如图，在 ABC中,BAC 90°, AD是BC边上的高，点E在线段D

3、C 上, EF AB,EG AC，垂足分别为F, G .求证:(1)EGADCGCD ；FD丄DG .5、如图，四边形ABCD中,AC 与 BD 交于点 E, AC丄AB,BD丄CD. Sebc=16, S?aed=8.AD求 的值；BC（2）问：/ BEC是不是定角？如果是，把它求岀来；如果不是，请说明理由5、如图，在 ABC中，角ACB为直角，CDLAB于点。，又厶ACE与厶BCF都是等边三角形，连结 DEDF；求证:DE丄DF中考热点：一线三等角型的相似三角形一、问题引入如图， ABC中， B 90 , CD AC，过D作DE AB交BC延长线与E。求证：ABC : CED三等角型相似三

4、角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与 等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上角的两边分别与等腰三角形的两 边相交如图所示：其他常见的一线三等角图形（等腰三角形中底边上一线三等角）（等腰梯形中底边上一线三等角）（直角坐标系中一线三等角）（矩形中一线三等角）等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会（1）等腰三角形中一线三等角例1、 如图，已知在厶 ABC中， AB=AC=6 , BC=5 , D是AB上一点，BD=2, E是BC上一动点，联 结DE，

5、并作 DEF B，射线EF交线段AC于F.(1) 求证： DBE ECF ;( 2)当F是线段AC中点时，求线段 BE的长；(3) 联结DF，如果 DEF与厶DBE相似，求 FC的长.讲解：1、本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三角形相似；2、第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少是，三角线相似。变式练习1就是这类题型；3、第三问中间的三角形与左右两个形似时有两种情况，一种是 DF与底边平行，一种 是E为中点；4、在等腰三角形，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适用。变式练习1 (浦东新区2

6、2题)如图，已知等边厶ABC的边长为8,点D、F、E分别在边AB、BC、AC 上, BD 3，E为AC中点，当 BPD与厶PCE相似时，求BP的值.变式练习2 (宝山22题)如图6，已知 ABC中，AB AC，点E、F在边BC上，满足/ EAF = / C.求证：BF CE AB2 ；变式练习3如图，在三角形 ABC中，AB=4，AC=2，/ A =900，点D为腰AC中点，点 E在底边 BC上，且 DE丄 BD，求 CED的面积。变式练习4PQ AD已知/ ABC=90 °，AD II BC，P为线段BD上的动点，点 Q在射线 AB上，且满足，当PC ABAD p AB，且点Q在线

7、段AB的延长线上时，求QPC的大小.(2) 等腰梯形中一线三等角例 1、(长宁区 18 题)如图，等腰梯形 ABCD 中，AD II BC , AD 、2 , BC 42，/ B 45?, 直角三角板含45度角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点 A，斜边与CD交于点F .若厶 ABE为等腰三角形，则 CF的长等于例 2、如图，梯形 ABCD 中，ABI DC，/ B=90 °，E 为 BC 上一点，且 ABEECD。(1) 若 BC=8，AB=3，DC=4，求 BE 的长(2)若 BC= 4. 3 ，AB=3，DC=4，求 BE 的长.(3) 若 BC=6，AB=3，DC =

8、4，求 BE 的长.例3、如图，梯形 ABCD中，AB II CD，/ ABC=900，AB=8，CD=6，在 AB上取动点 P,连结 DP，作 PQ丄DP，使得PQ交射线BC与点E,设AP=x，BE=y。(1) 当BC=4时，试求y关于x的函数关系式；(2) 当BC在什么范围时，存在点P,使得PQ经过点C (直接写岀结果)。例4、(徐汇区25).如图，在梯形 ABCD中，AD II BC，AB CD BC 6，AD 3 点M为边BC的中点，以 M为顶点作 EMF B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点 F，联结EF .(1) 求证： MEF BEM ； ( 2)若厶BEM是以BM为

9、腰的等腰三角形，求 EF的长；(3) 若EF CD，求BE的长.例4、(杨浦区基础考) 四边形ABCD中，AD II BC， ABC 0°90°，AB DC 3，BC 5 .点P为射线BC上动点(不与点 B、C重合)，点E在直线DC上，且 APE .记PAB 1， EPC 2，BP x，CE y.(1) 当点P在线段BC上时，写岀并证明1与 2的数量关系；(2) 随着点P的运动，(1)中得到的关于 1与 2的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明； 若认为会改变，请求岀不同于(1)的数量关系，并指岀相应的x的取值范围；1 一(3) 若cos =，试用x的代数式表示 y .

