数值分析考试总结

1、第一章1 误差相对误差和绝对误差得概念例题：当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时,一般要经历哪几个阶段在哪些阶段将有哪些误差产生 答：实际问题-数学*II型-数值方法-计算结果在这个过程中存在一下几种误差：建立数学模型过程中产生：模型误差参数误差选用数值方法产生：截断误差计算过程产生：舍入误差传播误差6.设a 0.937关于精确数x有3位有效数字,估计a的相对误差.对于f(x),估at f (a)对于f(x)的误差和相对误差.解 a的相对误差：由于1 3x a| E(x)| x a - 10 .Er(x),2 x1 212/、Er (x) 10 10 .(Th1)2 918f(a)对于

2、f(x)的误差和相对误差.1 10 3|E(f)|0 x V1 a|= i a20 =10 3v'1 x £1 a 2 0.25|Er(f)| 10 31 a 4 10 32有效数字根本原那么:1两个很接近的数字不做减法2:不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)例题：4.改变以下表达式使计算结果比较精确：(1)(2)(3)1 cos xx对 | x |1;对x 1;0,|x|1.解(1) 2x2. (1 x) (1 2x) .(2)2 必 i .(.“ x 1 x x 1 x)1 cosx.2sin xsin xx(1 cosx) 1 cosx第二章拉格朗日插值公式即公式1

3、nPnXYiliXi 0插值基函数因子可简洁表示为li(x)其中：n(x)n (X X-n(X)j 0 (Xi Xj) (X Xi) n(Xi) nn(X Xj), n Xi(Xij 0j 0例 1 n = 1 时,线性插值公式P1(X) y0 (X Xl) y1 (X X.),(X0 Xi)(Xi X0)例2 n=2时,抛物插值公式P2(x)(XXi)(XX2)(XX0)(XX2)；7 yi 7(X0Xi)(X0 X2)(XiX0)(Xi X2)y2(X X0)(X Xi)(X2 X0)(X2 Xi)牛顿Newton插值公式由差商的引入,知(D 过点X0,Xi的一次插值多项式为Pi(X) f

4、 (X0) Ci(X X0)其中f (Xi) f (X0)Ci f X0,XiPi(X)f(X0)fX0,Xi(XXi X0(2) 过点X0,Xi, X2的二次插值多项式为X0)重点是分段插值例题:P2(X)Pi(X) C2(X X°)(X Xi)其中C2f(X2) f(Xi)f(Xi) f(X0)X2 XiXi X0X2 X0P2(X)Pi(X) fX0, Xi, X2(X X0 )(X Xi)f X0,Xi, X2f (X0) fX0,Xi(X X0) fX0,Xi, X2(X X0)(x Xi)1.利用Lagrange插值公式求以下各离散函数的插值多项式(结果要简化)(1)xi

5、-101/21fi-3-1/201xi-101/21fi-3/2001/2解(2):方法一.由Lagrange 插值公式L3(x)f0 l0(x) fl li(x)f2 l2(x)f3 l3(x)可得： L3(x) x2(x 1 2)方法二.令L3(x) x(x 1 2)(Ax B),31由L3( 1) , L3(1)-,定A, B(称之为待定系数法)口2215.设f(x) x2,求f (x)在区间0,1上的分段线性插值函数fh(x),并估计误差,取等距节点,且h 1/10.解 f(x) x2,为 ih , i 0,1,10 , h 10设xix xi 1 ,那么：x xi 1x xifh(x

6、)f(xi)f(xi 1)xi xi 1xi 1 xi2(i h)x (i 1)hh(i1)h)2-ih h(2i 1) x i(i 1)10100误差估计:| f(x)fh(x) | -f max (x ih)(x (i 1)h).2! ix x (i 1)h第三章最正确一致逼近:(了解)最正确平方逼近主要分两种情形:1 .连续意义下在空间L2a,b中讨论2 . 离散意义下在n维欧氏空间Rn中讨论,只要求提供f的样本值1.最正确逼近多项式的法方程组设 L2a,b 的 n 1 维子空间 Pn =span1, x, X2,xn,其中1,x, X2,xn是L2a,b的线性无关多项式系.n对f L2

7、a,b,设其最正确逼近多项式可表示为：aj x1i 0, _ *由(f ,) 0,Pnn * i(fas xj,xJ) 0, j 0(1)ni 0n(*2)即(xj,xJ)a j(f ,xj), i 0(1)nj 0其中b(xi,xj)xi xdxbxi jdx, (fa,xi)bf (x) xidxa称(*2)式为最正确逼近多项式的法方程组(或正规方程组)由xin 0的线性无关性,可证实g正定,即 上述法方程组的解存在且唯一.11、求f(x) cos x , x 0,1的一次和二次最正确平方逼近多项式2解：设 P1 (x) a0 a1x , P2 (x) b0 b1x b2x分别为f (x)

