数理统计试卷及答案

1、安徽大学2021 2021学年第一学期?数理统计?测试试卷(B卷)院/系(闭卷时间120分钟)年级 专业 姓名 学号题号一一三四五总分得分得 分一、选择题(本大题共5小题,每题2分,共10分)1、设总体 X N(1, 9) , (Xi, X2JH,X9)是 X 的样本,那么().一 X -1X -1(A)N(0, 1);(B)N(0, 1);_1_3一 X -1一 X -1(C)N(0, 1);(D) - N(0, 1).9.31 n _2、设X1,X2,.,Xn为取自总体XN(叫仃2)的样本,X为样本均值,s2=-Z(Xi -X)2, n id那么服从自由度为n -1的t分布的统计量为().

2、(A)石(X-卜)(B) n -1 (X - C)( C)可 n-1(X- N)( 口)"(X - N)ssn3、假设总体Xn(L.2),其中.2,当样本容量n保持不变时,如果置信度1-o(减小,那么N的置信区问(A)长度变大；(B)长度变小；(C)长度不变；(D)前述都有可能4、在假设检验中,分别用a, P表示犯第一类错误和第二类错误的概率,那么当样本容量n一定时,以下说法中正确的选项是().(B) 口增大时P也增大；(D) (A)和(B)同时成立.(A) 口减小时P也减小；(C) % P其中一个减小,另一个会增大;的最小二乘估计,= Y-X0?是残差向量,那么(B) Cov(?)

3、 =o2In X (XX),X '；(D) (A)、(B)、(C)都对.得 分2分,共10分) 5、在多元线性回归分析中,设 是0 ().(A) E =0 n； ?(C)是.2的无偏估计；n - p -1二、填空题(本大题共5小题,每题6、设总体X和Y相互独立,且都服从正态分布N0, 32,而X1X2 11X9 和丫1,|1|,乂是分别来自X和Y的样本,那么U =刍刊二 服从的分布是.丫12 III 丫92一7、设格与其都是总体未知参数e的估计,且反比必有效,那么反与W的期望与方差满足 8、设总体XN也.2 , D2,n为样本容量,总体均值N的置信水平为1-a的置 信区间为X -九,X

4、 +九,那么'的值为.9、设Xi,X2,.,Xn为取自总体XN也.2的一个样本,对于给定的显著性水平口,已知关于仃2检验的拒绝域为Z2以出1,那么相应的备择假设Hi为;得 分10、多元线性回归模型Y =X0+w中,B的最小二乘估计是? = 三、计算题本大题共5小题,每题10分,共50分工丁、x 011、总体X的概率餐'度函数为f x=8 e ,其中未知参数e a 0 ,0,其它X1,X2,|,Xn为取自总体的一个样本,求e的矩估计量,并证实该估计量是无偏估计12、设X1,X2,Xn是来自总体XPGJ的样本,九A0未知,求九的最大似然估计量13、两个总体 X与Y独立,X(%52)

5、, 丫(422),屋 匕,仃；,仃；未知,_ 2(%/2,川/和(丫1,丫2,川,工2)分别是来自X和丫的样本,求之的置信度为1-a的置信二 2区间.14、合格苹果的重量标准差应小于 0.005公斤.在一批苹果中随机取9个苹果称重,得 其样本修正标准差为S =0.007公斤,试问：(1)在显著性水平a=0.05下,可否认为该批 苹果重量标准差到达要求 (2)如果调整显著性水平a =0.025,结果会怎样(总25 (9) =19.023,瘟5(9)=16.919,瘟25 (8) =17.535 ,72.05 (8) =15.507 )15、设总体XN(a,1) , a为未知参数,aR, XhX2

6、,Xn为来自于X的简单随机 样本,现考虑假设：H.： a = a0, H1 :a # a°( a° 为数)取口 =0.05,试用广义似然比检验法检验此假设(写出拒绝域即可) .(u0.025 = 1.96 , U0.05 =1.65, 7：.025(1)=5.024,*05 (1) = 3.841)四、证实题(本大题共2小题,每题10分,共20分)16、设总体X服从B(1,p)分布,(用仅马为总体的样本,证实X是参数p的一个UMVU E17、设XiJH,Xn是来自两参数指数分布px；3二屋",*00的样本,证实X,X是电8充分统计量.五、综合分析题本大题共10分1