10、3(3) 坐标系中一线三等角4例1、(金山区24)如图，住平面直角系中，直线AB : y x 4 a 0分别交x轴、y轴于B、aA两点，直线AE分别交x轴、y轴于E、A两点，D是x轴上的一点，OA OD，过D作CD x轴交AE于C，连接B C，当动点B在线段OD上运动(不与点 O点D重合)且 AB BC时(1)求证：ABO s BCD ；(2)求线段CD的长(用a的代数式表示)；(3)若直线AE的方程是y新b，求tan BAC的值.例2、如图，在直角坐标系中，直线1y 2x 2小轴，轴分别交于A，B两点，以ab为边在第二象限内作矩形ABCD，使AD 、.5 ，求点D的坐标.变式练习1AOB 9

11、00, A 600,点A的坐标为在平面直角坐标系XOY中，AOB的位置如图所示，已知3,1(1) 求点B的坐标；(2) 若抛物线y ax2 bx c经过A、O B三点，求函数解析式。变式练习2如图所示：2RT AOB中/ AOB=90 °，OA=4，OB=2，点B在反比例函数 y图像上，求过点 A的双x曲线解析式。变式练习3如图，在平面直角坐标系中，0B丄OA，且OB = 2OA，点A的坐标是(一1，2) 求过点 A、0、B的抛 物线的表达式;(4) 矩形中一线三等角如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的

12、点D处已知折叠线 CE且CE 5'、5， tan EDA 空，求直线ce4与X轴交点的坐标；例6、(长宁区24题)如图，在矩形 ABCD中，AB 4，AD 6，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角中的一边始终经过点C，另一直角边交射线 BA于点E .(1) 判断 EAP与厶PDC 一定相似吗？请证明你的结论；(2) 设PD x，AE y，求y与x的函数关系式，并写岀它的定义域;(3) 是否存在这样的点 P，是 EAP周长等于厶PDC周长的2倍？若存在，请求岀 PD的长度；若不存在，请简要说明理由.“一线三等角”专题练习、知识梳理：1、如图 1，AB =

13、 AC,/ B=Z ADE ,那么一定存在的相似三角形有/ B=Z EDF ,那么一定存在的相似三角形有2、如图 2，AB = AC,3、在等腰 ABC中，腰长10厘米，底边长16厘米，点P在底边上以厘米/秒的速度从点 B向点C移动当点P运动到PA与腰垂直的位置时,点 P的运动时间为秒.二、经典例题解析 1、 如图，在 ABC 中， AB = AC=4，BC = 6，Z B=Z ADE，点 D E 分别在 BC、AC 上(点 D 与 B、C不重合)，设 BD = x，AE = y，求y关于x的函数解析式及 x的取值范围。2、 如图：在直角梯形 ABCD中, AD/ BC, / B = 90 &

14、#176;，DH! BC于 H, AB = 6，BC = 16，DC = 10 ,线段BC上有一动点 E (不与点 C重合)，过点 E作EF丄DC交线段DC于点F.(1) 求CH的长；(2) 设BE = x , EF = y ,求y关于x的函数解析式及 x的取值范围；(3) 当以E、F、C为顶点的三角形与 ABE相似时，求BE的长.3、如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90o, AB=10 , AC=6，点E、F分别是边 AC、BC上的动点，过点 E作ED丄AB于点D，过点F作FG丄AB于点G, DG的长始终为 2.(1 )当AD=3时，求DE的长；(2) 当点E、F在边AC、BC上移动时

15、，设 AD x, FG y ,求y关于x的函数解析式，并写岀函数的定义域；(3) 在点E、F移动过程中， AED与厶CEF能否相似，若能，求AD的长；若不能，请说明理由.4、已知在梯形 ABCD 中，AD II BC, AD < BC ,且 BC =6 , AB = DC=4，点 E 是 AB 的中点.（1）如图3, P为BC上的一点，且 BP=2 .求证： BEPCPD ;（2） 如果点P在BC边上移动（点 P与点B、C不重合），且满足/ EPF = / C, PF交直线 CD于点 F,同时交直线AD于点M,那么 当点F在线段CD的延长线上时，设 BP=X , DF= y，求y关于X的

