圆与方程知识点总结典型例题

1、圆与方程1 .圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程是(x a)2 (y b)2 r2 .特例：圆心在坐标原点,半径为 r的圆的方程是：x2 y2 r2.2 .点与圆的位置关系：(1) .设点到圆心的距离为 d,圆半径为r：a.点在圆内 ='dvr; b.点在圆上|=>d=r; c.点在圆外=nd>r(2) . 给定点 M(x0,y0)及圆 C:(x a)2 (y b)2 r2. M在圆C 内(x0a)2(y0b)2r2 M在圆C 上(x0a)2(y 0b)2r2(3)涉及最值：圆内一点A,圆上一动点 M在圆C 外(x0a)2(y0b)2r2P ,讨论

2、| PB的最值|PB min | BN BC rPBmax BM| |BC rP ,讨论| PA的最值lPAmin lAN r |AClPAmax lAMlr|AC思考：过此 A点作最短的弦(此弦垂直 AC)一 D2 E2 4F3 .圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 . 当D2 E2 4F 0时,方程表示一个圆,其中圆心C(2)当D2 E2 4F 0时,方程表示一个点D,-22 当D2 E2 4F 0时,方程不表示任何图形.注：方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是：B 0且A C 0且_ 2 _ 2_ 一D2 E2 4AF 0 .4 .直线与圆的位置关系

3、:直线 Ax By C 0与圆(x a)2 (y b)2r2圆心到直线的距离dAa Bb C,A2B21) d r 直线与圆相离无交点；2) d r 直线与圆相切只有一个交点；3) d r 直线与圆相交有两个交点；弦长|AB| =2-Jr2d2还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解,通过解0Ax By C 022x2 y2 Dx Ey F的个数来判断：(1)当0时,直线与圆有2个交点,直线与圆相交;(2)当0时,直线与圆只有1个交点,直线与圆相切;(3)当0时,直线与圆没有交点,直线与圆相离；5 .两圆的位置关系(1)设两圆Ci：(xaj2(y1bl)2r：与圆 C2：(xa?)2(yb2

4、)21,圆心距 d(a1a2)2 (h b2)2d12外离4条公切线；dr1r2外切3条公切线；相交2条公切线；r1r2内切i条公切线；外离(2)两圆公共弦所在直线方程圆Ci :圆C2：那么D1D2riDix EiyD2x E2yEiE2内切Fi0,F20,FiF20为两相交圆公共弦方程补充说明:假设Ci与C2相切,那么表示其中一条公切线方程;假设C1与C2相离,那么表示连心线的中垂线方程(3)圆系问题过两圆C1 : x22yDixEiy2Fi 0 和 C2： x2yD2xe2yF20交点的圆系方程为x2 y2D1x E1y F122x y D2xE2yF2补充:上述圆系不包括 C2;2)当1

5、时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦)过直线Ax By C 0与圆x'2_ 一 一y Dx Ey F0交点的圆系方程为Dx Ey F Ax By C6 .过一点作圆的切线的方程：(1)过圆外一点的切线：k不存在,验证是否成立k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,即yi y0 k(xi X0)b yi k(a x1) .R2 1求解k,得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1 , 2)点作圆(x+1)2+(y2)2=4的切线,那么切线方程为 .(2)过圆上一点的切线 方程：圆(xa)2+(yb)2=r2,圆上一点为(X0, y.),2那么过此点的切线方程为 (x.一a)( x

6、a) +(y.-b)( yb) = r特别地,过圆x2 y2 r2上一点P(xo,y.)的切线方程为x°x y°y r2 .22例2.经过点P(-4, 8)点作圆(x+7) +(y+8) =9的切线,那么切线万程为 .7 .切点弦(1)过OC： (x a)2 (y b)2 r2外一点P(x.,y.)作OC的两条切线,切点分别为A、B, 那么切点弦AB所在直线方程为：(x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r28 .切线长：假设圆的方程为(x a)2(y b)2=r2 ,那么过圆外一点 Rxo, yo)的切线长为d=,(x0 a)2 + (y° b)2 r2

