第二节二重积分计算

1、第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分)(d),(DCfyxfD 其其中中的的一一般般方方法法计计算算二二重重积积分分 先将二重积分化为二次积分，然后先后先将二重积分化为二次积分，然后先后计算两次定积分求得二重积分的值计算两次定积分求得二重积分的值.如果积分区域如果积分区域 D 可表示为：可表示为：, )()(| ),(21bxaxyxyxD 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积

2、分1、x型区域型区域则则 D 称为称为 x型型 区域区域 .)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy x型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域轴的直线与区域边界相交不多于两边界相交不多于两个交点个交点.xbad 设曲顶柱的底为设曲顶柱的底为 bxaxyxyxD ),()(),(21 任取任取, ,0bax 平面平面0 xx 故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为 DyxfV d),(yyxfxAxxd),()()()(000201 截面积为截面积为yyxfxxd),()()(21 baxxAd)(截柱体的截柱体的)(2xy)(1xyzxyoa

3、b0 xD曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算.d),(dd),()()(21 Dbaxxyyxfxyxf 例例1 1.1,dd轴所围轴所围及及由由其中其中计算计算xxxyDyxxyD 解解 将将 D 看作看作 x 型区域型区域, , 则则D=(x , y)| 0 y x ，0 x 1 ,xy11xy ox 100ddddxDyxyxyxxy 103d21xx81 10481 x如果积分区域如果积分区域 D 可表示为：可表示为：, )()(| ),(21dycyxyyxD 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1y )(2y ,dc2、y型区域型区域则则 D 称为称为 y型型

4、区域区域 .)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx Dy型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域轴的直线与区域边界相交不多于两边界相交不多于两个交点个交点.d),(dd),()()(21 Ddcyyxyxfyyxf yydcd dycyxyyxD ),()(),(21 同样同样, , 曲顶柱的底为曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算 DyxfV d),(xyxfyyd),()()(21 xyxfyyd),()()(21 dcydydcxo)(2yx)(1yx例例1 1.1,dd轴所围轴所围及及由由其中其中计

5、算计算xxxyDyxxyD 解解 将将 D 看作看作 y 型区域型区域, , 则则D=(x , y)| y x 1 ，0 y 1 , xy11xy oy 101ddddyDxxyyyxxy 103d)(21yyy81 1042412121 yy如果积分区域如果积分区域 D 可表示为可表示为 x型型 区域又可表示为区域又可表示为 y型型 区域区域 ，且，且 f(x,y)在在D 上连续，则有：上连续，则有： Dbaxxyyxfxyxf)()(21d),(dd),( .d),(d)()(21 dcyyxyxfy 为计算方便为计算方便, ,可可选择积分次序选择积分次序, ,采用哪一种次序积分采用哪一种

6、次序积分通常取决于被积函数的结构通常取决于被积函数的结构. 必要时还可以必要时还可以交换积分次序交换积分次序. .1,0,ddsin22所所围围由由其其中中计计算算例例 xxyyDyxxyyD解解 将将 D 看作看作 y 型区域型区域 , , 则则D=(x , y)| y x 1 ，0 y 1 , 1012dsindddyDxxyyyyxxy 102dcoscosyyyyy102cossinsin21 yyyy.1sin211cos1 xy11xy oy.,ddsin2所围所围由由其中其中练习：计算练习：计算xyxyDyxyyD 3、一般情形、一般情形如果积分区域如果积分区域 D 不是不是 x

7、型型 区域也不是区域也不是 y型型 区区域域 ，可用平行坐标轴的直线段分割，把，可用平行坐标轴的直线段分割，把D 分割为分割为若干个若干个x型型或或y型型区域，在每个小区域上计算区域，在每个小区域上计算二重积分，在各个小区域上的积分之和就是二重积分，在各个小区域上的积分之和就是D 上上的二重积分的二重积分.若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.oxy1D2D3D计算二重积分的几点说明：计算二重积分的几点说明：1) 化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的

8、上、下限，而二次积分中的上、下限又是由分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域区域 D 的几何形状确定的，因此计算二重积分应的几何形状确定的，因此计算二重积分应先先画出积分区域画出积分区域 D 的图形的图形.2) 第一次积分的上、下限是第一次积分的上、下限是函数或常数函数或常数，而第二，而第二次积分中的上、下限一定是次积分中的上、下限一定是常数常数，且下限要小于，且下限要小于上限上限.3) 积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单且区域的划分要尽量地简单.例例 3 3 求求 Dxdyxyd，其其中中 D是是由由抛抛物物线