16、函数解析式，并写岀函数 的定义域；S 9S 当S DMFS bep时，求BP的长.4AD5、（ 2009闸北22题）（本题满分10分，第（1 ）小题满分3分，第（2）小题满分7分）如图七，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形,CB/ OAOA=7, AB=4,Z COA=60 ,点P为x轴上的一个动点，但是点与点0、点A重合连结CP,D点是线段AB上一点，连结PD.求点B的坐标;当/ CPD=/ OAB 且5，求这时点P的坐标.AB 8BD6、如图，已知在厶 ABC中，AB=AC=8 ,5cosB=- , D是边BC的中点，点 E、F分在边 AB、AC 上,8且/ EDF= / B，连接

17、 EF .（1）如果BE=4，求CF的长;（2）如果 EF II BC，求EF的长.7、(徐汇2009年25题)如图， ABC中，AB AC 10 , BC 12，点D在边BC上，且BD 4 ,以点D为顶点作 EDFB，分别交边 AB于点E，交射线CA于点F (1) 当AE 6时，求AF的长；(2) 当以点C为圆心CF长为半径的O C和以点A为圆心AE长为半径的O A相切时，求 BE的长;(3) 当以边 AC为直径的O O与线段DE相切时，求BE的长.知识总结:补充：关于“一线三等角”图形的提炼及变式：总结：在教学中要突出重点、深化学生对于 一线三等角”模型的理解；把握难点： 一线三等角”模型

18、变式;通过问题建构，关注课堂再生资源的挖掘，引导学生对于几何综合习题的有效分解具体的1 在教学中通过 回忆旧知”环节的师生互动过程让95%学生掌握解函数型综合题需要的必备知识储备.2 在教学中通过一个 一线三等角”模型综合题的有效分析引导过程，让95%的学生树立几何型综合题的解决的信心，让 75%的学生能够顺利解决前两小题，培养更多的学生具备解决最后压轴点一小题 的能力.3 在教学中通过有效分解策略的实施，打破他们对综合题的畏惧心理，让同学们加深对于题目条件的使用：条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力，在这个师生共同探 讨的过程中鼓励学生尝试着加强解后反思与培养

19、他们欣赏试题的能力.【课后作业】1、如图，已知正方形 ABCD的边长为4，P是射线CD上一动点.将一把三角尺的直角顶点与 P重合, 一条直角边始终经过点 B，另一条直角边所在直线与射线AD相交于点E.设CP=x，DE=y.(1)当点P在线段 CD上时，求证： BPCs PED ;(2) 当点P在线段CD的延长线上时，求 y与x的函数解析式及自变量 x的取值范围；(3) 当DE=1时，求CP的长.2、如图，在矩形 ABCD中，E为AD的中点，EF EC交AB于点F，联结FC(AB AE).(1) AEF与 EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；AB(2设k，是否存在这样的

20、k值，使得 AEF BFC ?若存在，证明你的结论并求岀k的BC用图值；若不存在，请说明理由.3、 等腰 ABC，AB=AC= 8，Z BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含 30。角的透明三角板，使 30 °角的顶点落在点 P,三角板绕P点旋转.(1) 如图a,当三角板的两边分别交 AB、AC于点E、F时求证： BPE CFP ；(2) 操作：将三角板绕点 P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边 AC于点E、F. 探究】： BPE与厶CFP还相似吗？(只需写岀结论) 探究2:连结 EF， BPE与厶PFE是否相似？请说明理由； 设EF=m， EPF的

21、面积为S,试用m的代数式表示 S.4、如图，在边长为 1的正方形ABCD中，点E在边BC上(与端点不重合)，点F在射线DC 上.(1)若AF=AE，并设CE=x， AEF的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写岀函数的定义域;(2) 当CE的长度为何值时， AEF和厶ECF相似？1(3) 若CE 一，延长FE与直线AB交于点G,当CF的长度为何值时， EAG是等腰三角形?45、如图，在 ABC中，AC=BC=2，/ C=90°，点D为腰BC中点，点E在底边 AB上，且DE丄AD,则BE的长为 .6、如图，？ABC中，/ ACB=9°, / A=60°,AC=2, CDL AB,垂足为 D.任意作/ EDF=6°,点 E、F 分别在AC B