7、8、现收集了 16组合金钢中的碳含量X及强度Y的数据,求得x =0.125, y =45.788,16162 (Xi - x) =0.3024, i=116(xi -X)(yi - y) -25.5218,% (yi - y)2 -2432.4566.i 1i T(1)建立Y关于X的一元线性回归方程 ?=伊.十禺x;(2) XtY 与 X 的线性关系做显著性检验(口=0.05, Fo.05(1,14)=4.60, t0.025(14) = 2.1448 , to.05(14) =1.7613).安徽大学2021 2021学年第一学期?数理统计?(B卷)测试试题参考答案及评分标准一、选择题(每题

8、2分,共10分)1、A 2 、D3、C 4、C 5、B二、填空题(每题2分,共10分)6、t(9)7、E(给=E(g),D(W)；D(房)8二%/2v n9、仃R(lnLd) d九小九的最大似然估计值,九的最大似然估计量为10分13、解：设S12, s2分别表示总体X, 丫的样本方差,由抽样分 布定理知 仃2 10、 Cov( ?) =a2(XX )- 三、计算题(本大题共5小题,每题10分,共50分)二 1-x1n11、解：(1) v1 =E(X )= J xf (x)dx = L Ixe ®dx = 8 ,用 Vi =1£ Xi =X 代替,所以“n -c 1 n =&

9、#163; Xi =X . 5 分n y n(2) E(8)=E(X)=1£ ElXiXElXXH ,所以该估计量是无偏估计. 10n y分x12、解：总体 X 的分布律为 p(x,K) = PX =x = ea,x = 12| x!设(Xi,X2,|, xn)为样本(Xi, X2,|,Xn)的一个观察值,似然函数nn , xn ,内L=口 P(X=x)=n een 一, 4分iTiT X !I X !对数似然函数nlnL(7U = n?u+2 1xi ln 九一 ln( x !),i =1n=0, ? xin i 11 n(In L( ) =0,-nXi,i 1PE/2(n Tn

10、-1):二 F :二 F1_./2(n1 -1,n2-1)1 = 1-：=1 一口,s2/s2仃；s2/s2-;:;:1F1?2 (n1 1,n2 1) .2F(/2(ni _1,n2_1) J2 二 1 -2 C2置信度为 1 a 的 置 信 区 间 为s2/SF1_O：2(n1 -1,n2 -1)s2/s2F "2 (n1 - 1,n2 - 1)10分14、解：(1)也：仃< 0.005,22 n -1 S具体计算得:P_22 8 0.007=_ _2-0.00520.05 8=0.005,=2(8),那么应有:22.05(8) = 15.507,= 15.68 >1

11、5.507,所以拒2假设H.,即认为苹果重量标准差指标未到达要求.(2)新设H.1E0.005,由温25 =17.535,二廿2一=15.68 <17.535,贝U接受 0.005假设, 求.即可以认为苹果重量标准差指标到达要10分15、解：似然函数为L(x1, ,xn;a) =1记(2 二)ngv(Xia2ide 一 ,从而, ,、1L(x1,xn；a0) =n7?(2 二)W' (Xi a)22 i zX e 一又参数a的极大似然估计为X ,于是1supL(x1, , xn; a) =n7?aR(2二)得似然比函数为supL(X1, ,xn；a) n _MX1,Xn) =R-

12、 - =exp-(X -a0)2),L(x1, ,xn；a0)2给定口 =0.05,得 20.05 = P(?-(x1, ,xn) A % | a = a0) = P°(n(X a0) a 21n 九0),由于当H.成立时,n(X-a.)22,此即月05(1)=3.84 = 2ln£,从而上述问题的拒绝域是10分W0 =n(X -a0)23.84).四、证实题(本大题共2小题,每题10分,共20分)16、证实：X的分布律为f(x; p)= px(1-p)1： x = 0,1 .容易验证f (x; p)满足正那么条件,于是I(p) =E ln f(x;p)冲1P(1 - P)

13、另一方面1p(1 - p) 1Var( X) = Var( X) = -=,nn nl (p)即X得方差到达C-R下界的无偏估计量,故X是p的一个UMVUE10分17、证实样本的联合密度函数为nV(x1_i_i. P(X1,III,%;")=(1' I刈_nx _n -ne -1 ,e* I x(1)叱,取t =(X,x(i), g(t;u)=()2口_nx _n -ne 口 I,h(xjl1 ,Xn) =1,故由因子分解定理,(X,x)是(N,e)充分统计10分五、综合分析题(本大题共10分)18、解：(1)根据数据可以得到回归系数的估计为16x (Xi -x)(Vi -y)i =116工(Xi -X)2i 125.52181x = 45.788 - 84.3975 0