完整版阿氏圆问题归纳

1、阿氏圆题型的解题方法和技巧以阿氏圆阿波罗尼斯圆为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现,对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要 .具体内容如下：阿氏圆定理全称：阿波罗尼斯圆定理,具体的描述：一动点 P到两定点A、B的距离之比等于定比 n丰1,那么P点的轨迹,是以定比n内分和外分定线段 AB的两个分点的连线为直径的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,该圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.定理读起来和理解起来比较枯燥,阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB k丰1P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,k丰1P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆根本解法：构造母子三角形相似【问题】

2、在平面直角坐标系 xOy中,在x轴、y轴分别有点Cm, 0 , D0, n.点P是平面 内一动点,且 OP=r,求PC+kPD勺最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹 圆,以点.为圆心、r为半径画圆；假设圆已经画出那么可省 略这一步第二步：连接动点至圆心 0将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接 ,即连接OR OD第三步：计算出所连接的这两条线段OR OD长度；第四步：计算这两条线段长度的比k;第五步：在 OD上取点 M,使得 OM:OP=OP:OD=k第六步：连接CM与圆.交点即为点P.此时CMgP所求的最小值.【补充：假设能直接构造相似计算的,直接计算,不能直接构造相似计

3、算的,先把k提到一,1括号外边,将其中一条线段的系数化成；,再构造相似进行计算 】习题【旋转隐圆】如图,在Rt A ABC中,/ ACB=90 , D为AC的中点,M为BD的中点,将线段AD绕A点任意旋转(旋转过程中始终保持点M为BD的中点),假设AC=4, BC=3那么在旋转过程中,线段C咔度的取值范围是 .1. Rt ABC中,/ ACB=90 , AC=4 BC=3 点.为 ABC内一动点,满足 CD=2 贝U AD+2 BD3的最小值为.2. 如图,菱形 ABCD勺边长为2,锐角大小为 60° , O A与BC相切于点E,在O A上任取一-3点P,贝U PB+业3 PD的最小

4、值为2【旅转隐圆】第1鞭第2题3. 如图,菱形 ABCD勺边长为4, / B=60° ,圆B的半径为2, P为圆B上一动点,贝U PD+11 PC的最小值为.24. 如图,点 A, B在O.上,OA=OB=12,OA OB点C是OA的中点,点 D在OB上,OD=10.动., 1点P在.上,贝U PC+ PD的最小值为 .25. 如图,等边 ABC的边长为6,内切圆记为.O P是圆上动点,求 2PB+PC勺最小值.第3题第4题第5题6. 如图,边长为4的正方形,内切圆记为 O, P是圆上的动点,求 J2pa+pb勺最小值.7. 如图,边长为4的正方形,点 P是正方形内部任意一点,且BP

5、=2那么PD+1PC的最小值2为; <2 PD+4PC勺最小值为.8. 在平面直角坐标系 xOy中,A(2 , 0) , B(0,2) , C(4, 0), D(3, 2) , ?是左AOB7卜部的第 象限内一动点,且/ BPA=135 ,贝U 2PD+PC勺最小值是 .9,在 ABC中,AB=& BC=8ZABC=60 , O A的半径为6, P是O A上的动点,连接PB PC,那么3PC+2PB勺最小值为4为半径作O C.10.如图,在 Rt ABC中,/ A=30° , AC=8,以 C为圆心,试判断O C与AB的位置关系,并说明理由；点F是C上一动点,点 D在A

6、C上且CD=2试说明 FCLA ACF1 EF+ FA的最小值.2 点E是AB上任意一点,在(2)的情况下,试求出B11.(1)如图1,正方形 ABCD勺边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+1 PC的最小值和PD-1 PC的最大值；2 2如图2,正方形 ABCD勺边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那,2, 一2,么PD+PC的最小值为 , PD-PC的最大值为 .3 3如图3,菱形 ABCD勺边长为4, Z B=60° ,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个 动点,那么PD+1PC的最小值为 , PD-1PC的最大值为 .2212.问题提出：如图

7、1,在Rt ABC中,/ ACB=90 , CB=4, CA= OC半径为2, P为圆上 _ ,、 _ 1- 一动点,连结 AP、BP,求AP+BP的最小值.2(1)尝试解决：为解决这个1可题,卜面给出一种解题思路：如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,那么有 CDC1,又.PCDW BCP PCEA BCP.二-D-,CPCB2BP2PD=1 BP, AP+1 BP=AP+PD22 1,请你完成余下的思考,并直接写出答案：AP+BP的最小值为 .2自主探索：在“问题提出的条件不变的情况下,-AP+BP的最小值为 .3 拓展延伸：扇形 COW, / COD=90 , OC=6 OA=3

8、 OB=5,点P是弧CD上一点,求 2PA+PB的最小值.【二次函数结合阿氏圆题型】13.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3 (a丰0)与x轴交于点 A (4, 0),与y轴交于点B,在 x轴上有一动点E (m 0) ( 0v rnK 4),过点E作x轴的垂线交直线 AB于点N,交抛物线 于点P,过点P作P机AB于点M求a的值和直线AB的函数表达式；设 PMN!勺周长为 C1, AEN的周长为 C2, 假设C 6,求m的值； C25如图2,在(2)条件下,将线段 OE绕点O逆时针旋转得到 OE',旋转角为a ( 0° Va V90° ),连接 E'

9、A、E' B,求 E' A+2 E' B 的最小值.3,AC=D,求CD的长.问题背景：如图1,在 ABC中,BC=4, AB=2AC问题初探：请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB=问题再探：如图2,在AC右侧作/ CADW B,交BC的延长线于点 问题解决：求 ABC的面积的最大值.1.小明的数学探究小组进行了系列探究活动.类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形.探索理解：如图1,A、B C在格点(小正方形的顶点)上,请你协助小明用两种不同的方法 画出格点D,连接DA DC使四边形 ABCC邻等四边形；r_r T-r -i

10、r rr r _r _i尝试体验：如图 2,邻等四边形 ABCW, AD=CD Z ABC=120 , / ADC=60 , AB=2, BC=1,求四边 形ABCD勺面积.解决应用：如图 3,邻等四边形 ABCW, AD=CD Z ABC=75 , Z ADC=60 , BD=4小明爸爸所在的工厂,需要裁取某种四边形的材料板,这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形, 要求尽可能节约.你能求出这种四边形面积的最小值吗如果能,请求出此时四边形 ABCE®积的最小值；如果不能,请说明理由.2. 我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形.(1)如图1,在四边形ABC/,添加一个条件使得四边形 ABCD是“等邻边四边形.