平面解析几何知识点归纳

1、平面解析几何知识点归纳知识点归纳直线与方程1. 直线的倾斜角规定：当直线l与x轴平行或重合时,它的倾斜角为0范围：直线的倾斜角 0(的取值范围为0,冗) 兀. 一2. 斜率：k= tan ot (a# 万),k u R斜率公式：经过两点 Pl(x1, y1) , P2(x2, y2) (x1 #x2)的直线的斜率公式为 kPlP2 = 四X2 - xi3.直线方程的几种形式名称方程说明适用条件斜截式y = kx +bk是斜率b是纵截距与x轴不垂直的直线点斜式y y° =k(x x°)(xo, y0)是直线上的点两点式y y _ xx y2 - y x2 - xi(xi 次,

2、*扣2)(为,贝),(x2, v2是直线上的两个点与两坐标轴均不垂直的直线截距式x y -+-=1 a ba是直线的横截距b是直线的纵截距不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax +By +C =0(A2 +B2 尹0)当B=0时,直线的横截距为CA当B#0时,ACC,一,一分别为直线B A B的斜率、横截距,纵截距所有直线水平提升斜率应用例 1.函数 f (x) =log2(x+1)且 a?bcA0,贝U -,-,上(Q的大小关系a b c例2.实数x, y满足y=x2 2x + 21主xid, 试求-3的最大值和最小值x 2两直线位置关系 两条直线的位置关系位置关系Eg11 : A1x

3、+B1y+C1 =012 : A2 x + B2 y + C2 = 0平行k =k2,且 b #b2A1B1C1=尹(A1 B2-A2B1=0)a2b2c2重合k1 = k2,且 b1 = b2A1 B1 C1 a2 b2 c2相交£k # k2A1B1手AB2垂直k1 k2 = -1A1 A2 + B1B2 = 0设两直线的方程分别为：l1：y=k1xb1 或 l1：Ax B1yC1=0 .当 k - k A B - A B12：y = k2x + b2 或 12： A2x+B2y+C2=0'$ k1k2 或时匕们相交,交点坐标为方程组：y =kx +加成:Ax + By

4、+G =0、y=k2x+b2 A2x + B2y+C2 = 0直线间的夹角:假设8为11到12的角,taz =室 1 或 tam =1 k2k1A代 B1B2假设时为li和l2的夹角,贝U tan =k2 - ki1k2k1或 tan 口 =A1B2A2B15 +B1B2当 1 +k1k2 =0 或 A,A2 +B1B2 = 0 时,8 =90°直线 11 到 12 的角 10 与 1和 I2 的夹角 a : a =10 (时 )或 a =R _e(B a；)；距离问题1.平面上两点间的距离公式Fl(X1, yi),F2(x2,y2)那么 RR = J(x2-X1) +(y2- yi

5、)2点到直线距离公式Ax0 By： C点P(x°, y°)到直线l : Ax + By + C = 0的距离为：d = -A2 B23.两平行线间的距离公式两条平行线直线li和12的一般式方程为li: Ax + By+Ci = 0 ,cr ,3.|Ci - C2l2 : Ax+By+C2=0,贝U li 与 l2 的距离为 d A2 B24.直线系方程：假设两条直线|i : Ax + B+Gn.,l2: A2x + B2y+C2= 0有交点,那么过li与l2交点的直线系方程为(Ax + B y +C)+ MA2x + B2 y + C2) = 0或(A2x + B2y +C

6、2)+ MAx +By +C)=0 (入为常数)对称|可题1.中点坐标公式：点A(xi, yi), B(x2, y2),那么A,B中点H (x, y)的坐标公式为X _ XX2x 2v=y2点P(x.,y°)关于A(a, b)的对称点为Q(2a -x°,2b -y°),直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题.2.轴对称：点P(a,b) 关于直线Ax + By+c =0(B #0)的对称点为P'(m,n),那么有n-b A(二)m -a Ba mAB2,直线关于直线对称问题可转化为点关于直线对称问题.b nC =02(i)中央对称:点关于点的对称:该点是

7、两个对称点的中点,用中点坐标公式求解,点A(a, b)关于C(c,d)的对称点(2ca,2d b)直线关于点的对称：l、在直线上取两点,利用中点公式求出它们关于点对称的两点的坐标,再由两点式求出直线方程；、求出一个对称点,在利用1/2由点斜式得出直线方程；m、利用点到直线的距离相等.求出直线方程.如：求与直线|1 :2x+3y6 = 0关于点P(1,1)对称的直线2的方程. 点关于直线对称：I、点与对称点的中点在直线上,点与对称点连线斜率是直线斜率的负倒数.n、求出过该点与直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利用中点坐标公式求解.如：求点 A(3,5)关于直线:3x4y+4 =

8、0对称的坐标. 直线关于直线对称：(设a,b关于对称)I、假设a,b相交,贝U a到的角等于b到的角；假设a/,贝U b/ ,且a,b与的距离相等.、求出a上两个点A, B关于的对称点,在由两点式求出直线的方程.川、设P(x,y)为所求直线直线上的任意一点,那么 P关于的对称点P'的坐标适合a的方程.如：求直线a:2x + y4=0关于:3x+4y1=0对称的直线b的方程.水平提升例1.点P(2,1)到直线mx y 3 = 0(m肴R)的最大距离为例2.点A(3,1),在直线y = x和y = 0上各找一点 M和N ,使AAMN的周长最短,并求出周长.线性规划问题：(1) 设点 P(x

