圆锥曲线中点弦问题

1、关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问 题.这类问题一般有以下三种类型：(1)求中点弦所在直线方程问题；(2)求弦中点的轨迹方程问题；(3)求弦中点的坐标问题.其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中央 对称变换法等.一、求中点弦所在直线方程问题22例1过椭圆 士 1内一点M(2, 1)引一条弦,使弦被点 M平分,求这条弦所在的直线 164方程.解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理得：(4k2 1)x2 8(2k2 k)x 4(2k 1)2 16 0又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1

2、),b (X2,y2),那么x1,X2是方程的两个根,于是8(2k2 k)x1 x2 2T2一；一,4k 14(2k2 k)又M为AB的中点,所以 x一丝 空士一k) 2 , 2 4k2 1 m1解得k2故所求直线方程为 x 2y 4 0.解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1), B (x2,y2), M (2, 1)为 AB的中点,所以 x1 x24 , y1 y22 ,2 一 2又A、B两点在椭圆上,那么 x1 4 yl两式相减得(x12 x22) 4(y12 y22)所以一2L即x x24( y1 y)2故所求直线方程为 x 2y 4 0.解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为那么另

3、一个交点为 B(4- x ,2 y ),由于A B两点在椭圆上,所以有(4两式相减得x 2y 4 0, 由于过A、B的直线只有一条,故所求直线方程为 x 2y 4 0.、求弦中点的轨迹方程问题22_16 , x24y216 ,0,kAB2,A( x , y ),由于中点为M (2, 1),22x 4y 16x)2 4(2 y)2 1622例2过椭圆y 64361上一点P (-8, 0)作直线交椭圆于 Q点,求PQ中点的轨迹方程.解法设弦PQ中点 M ( x, y),弦端点 P ( x1,y1),Q ( x2, y2),C 2“2那么有 9x1216 y129x216y2576 ,两式相减得9(

4、x12 x22)576i6(yi2y；)o,又由于 xi x2 2x, yi y2 2y,所以 9 2x(xi x2) 16 2y(yi y2) 0 ,yi y2 9x ,y 0 花 9x y所以工匕,而kPQ -,故 -.xi x2 i6yx ( 8) i6y x 8化简可得 9x2 72x i6y2 0 (x 8).解法二：设弦中点 M( x, y) , Q( x1,y),由 x x-, y 2可得 xi 2x 8 , y1 2y ,222又由于Q在椭圆上,所以 包64鱼13622纹 1 ,即 4(x 4)3664所以PQ中点M的轨迹方程为(x 4)16x 8).三、弦中点的坐标问题例3求

5、直线y x 1被抛物线y2 4x截得线段的中点坐标.解：解法一：设直线 y x 1与抛物线y2 4x交于A(x1,y1) ,B(x2, y2),其中点y x 1P(xo,yo),由题意得2,y 4x消去 y 得(x 1)2 4x ,即 x2 6x 1 0 ,所以x° x一闻 3, y°Xo 1 2,即中点坐标为(3,2).2解法二：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于A(xi, yi) , B(x2, y2),其中点P(x°, y°),由题意得yi24X1,两式相减得y22y124(x2x1),y24x2所以(y2 yi)(y2 yi)4,x2 X1所

6、以yi y2 4,即y0 2 , X0y0 1 3,即中点坐标为(3,2).上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些根本解法.下面我们看一个结论弓理 设a、b是二次曲线c： Ax2 cy? Dx Ey F 0上的两点,p(X0,y0)为弦ab 的中点,那么k ABE 0)2设 A(xi,yi)、B(x2,y2)那么 Axi2Ax2(2)得 A(Xi . 2 Ax0(Xi X2). (2AX0 D)(XiX2)(Xi X2)2Cyi2CV2C(yiDxi Eyi F 0(1)2Cy0(yiy2)D(xiX2) (2Cy0 E)(yi2Cv0 E 0 . xiX2yiy2Xix2B

7、时,上面的结论就是过2Ax0 D2Cy0推论i2X0DX2y2)(yiX2)丫2)次曲线E)22设圆 X y Dx Ey F 0DEv2 f 0V, D(Xi X2)E(yiy2)02AX0 D2Cy0 Ek AB即(2)E(yi y2)02AX0 D2Cy0 E o (说明：当C上的点PX0,y0的切线斜率公式,即的弦AB的中点为P(x0, y0)( y00),那么2y0 E.假设点 P在圆上时,那么过点 P的切线斜率2X0 D2 V.E为)2推论2设椭圆a2Jib2的弦AB的中点为P(xo, yo) ( y00)kAB ,那么b2a?上yo.注:对aw b也成立.假设点kP在椭圆上,那么过