9、线xy 2和和直直线线 2 xy所所围围平平面面闭闭区区域域. 解解),2 , 4( ,)1, 1(22 xyxyDxy22 xy214oyxy将将 D 看作看作 y 型区域型区域, , 则则,21,2| ),(2 yyxyyxD2221d dddyyDxy x yyxy x 21523d212221yyyyy两曲线两曲线的交点的交点 12612344216234 yyyy.845 D例例4 4解解 将将 D 看作看作 x 型区域型区域, , 则则围围成成由由其其中中计计算算2,1,.d22 xxyxyDyxD xxDyyxxyx1222122ddd 213d)(xxx.49 ,21,1| )

10、,( xxyxyxD21242141 xx例例 5 求求 Dyyxexdd22，其其中中 D 是是以以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(为为顶顶点点的的三三角角形形. yeyd2无无法法用用初初等等函函数数表表示示 解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dyyxexdd22 yyxexy0210dd2yyeyd31032 2102d62yyey ).21(61e ,10,0| ),( yyxyxD注意：正确选择积分次序相当重要注意：正确选择积分次序相当重要 . xy 1例例 6 6 改改变变积积分分 xyyxfx1010d),(d的的次次序序. 原式原式 yxyxfy101

11、0d),(d. 解解积分区域如图积分区域如图如何变换积分次序：根据所给积分写出如何变换积分次序：根据所给积分写出 D 的边界的边界曲线，再写出另一个区域表示式，即可写出另一曲线，再写出另一个区域表示式，即可写出另一个次序的二次积分个次序的二次积分.xy 222xxy 例例 7 7 改改变变积积分分 xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2的的次次序序. 原原式式 102112d),(dyyxyxfy. 解解积分区域如图积分区域如图例例 8 8 改改变变积积分分)0(d),(d20222 ayyxfxaaxxax 的的次次序序. axy2 解解原式原式 aayaaxyxf

12、y0222d),(d.d),(d2222 aaaayxyxfy22xaxy 22yaax a2aa2a ayaaayxyxfy02222d),(d 22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:,200:2211 xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 2 22280:22xxyD21DDD 将将 :D视为视为y 型区域型区域 , 则则282yxy 20 y DyxyxfIdd),( 282d),(yyxyxf 20dy练习：练习： 交换下列积分顺序交换下列积分顺序例例 9 9 计计算算积积分分 yxyxeyI21

13、2141dd yyxyxeydd121. 解解 121d)(xeexx.2183ee 2xy xy xxxyyexI221dd1说明说明: 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序还需交换积分顺序.练练习习: 计计算算 4 2 2 2 1 d2indd2indxxxyyxsxyyxsx . ,121,| ),(2 xxyxyxD12121(1)2xexxe xexyd不不能能用用初初等等函函数数表表示示 当二重积分的被积函数中含有绝对值函当二重积分的被积函数中含有绝对值函数、取大或取小函数数、取大或取小函数 (max 或或 min ) 等特殊等特殊函数时，如何计算二

14、重积分的值？函数时，如何计算二重积分的值？ 一般是将积分区域适当分块，使被积函一般是将积分区域适当分块，使被积函数在各子块上都表示为初等函数形式，然后数在各子块上都表示为初等函数形式，然后分别计算分别计算.例例1010解解. 10, 11:.dd|2 yxDyxxyD其其中中计计算算1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 321dd)(dd)(dd|222DDDDyxxyyxyxyxxy 1211021122d)(dd)(dxxyxyxyyxx.1511 小结：用直角坐标小结：用直角坐标计算二重积分计算二重积分.d),(dd),()()(21 Dbaxxyyxfxyxf .d

15、),(dd),()()(21 Ddcyyxyxfyyxf x型型y型型确定积分次序时要注意确定积分次序时要注意: :1 1、考虑积分区域的特点，分块越少越好、考虑积分区域的特点，分块越少越好 . .2 2、考虑被积函数的特点，使第一次积分容易积、考虑被积函数的特点，使第一次积分容易积出，并能为第二次积分的计算创造有利条件出，并能为第二次积分的计算创造有利条件. .利用积分域和被积函数的对称性利用积分域和被积函数的对称性 计算二重积分计算二重积分 DyxyxfIDyxfdd),(,),(记记上上连连续续在在设设那那么么轴轴对对称称关关于于如如果果,)1(yD.0,),(),(,),() i (