9、0, y0)和直线 : Ax +By +C = 0 ,假设点P在直线上,贝U Ax.+By° +C =0 ;假设点P在直线的上方,贝U B( Ax.+ By.+ C)?0 ;假设点P在直线的下方,那么B(Ax0 +By0 +C) <0 ；(2) 二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式 Ax + By + C a 0( < 0), 当B?0时,贝U Ax +By +C?0表示直线l : Ax+ By +C =0上方的区域;Ax +By +C <0表示直线l : Ax + By+C=0下方的区域; 当B <0时,贝U Ax +By +C >0表

10、示直线l : Ax+ By +C =0下方的区域;Ax +By +C <0表示直线l : Ax + By+C=0上方的区域;注意：通常情况下将原点(0,0)代入直线Ax + By+ C中,根据>0或< 0来表示二元一次不等式表示平面 区域.(3)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解(x, y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.注意：当B?0时,将直线 Ax + By =0向上平移,贝U z = Ax + By的值越来越大;直线Ax + By = 0向下

11、平移,贝U z = Ax + By的值越来越小；当B < 0时,将直线 Ax + By = 0向上平移,贝U z = Ax + By的值越来越小；直线Ax十By = 0向下平移,那么z = Ax+By的值越来越大；如：在如下列图的坐标平面的可行域内(阴影局部且包括周界),目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,那么a为;(1)设点 P(x°, y°)和直线 l : Ax +By +C = 0 ,假设点P在直线l上,那么Ax0 +By0 +C = 0 ；假设点P在直线l的上方, 那么 B(Ax° +By° +C) >0 ；假设点P在直线

12、l的下方,那么B(Ax0 +By0 +C) <0 ；(2)二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式 Ax + By + C a 0( < 0),当B >0时,贝U Ax +By +C?0表示直线l : Ax+ By +C =0上方的区域;Ax十By十C <0表示盲线l : Ax + By +C =0下方的区域：当B <0时,贝U Ax +By +C?0表示直线l : Ax+ By +C =0下方的区域;Ax +By +C <0表示直线l : Ax + By+C=0上方的区域;次不等式表示平面注意：通常情况下将原点(0,0)代入直线 Ax+By十C

13、中,根据>0或< 0来表示二元一 区域.(3)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.生产实际中有许多满足线性约束条件的解(x, y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域.问题都可以归结为线性规划问题.注意：当B?0时,将直线 Ax + By= 0向上平移,贝U z = Ax+By的值越来越大;直线Ax + By = 0向下平移,贝U z = Ax + By的值越来越小；当B < 0时,将直线 Ax + By = 0向上平移,贝U z = Ax + By的值越来越小；直线Ax + By = 0向下平移,贝U z = Ax +

14、 By的值越来越大；如：在如下列图的坐标平面的可行域内(阴影局部且包括周界),目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,贝U a为;O圆与方程,、2,.、22 一2.1圆的标准方程：(xa) +(yb) =r圆心C(a,b),半径r特例：圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程是：x2 y2=r2 .2.2点与圆的位置关系：1.设点到圆心的距离为 d,圆半径为r:(1)点在圆上 =d=r; (2)点在圆外 =d> r; (3)点在圆内 =dv r.2. 给定点 M (x0,y°)及圆 C :(x a)2+(y b)2m2 . M 在圆 C 内 u (x0a)2+(y0-b)2&

15、lt;r2 M 在圆 C 上 u (x0-a)2+(y0f)2m2 M 在圆 C 外u (x0a)2+(y0-b)2>r22.3 圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F =0 .当d'+e'wf?0时,方程表示一个圆,其中圆心 CD E 、-T一万J'半径r.D 2 E2 4F2当D2+E2WF =0时,方程表示一个点 当d2+e2wf <0时,方程无图形(称虚圆)注：(1)方程 Ax2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+F =0表示圆的充要条件是:B=0 且 A=C#0且 D2+E2-4AF >0 .圆的直径系方程： AB是圆的直径Axi,yiBx

16、2,y2= x-xix-x2y-yy-y2=02.4直线与圆的位置关系：直线Ax+By+C=0与圆(x a)2 + (y b)2 = r2的位置关系有三种,d是圆心到直线的距离,(dAa Bb C,A2 B2(i) d?r u 相离 u A <0 ； d = ru 相切 u =0；(3) d < r u 相交仁 A >02.5两圆的位置关系设两圆圆心分别为 .1, O2,半径分别为1,2, OO2 =d.(1) d ar +r2 u 外离u 4条公切线；(2) d = r +r2u 外切u 3条公切线；(3) n -r2 <d <r1 +r2 =相交u 2条公切线；(4) d =|r -r2 u内切u 1条公切线；(5) 0 <d eg r2|u内含u无公切线；外离外切相交 内切 内含圆的切线方程：1. 直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径r; (2)圆心与切点的连线与直线垂直(斜率互为负倒数)2. 圆x2+y2m2的斜率为k的切线方程是 y=kx±、14k2r过圆x2+y24Dx+Ey+F =0上一点P(x0,y°)的切线方程为：x0x +y0y +D * *0 +E y "0 +F =022'一般方程假设点(x