第二节 可分离变量微分方程

1、第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、典型例题二、典型例题一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程形如形如 的方程，称为的方程，称为可分离变量可分离变量的微分方程的微分方程.)()(ygxfy 分离变量，得：分离变量，得：,d)(d)(xxfyyg 设设 y= (x) 是方程是方程的解的解, , 则有恒等式：则有恒等式： ,d)(d)()(xxfxxxg 两边积分两边积分, , 得得 ,d)(d)()( xxfxxxg yygd)( ,d)(xxf 即：即： 设函数设函数 G(y) 和和 F(x) 是是 g(y) 和和

2、 f(x) 的一个原函数的一个原函数 ,CxFyG )()(则有则有当当 G(y) 与与F(x)可微且可微且 G(y) =g(y) 0时时, 说明由说明由确定的隐确定的隐函数函数 y= (x) 是是的解的解. . 称称为方程为方程的的隐式通解隐式通解, , 或或通积分通积分. .同样同样, ,当当F(x) = f (x) 0时时, ,上述过程可逆上述过程可逆, ,由由确定的隐确定的隐函数函数 x= (y) 也是也是的解的解. . 一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程形如形如 的方程，称为的方程，称为可分离变量可分离变量的微分方程的微分方程.)()(ygxfy 求解步骤求解步骤： (

3、变量分离法变量分离法)1、分离变量、分离变量,得得,d)()(dxxfygy 2、两边积分、两边积分,得得,d)()(d xxfygy3、求出通解、求出通解.)()(CxFyG 隐函数确定的微分方程的解隐函数确定的微分方程的解微分方程的隐式通解微分方程的隐式通解例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2dd的的通通解解xyxy 解解分离变量分离变量 , 得得,d2dxxyy 两端积分两端积分 , 得得,d2d xxyy12lnCxy 2xCey 即即二、典型例题二、典型例题.2为所求通解为所求通解xCey 解得解得)(为为任任意意常常数数C例例2 2 求解微分方程求解微分方程.0)1(32的的通

4、通解解 xyy解解分离变量分离变量,得得,dd)1(32xxyy 两端积分两端积分,得得,dd)1(32 xxyy14341)1(31Cxy 解得解得.43)1(43为为所所求求通通解解Cxy Cxy 4343)1(即即)(为为任任意意常常数数C.1)0(cos52的特解的特解满足初始条件满足初始条件求求例例 yxyy解解分离变量分离变量,得得,dcosd2xxyy 两端积分两端积分,得得,dcosd2 xxyyCxy sin1解得解得,10 xy代代入入,1 C得得.1sin1 xy所求特解为所求特解为Cxy sin1即即例例 6 6 衰衰变变问问题题:衰衰变变速速度度与与未未衰衰变变原原子

5、子含含量量M成成正正比比,已已知知00MMt ,求求衰衰变变过过程程中中铀铀含含量量)(tM随随时时间间t变变化化的的规规律律. 解解根据题意根据题意, ,有有)0(dd MtM00MMt (初始条件初始条件)对方程分离变量对方程分离变量, MMd,lnlnCtM 得得即即teCM 利用初始条件利用初始条件, , 得得0MC 故所求铀的变化规律为故所求铀的变化规律为.0teMM M0Mto 然后积分然后积分:td)( 解解 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律 , 得得 tvmdd, 00 tv初始条件为初始条件为对方程分离变量对方程分离变量 ,mtvkmgvdd 然后积分然后积分 :得得,)(l

6、n1Cmtvkgmk )0( vkgm此处此处利用初始条件利用初始条件, ,得得),(ln1gmkC 代入上式后化简代入上式后化简, 得特解得特解)1(tmkekgmv mg, vk 例例 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比成正比, ,并设降落伞离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 )速度为速度为0,求求降落伞下落速度与时间的函数关系降落伞下落速度与时间的函数关系. . kmgv t 足够大时足够大时).(,lnd702xyyxyxx求求设设例例 解解得得求导求导方程两边同时对方程两边同时对,x,dd12xyyyx 分离变量分离变

7、量,dd22xxyy ,31113Cxy 解得解得.33Cxy 即即然后积分然后积分 : 00d)(d)(yyxxfyygxx可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程初值问题初值问题: :的解也可直接用变上限积分来确定：的解也可直接用变上限积分来确定： xxyyxxfyyg00d)(d)(分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分隐式通解隐式通解.三、小结三、小结若是求特解，还需根据初值条件定常数若是求特解，还需根据初值条件定常数 . .(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. .常用的方法常用的方法: :1)

8、 根据几何关系列方程根据几何关系列方程, ,2) 根据物理规律列方程根据物理规律列方程, ,3) 根据微量分析平衡关系列方程根据微量分析平衡关系列方程. .(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件. .(3) 求通解求通解, , 并根据初值条件确定特解并根据初值条件确定特解. . 3. 解解微分方程应用题的方法和步骤微分方程应用题的方法和步骤思考与练习思考与练习求方程的通解求方程的通解 :提示提示:)sin()sin(yxyxy 方程变形为方程变形为yxysincos2 Cxy sin22tanln一一、求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: 1

9、、0dtansecdtansec22 yxyxyx； 2、0d)(d)( yeexeeyyxxyx； 3、0dd)1(32 xxyy. 二二、 求求下下列列微微分分方方程程满满足足所所给给初初始始条条件件的的特特解解: 1、xxyyyxdsincosdsincos ,40 xy； 2、0dsin)1(dcos yyexyx, ,40 xy. . 练练 习习 题题三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动, ,这外力这外力和时间成正比和时间成正比, ,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比. .在在10 t秒时秒时, ,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50

10、, ,外力为外力为2/4秒秒厘米厘米克克 , ,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? ?四、 小船从河边四、 小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸( (两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船速为船速为, ,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直, ,设河宽设河宽h为为, ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比( (比例比例k系系数数为为).).求小船的航行路求小船的航行路线线 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)

11、(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. .二、二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . .三、三、3 .269 v厘米厘米/ /秒秒. .四、取四、取 0 0 为原点为原点, ,河岸朝顺水方向为河岸朝顺水方向为轴轴x, ,轴轴y指向对指向对 岸岸, ,则所求航线为则所求航线为)312(32yyhakx . .例例 9 有高为有高为 1 m 的半球形容器的半球形容器 , 水从它的底部水从它的底部小孔流出小孔流出 , 小孔横截面积为小孔横截面积为 1 cm2 (如图如图). 开始时开始时容器内盛满了水容器内盛满了水 , 求水从小孔流出过程中容器里求水从小孔流出过程中容器里水面的高度水面的高度 h (水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离) 随时间随时间t 的变化规律的变化规律 .解解由力学知识得由力学知识得,水从孔口流水从孔口流出的流量为出的流量为,262. 0ddghStVQ 流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度cm100horhdhh )1(,d262. 0dtghV 设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔,d,ttt 水面的高度由水面的高度由 h 降至降至 h+dh ,dd2hrV 则则,200)100(100222hhhr )2(,d)200(d2hhhV 比较比较(1)和和(2)得得:hh