16、IyxfyxfDyx时时当当对对.0|),(.d),(2,),(),(,),()ii(11 xDyxDyxfIyxfyxfDyxD其其中中：时时当当对对 那那么么轴轴对对称称关关于于如如果果,)2(xD.0,),(),(,),() i ( IyxfyxfDyx时时当当对对.0|),(.d),(2,),(),(,),()ii(22 yDyxDyxfIyxfyxfDyxD其其中中：时时当当对对 那那么么关关于于原原点点对对称称如如果果,)3(D.0,),(),(,),() i ( IyxfyxfDyx时时当当对对.d),(2d),(2,),(),(,),()ii(21 DDyxfyxfIyxfyx

17、fDyx 时时当当对对0)(;dd)sincos(4)(;dd2)(;ddsincos2)()(dd)sincos()1, 1()1 , 1(),1 , 1(11111DyxyxxyCyxxyByxyxAyxyxxyDDxOyDDDDD 则则在第一象限部分，在第一象限部分，是是为顶点的三角形域，为顶点的三角形域，和和平面上以平面上以是是：设：设例例AAoDiiiiiiiiiiiii 2221)(21iiii )2(21iiiii 2)(,iii .dd)sin,cos(dd),( DDfyxyxf 二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分,dd d = d d, ADo二重积分

18、化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）1、极点、极点O在在D的外部的外部, ).()(21 区域特征如图区域特征如图 Df dd)sin,cos(.d)sin,cos(d)()(21 f)(1)(2区域特征如图区域特征如图, ).()(21 AoD)(2)(1 Df dd)sin,cos(.d)sin,cos(d)()(21 fAoD)(二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).(0 2、极点、极点O在在D的边界上的边界上 Df dd)sin,cos(.d)sin,cos(d)(0 f极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积.dd

19、 D 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图).(0 DoA)(,20 3、极点、极点O在在D的内部的内部 Df dd)sin,cos(.d)sin,cos(d)(020 f d)(21202 思考思考: : 下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x , y 轴相切于原点轴相切于原点, , 试问试问 的变化范围是什么的变化范围是什么? ?;0 )( Doyx(1)(1)(2)(2).22 Doyx)( .)(, )(),(, )(2222分分时时用用极极坐坐标标的的一一部部或或积积分分区区域域为为圆圆域域或或圆圆为为一一般般情情况况下下，被被

20、积积函函数数xyfyxfxyfyxf DxyxDyxI2:,d12222 ：计算：计算例例xyO12cos20 ,22| ),(: D解解 22cos202dd 原原式式932 22dcos383 .0,0,1,4,darctan 22222围围成成由由其其中中求求例例 xxyyyxyxDxyID 210dd4 I2643 ,21 ,40| ),(: D解解yx21Oxy 解解在在极极坐坐标标系系下下 sincosyx所所以以直直线线 y= x 的的方方程程为为 4 , 直线直线 x = 1 的方程为的方程为 seccos1 , Dyxyxfdd),(.d)sin,cos(d40sec0 fx

21、y11xy o解解32 61 sin4 sin2 yxyxDdd)(22 36sin4sin22dd ).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy,sin2sin2,36| ),( D解解由由对对称称性性，可可只只考考虑虑第第一一象象限限部部分分， 注注意意：被被积积函函数数也也要要有有对对称称性性. Dyxyxyxdd)sin(2222 210dsind42 . 4 14DD 1D 1dd)sin(42222Dyxyxyx yx42O1D2D Dyxyxdd|4|22 21dd)4(dd)4(2222DDyxyxyxyx 4222020220d)4(dd)4(d 4436

22、8 解解解解在在极极坐坐标标系系下下yxeDyxdd22 ae020dd2 ae02212 ).1(2ae 2xe 由于由于 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , ,故本题无法用故本题无法用直角坐标计算直角坐标计算. .,20,0| ),( aD例例 求求广广义义积积分分 0d2xex. 解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe1D2DSS1D2DRR2 122ddDyxyxe Syxyxedd22 222ddDyxyxe利用例利用例7 7可得到一个在概率论与数理统