8、的一次、二次最正确平方逼近多项式.1内积(f,g)0 f (x)g(x)dx计算如下内积：(1,1) 1 , (1, x) % , (1, x2) %(x x)1 (xx2)1 (x2x2)1(x, x)3 , (x,x )4 , (x,x )5(1,f) 0,(x, f) 2 2 , (x2, f) 2 2建立法方程组：(2)解得:Pi1a 0 a1021ao (13)a1/ 、12 24(x) x(12)bi2b.3 b0b0%3b14b13b25b224-222222,b20,12-2 ,P2Xai12-224-2242 X .1为什么要进行数值积分答：梯形复化求积公式和第四章?常用哪些

9、公式,方法simpson复化求积公式.2:方法好坏的判断：代数精度误差分析1.代数精度的概念定义假设求积公式ba f (x)dxnWif(xi) (*) i 0对所有次数m的多项式是精确的,但对m1次多项式不精确,那么称*具有m次代数精度.等价定义假设求积公式*对1,x, x2,xm是精确的,但对xm 1不精确,那么*具有m次代数精度.3:误差1等距剖分下的数值求积公式：公式特点：节点预先给定,均匀分布,系数Wj, i 01 n待定利用插值多项式 pn x近似代替f x,即得插值型求积公式 Newton-Cotes公式Gauss求积2给定节点数下的具有最正确逼近性质具有最高次代数精度的数值求积

10、公式:公式 公式特点：系数wi,i 0(1)n和节点x,i 0(1)n均待定3分段插值多项式 n(x)近似代替f(x)(分段求积)复化求积公式复化求积公式通过高次求积公式提升精度的途径不行,类似函数插值分而治之： 分段+低次求积公式 称为复化求积法两类低次(n 4)求积公式：1. NewtonCotes 型：矩形、梯形、Simpson、Cotes 公式分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式2. Gauss型： 一点、两点、三点 Gauss求积公式称为复化一点、两点、三点 Gauss公式复化梯形公式(Tn )Tn2f(X.)f (Xi) f (Xi) f (X2)f (Xn 1)f(Xn)h

11、n 1b a-f (a)2 f (Xk)f(b),h 2k 1n复化辛甫生公式：(每个ek上用辛甫生公式求积)Sn 6 f(X0) 4f(xp f (Xi) f (Xi)4 f (X3) f (X2)f (Xn i)4 f (x 1 ) f (Xn)n 2hnn 1-f (a)4 f (xk 工)2 f (xk) f (b)6k 12 k 1其中ba, xk 1/2为ek的中点nf (x)dxh 一、 f(a)6复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法.常采用其等价形式:nf(b)4f(xkp 2f(xk)k 12复化柯特斯公式90 7 f(X0)32 f (X1 )12 f (X1 )32 f(

12、X3)7 f (x1)其中,(7f (xi)32 f (X5 )412f (X3 )32 f (x 7)7 f ( X2 )7 f (Xn 1)32 f(Xn3 ) ,4212 f(Xn-4327 f (Xn1)h 7 f (a)149032Xk：(xkf (Xk )7 f (b)32 f(Xk12kf (xk自适应复化求积法计算时,要预先给定Xk 1为xk v xk的中点,Xk3为Xk 1,Xk的四等分的分点4n或步长h,在实际中难以把握由于,h取得太大那么精度难以保证,h太小那么增加计算工作量自适应复化梯形法的具有计算过程如下：f T1 if(a) f(b)1f (xkpT22T5假设是,

13、那么转步5;n 2n,hh/2, T1T2 ,转步 2；输出t2 .第五章1:常用方法：(1) .直接解法：逐步(顺序)消去法、主元素法、矩阵分解法等；(2) .迭代解法：构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解.经典迭代法迭代法、Gauss Seidel迭代法、逐次超松弛SOR迭代法等； .Krolov 子空间的迭代法根据A的对称性,又分为：对称正定共轲梯度法非对称BICG 、GMRes最小残量法 .解一类特定背景问题的迭代法多重网格法2:几类迭代法优缺点比较：3:迭代方法目标： 求解 其中,A非奇异.根本思想：把线性方程组 Ax b的解x,化为一个迭代序列极限解关键：构造迭代序列所满足的公式：

