方程法求解数轴上动点问题

1、借助方程求解数轴上动点问题数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离.为了便于初一年级学生对 这类问题的分析,不妨先明确以下几个问题：1 .数轴上两点间的距离,即为这两点所对应的坐标差的绝对值,也即用右 边的数减去左边的数的差.即数轴上两点间的距离=右边点表示的数一左边点表 示的数.2 .点在数轴上运动时,由于数轴向右的方向为正方向,因此向右运动的速 度看作正速度,而向作运动的速度看作负速度.这样在起点的根底上加上点的运 动路程就可以直接得到运动后点的坐标.即一个点表示的数为a,向左运动b个单位后表示的数为ab；向右运动b个单位后所表示的数为a+b.3 .数轴是数形结合的产物,分析数轴上点的运

2、动要结合图形进行分析,点 在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系.例1.数轴上有A、B、C三点,分别代表一24, 10, 10,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行,甲的速度为 4个单位/秒.甲乙问多少秒后,甲到 A B C的距离和为40个单位4 B,-24 TO 010假设乙的速度为6个单位/秒,两只电子蚂蚁甲、乙分别从 A、C两点同时相向而行,问甲、乙在数轴上的哪个点相遇在的条件下,当甲到 A B、C的距离和为40个单位时,甲调头返回. 问甲、乙还能在数轴上相遇吗假设能,求出相遇点；假设不能,请说明理由.分析：如图1,易求得AB=14 BC=20 AC=34设x秒后,甲

3、到A、B、C的距离和为40个单位.此时甲表示的数为一24+4xo甲在AB之间时,甲到 A B的距离和为AB=14甲到C的距离为10 ( 24+4x) =344x依题意,14+ (34-4x) =40,解得 x=2甲在BC之间时,甲到 B C的距离和为BC=20甲到A的距离为4x依题意,20+4x) =40,解得x=5即2秒或5秒,甲到A B C的距离和为40个单位.思考：为什么没有甲在 C点右侧的那种情况是一个相向而行的相遇问题.设运动 t秒相遇.依题意有,4t+6t=34 ,解得t=3.4相遇点表示的数为一24+4X 3.4=-10.4 或：106X3.4=10.4甲至ij A、B、C的距离

4、和为40个单位时,甲调头返回.而甲到 A、B、C的 距离和为40个单位时,即的位置有两种情况,需分类讨论.甲从A向右运动2秒时返回.设y秒后与乙相遇.此时甲、乙表示在数轴 上为同一点,所表示的数相同.甲表示的数为： 24+4X 2-4y;乙表示的数为: 106X26y依题意有,一24+4X2-4y=10-6X2-6y,解得 y=7相遇点表示的数为：一24+4X 24y=-44 或：106X26y=44甲从A向右运动5秒时返回.设y秒后与乙相遇.甲表示的数为：24+4X 54y;乙表示的数为：106X56y依题意有,一24+4X 5-4y=10-6X5-6y,解得y=8 不合题意,舍去即甲从A点

5、向右运动2秒后调头返回,能在数轴上与乙相遇,相遇点表示的数为一44 o点评：分析数轴上点的运动,要结合数轴上的线段关系进行分析. 点运动后所表 示的数,以起点所表示的数为基准,向右运动加上运动的距离,即终点所表示的 数；向左运动减去运动的距离,即终点所表示的数.例2.如图,A、B分别为数轴上两点,A点对应的数为一20, B点对应的数为 100.；*> -20210求AB中点M对应的数；现有一只电子蚂蚁P从B点出发,以6个单位/秒的速度向左运动,同时 另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发,以4个单位/秒的速度向右运动,设两只电 子蚂蚁在数轴上的C点相遇,求C点对应的数；假设当电子蚂蚁P从B点出发

6、时,以6个单位/秒的速度向左运动,同时另 一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发,以4个单位/秒的速度也向左运动,设两只电 子蚂蚁在数轴上的D点相遇,求D点对应的数.分析：设AB中点M对应的数为x,由BM=MA所以x 20 =100 x,解得x=40 即AB中点M对应的数为40易知数轴上两点AB距离,AB=140设PCffi向而行t秒在C点相遇,依题意有,4t+6t=120 ,解得t=12(或由P、Q运动到C所表示的数相同,得一20+4t=1006t , t=12)相遇C点表示的数为：一20+4t=28 (或100 6t=28)设运动y秒,P、Q在D点相遇,那么此时P表示的数为100 6y, Q表示的