8、点 P的切线斜率为b2 9Xgy0 )推论3设双曲线24 i,、b 的弦AB的中点为P( x0, y0) (y0kAB0)那么b2a?上y0 .假设点P在双曲线上,那么过k耳?血P点的切线斜率为ay0 推论4设抛物线2y 2Px的弦ab的中点为p(xo, yJ ( y0kAB0)那么_Py0.假设点Pk -在抛物线上,那么过点 P的切线斜率为y0我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题,下面举例说明.例i、求椭圆2X252匕ii6 斜率为3的弦的中点轨迹方程.c 16 cx3?-解：设P (x,/75(,24i xy是所求轨迹上的任一点,那么有75 24125 y,故所示的轨迹方程为i6X+7

9、5y=0例2、椭圆2X2ab2ia b 0,A、B是椭圆上两点,线段 AB的垂直平分线2,2a b相交于P(x0,0),求证:2,2a bXo 证实：设AB的中点为Ta(Xi, Yi)b2aYi由题设可知AB与X轴不垂直, o2J?YYi.l的方程为：2 aXl 1T2a b22a b,.l±AB2 产(X bX1Xi)2 a Xo . | x1 | ab2令y=o2a IYi23?A(Xo Xi)例3、抛物线c： y X,直线1 : Y k(X 1)1,要使抛物线C上存在关于l对称的两点,k的取值范围是什么?解：设中点为C上两点A、P(Xo,Yo)(B两点关于Yoo)l对称,AB的

10、kAB1_P_2Yo Yoyoik2 ?Xo | b21k 2k(Xoi)i,Xo. PC1klYok(Xo 1) 1,111P( , k)2k2 P在抛物线内(k 2)(k24k* o,(i)中点弦问题:k32k 4 cL Q2 k 0.与抛物线有关的弦的中点的问题y =g+1与/ +y2 +a-丫 = 1交于两点,且这两点关于直缥+> = 0对称,那么痉+方=7令两交点是乃,都满足二次曲域方程.姻-"二°马+W+蛇一四二1有西-迎%+ m+8-%5+必+三瓦-电-01-乃=.丫同四为-初有近十七十十%十八二M西一两网一切8F 就是直线的斜率印七+叼；|乂十yj就是

11、交点中点坐标的两倍.由关于另 所一引直线对称,所以中-1,且交点的中点就是两直及交点为弓,占,所以一十七二1,乃+乃=1,所以又有1十1用"=.得到41卜上题麻烦了.是圆不用中点法例1由点2,0向抛物线y2 4x引弦,求弦的中点的轨迹方程.分析：解决问题的关键是找到弦的端点A、B在直线上的性质和在抛物线上的性质的内在联系.解法1：利用点差法.22设骊点为 A xi, yj , BX2,y2,那么 yi4xi, y4x2 ,两式相减得y22 y12 4 x2 x1,式两边同时除以x2 x1 ,得y2 y1 yy1 4 ,x2 xi设弦的中点坐标为x, y,那么x1 x2 2x, y1

12、y2 2y ,又点x, y和点2,0在直线AB上,所以有 y- y一y1.x 2x2 x1将、代入得 2y4, 整理得y2 2x 2.故得中点的轨迹方程是 y2 2x 2在抛物线y2 4x内部的局部.解法2：设弦AB所在直线的方程为 y kx 2,y kx 21,由方程组9消去x并整理得ky2 4 y 8k 0,3y2 4x24设AJiyJ、Bx2,yz、中点x, y,对于万程3,由根与系数的关系,有 y y2,k2(x 2)y1y2212 y-代入(i)得 y2k故得所求弦中点的轨迹方程是y2 2(x 2)在抛物线y2 4x内部的局部.评注：(1)求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所

13、满足的关系式,此题所给出的两 种方法,都是找动点(x,y)与条件的内在联系,列关于 x, y的关系式,进而求出轨迹的方程.设抛物线y2 2px(2)弦中点轨迹问题p 0)的弦 AB , A (xi, yi) , B(x2, y2),弦 AB 的中点 C(xo, yo),2那么有yi2y22pxi2 Px2(12),(1) ( 2)2yi2y22p(xi X2),.yiy2xix22Pyiy2将 yi y22 yo, kABy1y2q _-一氾,代入上式,并整理得kABxix2,这就是弦的斜率与中点 yo的关系,要学会推导,并能运用.例2抛物线y22x ,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于 A