23、计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式2d02 xex RyRxyexe00dd22;)d(202 Rxxe Re00dd22 );1(42Re );1(422Re SyxyxeIdd22又又 122dd1DyxyxeI同理同理 222dd2DyxyxeI当当R时时, ,41 I,42 I故故当当 R时时, ,4 I即即 20)d(2xex4 , 所所求求广广义义积积分分 0d2xex2 . ,21III );1(4)d()1(4222220RRxRexee 解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(22222

24、2yxayx ,2cos2 a ,222aayx 1D 得得交交点点)6,( aA, 所所求求面面积积 Dyxdd 1dd4Dyx 2cos20dd46aa).33(2 a aa 2cos2由由二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）三、小结三、小结.d),(dd),()()(21 Dbaxxyyxfxyxf .d),(dd),()()(21 Ddcyyxyxfyyxf y型型x型型（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注

25、意使用对称性对称性） Df dd)sin,cos( .d)sin,cos(d)()(21 f.d)sin,cos(d)(0 f.d)sin,cos(d)(020 f计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域画出积分域 选择坐标系选择坐标系 确定积分次序确定积分次序 写出积分限写出积分限 计算要简便计算要简便域边界应尽量多为坐标线域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少积分域分块要少累次积好算为妙累次积好算为妙图示法图示法不等式不等式( (先积一条线先积一条线, , 后扫积分域后扫积分域) )( (可利用对称性可利用对称性) )设设)(xf在

26、在1 , 0上上连连续续，并并设设Axxf 10d)(， 求求 110d)()(dxyyfxfx. 思考题思考题1 1)(xdyyf不不能能直直接接积积出出,改改变变积积分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,思考题解答思考题解答则原式则原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxf故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 交交换换积积分分次次序序: ).0(d),(dcos022 afIa 思考题思考题2,cos022: arDo

27、xy思考题解答思考题解答 cosar Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdrI 一、一、 填空题填空题: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 10 , 10: yxD 2 2、 Ddyxx )cos(_._.其中其中D是顶是顶 点分别为点分别为 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的三角形闭区域的三角形闭区域 . . 3 3、将二重积分、将二重积分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由是由x轴及半圆周轴及半圆周)0(222 yryx所围成的闭区域所围成的闭区域, ,化为先对化为先对y后对后对x的二次积分的二

28、次积分, ,应为应为_._.练练 习习 题题 4 4、将将二二重重积积分分 Ddyxf ),(, ,其其中中D是是由由直直线线 2, xxy及及双双曲曲线线)0(1 xxy所所围围成成的的闭闭区区 域域, ,化化为为先先对对x后后对对y的的二二次次积积分分, ,应应为为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 5 5、将二次积分、将二次积分 22221),(xxxdyyxfdx改换积分次序改换积分次序, , 应为应为_._. 6 6、将二次积分、将二次积分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改换积分次序改换积分次

29、序, , 应为应为_._. 7 7、将二次积分、将二次积分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改换积分次序改换积分次序, , 应为应为_._.二、画出积分区域二、画出积分区域, ,并计算下列二重积分并计算下列二重积分: : 1 1、 Dyxde , ,其中其中D是由是由1 yx所确定的闭区域所确定的闭区域. . 2 2、 Ddxyx )(22其中其中D是由直线是由直线 xyxyy2, 2 及及所围成的闭区域所围成的闭区域. . 3 3、 xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),( 。4 4、,2 Ddxdyxy其其中中D: : 20 , 11

30、 yx. .三、设平面薄片所占的闭区域三、设平面薄片所占的闭区域D由直线由直线, 2 yxxy 和和x轴所围成轴所围成, ,它的面密度它的面密度22),(yxyx , ,求该求该薄片的质量薄片的质量 . .四、四、 求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz , ,所围成的所围成的立体的体积立体的体积 . .一、一、1 1、1 1； 2 2、23 ；3 3、 220),(xrrrdyyxfdx；4 4、 22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdy；5 5、 211210),(yydxyxfdy；6 6、 yyydxyxfdydxyxfdyarcsinarcsin10arcsin201),(),( ； 7 7、 21120),(xexdyyxfdx. .练习题答案练习题答案二二、1 1、1 ee； 2 2、613； 3 3、 ； 4 4、235 . .三三、34. .四四、 6. .一、一、 填空题填空题: :1 1、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xyx222 , ,表示为极坐表示为极坐标形式的二次积分标形式的二次积分, ,为为_._.2 2、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xy 10, ,10 x, ,表表示为极坐标形式的二次