14、迭代格式.构造迭代格式根本步骤：1.将A分裂：A: B C,其中,B非奇异2.构造迭代格式Ax b Bx b Cx Bx(k 1) b Cx(k) x(k1)Gx(k) g其中G B 1 C ,称之为迭代矩阵,g B 1b(k 1)(k)1(k)x x B (b Ax )其中,b Ax(k)为x(k)的剩余向量11此时,G I B 1A, g B 1b常用的迭代方法将A (a.)分裂为A D L U其中Ddiag (an,a22,ann)000a 2i 0a 120a n1a n ,n 100ana n 1,n0Jacobi迭代方法假设a"0 ,迭代格式Y(k 1)XGj x(k)g

15、其中 Jacobi迭代矩阵：Gi DJ1(L U)1g d 1b式可写为分量形式x(k1) Lnaiinajx(k), kj 10.方法*1或称为Jacobi迭代方法.Gauss- Seidle迭代方法右a.Y(k 1)XGgx(k)G其中,Gauss-Seidel迭代矩阵:Gg(DL) 1Ug D其分量形式L)1bx(k 1)1(k 1) aijXj1n(k) aij xjj i 1,i1,2, ,n.(*2)在计算新分量xik1时,利用新值(k 1).Xj ,j1,2,i迭代法*2 或称为 Gauss-Seidel迭代方法超松弛方法SOR方法定义SORT法的迭代格式如下:(k 1)Zi5b

16、i1a ij1(k xj1)a ij1(k) 1X j ,(k 1)Xi(k 1)Zi(1(k)Xi1,2, ,n(*3)称为松弛因子,1即为GS方法.其矩阵形式Y(k 1)XY(k)X其中,SOR法的迭代矩阵:(D L) 1(1)D U(D l)1b .第七章1:解非线性方程与方程组的方法 ：1 .准确方法如：用求根公式对 n 4次的代数多项式求根.n 5次的代数多项式并无求根但：绝大多数的方程并无准确方法可用.如： 公式.2 .数值方法(实际中大多采用)根本思想：设法找到一个能收敛到方程的解的序列.(1) .区间套法一一二分法.(2) .迭代法：.简单迭代法；.Newton迭代法；

17、9;.割线法；3.加速算法.2:收敛条件：二分法无条件简单迭代法条件：定理1如果 (x)满足以下条件：1) X a,b,(x) a,b;2) 常数 L： 0 L 1,使得对任意两点x1,x2a,b,都有(为) (x2)Lxi x2 ,那么：方程(*)在a,b上的解存在唯一,且对任给的初值 x0,由迭代过程(* *) 所产生的序列 xk收敛到 例题：2.为求方程x3 x2 1 0在Xo 1.5附近的一个根,设将方程改写为以下等价形式,并 建立相应的迭代公式：(1) x 1 1/x2,迭代公式 xn 11 1/x；322、1/3(2) x 1 x ,迭代公式 xn 1(1 xn),(3) x2 1

18、/(x 1),迭代公式xm V(xn 1严,试分析每一种迭代公式的收敛性,并问哪一种迭代收敛得快解：取x01.5的邻域1.3,1.6来考察(x) 1 1/x2 ,(x)2/x3 2/1.33 0.901 1 ,故迭代公式(1)收敛.(2)(x) (1 x2) 3(x)| 2x/3(1 x2)2/32 1,6/3(1 1,32)2/3 0.5515,故迭代公式(2)也收敛.(x) 1/(x 1)1/2 ,3/23/2(x)1/2(x 1) 1/2(1.6 1)1.0758287 1故迭代公式3发散.由于x0越小,越快地收敛于根,故2式收敛最快.口1.三类边值问题1 )第一类边值问题：y (x)f

19、 (x, y(x), y (x),y(a), y(b) .2 )第二类边值问题：y (x) f (x, y(x), y (x),y(a), y(b) .3 )第三类边值问题：y (x) f (x, y(x), y (x),y(a)0y(a)1, y (其中,0, 00,00第八章解一阶常微分方程的常用方法：Euler 方法Runge-Kutta 方法2阶常微分方程边值问题的差分方法axb ,(3.1 )(3.2)axb ,(3.3)(3.4)a x b,(3.5)0 y(b)1 ,(3.6)0.2.差分格式的建立针对方程(3.1 )而言.Step 1取a,b的离散节点a X0xiXn b,第 m 步步长 hm xm xm 1, 一般可取等步长：hm h, m 1,2, N.Step 2 将 y(Xm)用二阶差商、y (Xm)用一阶差商近似:y (Xm)y(xm 1)2y(xm) y(xm 1 )h21,2,y (Xm)y (xm 1 )y(xm 1 )2hm 1,2,理由：由Taylor