14、,B两点,试求弦AB的中点轨迹方程.解：如图,设弦AB的中点为M,并设A、B、M点坐标分别为(Xi, yi) , (X2, y2),(x,y),2_根据题意设有yi2x1,2y2xix2yiy22y,yiy2xix2代人得,2y( yiy2)2(xix2),. xix2 ,.以上xix2代入得,y2 y x评注：此题还有其他解答方法,如设 AB的方程为y k(x 2) i ,将方程代入y22x ,禾1J用根与系数的关系,求出弦中点的轨迹方程.专题：直线与抛物线的位置关系及中点弦问题1)位置关系二设直线氏+ M"j£O) 他物线 p=2/u(p>.)联立解制： ky1

15、- 2py + 2 pm = 0 G假设m :自线与抛物线的对称轴平行或重合,直线与抛物线相交于一点二假设m,A >0n宜线与抛物线相交,布两个交点；A = 0 =直线与版物线相切,行一个交点；A<Un白浅与跑物畿相离.无交点;：(2)相交弦关二直线与网钺曲跋相交的弦长公式设直线t.y=kx+n.圆犯曲线：A(r,v)=Ot它.的交点为P出加,P> (M初,v) = 0,目由?消去T得到m+fu+尸.：m#l). Sr-即.) - fcv + n设4(xt,yj.B(x2,y2) r那么弦长公式为:Ml AS 1= Ji +,4国+巧f-4,用假设联 消去工得丁的一兀二次方将

16、：5v= +公+ q = 0)设 A(xP yj,B(x2,yJ1那么I 4E1= Jl + j+ 外产 一4凶当(3)典倒分析:例1抛物线的方程为y2=4与直线L过定点Pf-2,1),斜率为k*为何值时,直线L与抛物线r=4x:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点解；由题意,设直线/的方程为y-1 =出(工+ 2 )由方程组B ；：+为fflJcMW,kya-4y + 4f2k + l)O (1)(1)当k = O时,由方程(1)得y = l将y =1代入y2 =4工,得工=L这时直线上与抛物线只有'个公共点g J )(2)当k丰0时,方程的判别式为0A = -l«(2

17、F+i-l)当A = 0 时,即2k* + k-l = O,解得k=-l,或k =；于是当k=-l,或k=;时,方程(1)只有一个解,从河方程组只有一个解.此时直线1与抛物线有一个交点.Q)当 A >0时即2/ + M-1?0,解得一 IV左V、2于是当-i<k« g时,方程1有两个解,从K方程组有闷个解,此叶直线1与抛物线有两个交点口当A <0时,即2/ +七-1 >0#解得k£ -1或它> -于早当k«-l或K>,上方程1没有解,从Iff方程明没有解'此时直嘱I与抛物线没有交段.保上所述：当；旦k,0时,直线和抛物线

18、有两个交点；当-1或k=乙或h0% 直线和抛物线有一个交点;2当k<-l曲k>g时,亶线和抛物饯没有交点.例,抛物线口炉=网,设支线与抛物线两交点为A, B,旦线段AB中点为M 乙 1,求直线,的方程.懈由题意可知,直缄1斜率一定存在F故可设A工L*yj日也3.力犬# X,那么 Xi + x2 = %y1+ y3 = 2由产=4& nM»= 4=2y =4心M 一 出 yi + "此时直彻的方程 为y-1 = 2(x-2),Rp2x-y-3 = 0由|丫 4、消K得yJ2y-6 =0 = a 02x * y - 3 = 0所以直线/的方程为y-l = 2

19、x-2RP2x-y3=0说明工中点蔻问题的常见解决方法:点差法例3抛物线的顶点在原色.焦戊在r轴的正平釉匚 直纯y = Tx +1被抛物线所载 得的弦4E的中点的纵坐标为-2.<1求抛物线的方程：2姑杏存在:弃迎点的定点,H,使得过H的动直线与抛物线相交J匕Q两点,I L以 PQ为直径的圆过原点解1：由条件可设抛物线方程为:y2 =2pxp>Q城立自线, = 7k+I化筒得：2,y2 + p,v-p = O设 4al. y, Z?a2t y;那么立 + y3 = 一?二-4 /4 p = 8 抛物线方程为：y? = 16工 22设存在满足条件的定点比 设动苴线方程为¥ 二 口十四大".联立抛物战方程化简W： ky2 -16y+16/7 = 0设尸.?,»,0勺,打那么有修勺十E力 = 0即：b = 6k 故动直线方程为7 =h- 16" = *5-16,恒过定点116, 0当直线斜率不存在叼,设直线方程为人=%,易解得出 = 16 0端匕 存在异于原点的定点打(16. 0)满足条件七例4N纹,过定点曲4口与抛物线.；炉=2内(尸0交P, Q两点,假设以PQ 为直径的阿恒过原点6 求p的他解t可设