7、数为一204y.P、Q为同向而行的追及问题.依题意有,6y-4y=120,解得y=60(或由P、Q运动到C所表示的数相同,得一20-4y=100-6y, y=60)D点表示的数为：一20 4y=-260 (或 100 6y=260)点评：熟悉数轴上两点间距离以及数轴上动点坐标的表示方法是解决此题的关 键.是一个相向而行的相遇问题；是一个同向而行的追及问题.在、中 求出相遇或追及的时间是根底.例3.数轴上两点A、B对应的数分别为一1, 3,点P为数轴上一动点,其 对应的数为X.A B假设点P到点A、点B的距离相等,求点P对应的数； 3数轴上是否存在点P,使点P到点A、点B的距离之和为5?假设存在

8、,请求 出x的值.假设不存在,请说明理由当点P以每分钟一个单位长度的速度从 O点向左运动时,点A以每分钟5 个单位长度向左运动,点B以每分钟20个单位长度向左运动,问它们同时出发, 几分钟后P点到点A、点B的距离相等分析：如图,假设点P到点A、点B的距离相等,P为AB的中点,BP=PA依题意,3x=x (1),解得x=1由AB=4假设存在点P到点A、点B的距离之和为5, P不可能在线段AB上, 只能在A点左侧,或B点右侧.P在点 A左侧,PA=-1x, PB=3-x依题意,(-1一x) + (3x) =5,解得 x= -1.5P在点 B右侧,PA=x- (1) =x+1, PB=x-3依题意,

9、(x+1) + (x3) =5,解得 x=3.5点P、点A、点B同时向左运动,点B的运动速度最快,点P的运动速度 最慢.故P点总位于A点右侧,B可能追上并超过A.P到A、B的距离相等,应 分两种情况讨论.设运动t分钟,此时P对应的数为一t , B对应的数为320t , A对应的数为 1 5t oB未追上A时,PA=PB那么P为AB中点.B在P的右侧,A在P的左侧.PA=-1 ( 15t) =1+4t, PB=3-20t ( t) =3 19t2依题意有,1+4t=3 19t,解得t= 23B追上A时,A、B重合,此时PA=PB A、B表示同一个数.4依题意有,一15t=320t,解得 t= 1

10、5_24_即运动王或西分钟时,P到A、B的距离相等.思考：为什么没有B走到A左侧的情况点评：中先找出运动过程中P、A、B在数轴上对应的数,再根据其位置关系确 定两点间距离的关系式,这样就理顺了整个运动过程.例4.点A、A A A (n为正整数)都在数轴上,点 A在原点O的左边, 且AQ=1,点A在点A的右边,且 AA=2,点A在点儿的左边,且 AA=3,点A 在点As的右边,且AA3=4, ,依照上述规律点A2021、A2021所表小的数分别()A. 2021, 2021 B. 2021, 2021 C. 1004, 1005D. 1004, 1004分析：如图,.As Ai 0 A? A4点

11、A表小的数为-1;点A表示的数为一1+2=1;点外表示的数为-1+2 3=2;点A表示的数为一1+23+4=2点 色008表示的数为一1+2 3+4一2007+2021=1004点 4.09表示的数为一1+23+4一2007+2021-2021=-1005 点评：数轴上一个点表示的数为a,向左运动b个单位后表示的数为ab；向右 运动b个单位后所表示的数为a+b.运用这一特征探究变化规律时,要注意在循 环往返运动过程中的方向变化.练习题：1 .数轴上A、B两点对应数分别为一2, 4, P为数轴上一动点,对应数为x.假设P为线段AB的三等分点,求P点对应的数.数轴上是否存在P点,使P点到A、B距离和为10?假设存在,求出x的值；假设 不存在,请说明理由.假设点A、点B和P点P点在原点同时向左运动.它们的速度分别为 1、2、 1个单位长度/分钟,那么第几分钟时P为AB的中点参考答案：0或2;一4或6;22 .电子跳蚤落在数轴上的某点