7、 .9 .圆心的三个重要几何性质：圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 圆心在某一条弦的中垂线上； 两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.10 .两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例.圆C: x2 + y2 -2x =0和圆Q： x2+ y2+4 y =0,试判断圆和位置关系,假设相交,那么设其交点为 A、B,试求出它们的公共弦 AB的方程及公共弦长.、求圆的方程例1 06重庆卷文以点2, 1为圆心且与直线3x 4y 5 0相切的圆的方程为一 22 一(A) (x 2) (y 1)3一 22 一(B)(x 2) (y 1)322 y 129y2 2ay 0 a 0没有公共点,那

8、么a的取值范1C .2 1,、. 2 1D0, ,2 1三、切线问题例3 06重庆卷理过坐标原点且与圆 x2 y21(A) y 3x或 y -x(B) y 3x或 y3c1c(C) y 3x 或 y -x(D) y 3x 或 y3四、弦长问题例4 06天津卷理设直线ax,c 5 c 一 , 一、,4x 2y 0相切的直线方程为21 x31 x32y 3 0与圆(x 1)22y 24相交于A、B两点,且五、夹角问题例5 06全国卷一文从圆x2 2x y22 y 10外一点 P3,2 向这个圆作两条切线,那么两切线夹角的余弦值为(A) 1(B) 3253(C)2(D) 0(C)(x 2)2 (y

9、1)29(D) (x二、位置关系问题例2 (06安徽卷文)直线x y 1与圆x2围是()(A) (0, , 2 1)(B) (2 1, . 2六、圆心角问题例6 06全国卷二过点1, J2的直线l将圆x 22y24分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k七、最值问题22例706湖南卷又圆x y 4x 4y 100上的点到直线x y 140的最大距离与最小距离的差是A 30B 18C6.2D 5 2八、综合问题例8 06湖南卷理假设圆x2y2 4x 4y 10 0上至少有三个不同的点到直线l : ax by0的距离为2 J5 ,那么直线l的斜率k取值范围圆的方程那么t的取值范围是1.

10、方程 x2+y2 2 (t+3) x+2 (1 4t2) y+16t4+9=0 (tGR)表示圆方程A. - 1<t< 1 B.-1<t<1C.- 1<t<1D.1<t<27272. 一圆与y轴相切,圆心在直线 x 3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为2 J7 ,求此圆的方程3. 方程x2+y2+Dx+Ey+F = 0 D2+E2-4F>0表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形,那么A.D+E=0B.B.D+F=0C.E+F=0 D. D+E+F=04. 2004年全国口,8在坐标平面内,与点 A 1,2距离为1,且与点B 3, 1距离为2

11、的直线 共有A.1条B.2条C.3条D.4条5. 2005年黄冈市调研题圆x2+y2+x- 6y+3=0上两点 P、Q关于直线 kx-y+4=0对称,那么k=.6. 2004年全国卷W, 16设P为圆x2+y2=1上的动点,那么点 P到直线3x-4y-10=0的 距离的最小 值为.7. 实数x、y满足方程x2+y24x+1=0.求1、的最大值和最小值；2 yx的最小值；x3 x2+y2的最大值和最小值.经过两圆的交点的圆系2222_例1.求经过两圆：x y 4x 6 0和X y 4y 6 0的交点且圆心的横坐标为的圆的方程.例2.设圆方程为：,_9 ,一 一 ,一 一、_(4)x2 (4)y2 (24)x (1240) y 48164 0 其中-4求证：不管 为何值,所给圆必经过两个定点.直线与圆的位置关系22例1：求由以下条件所决定圆 x y4的圆的切线方程; 经过点P(点1),经过点Q(3,0),斜率为1直线和圆1 .自点一3, 3发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射线所在直线与圆2 2_.,x y 4x 4y 7 0相切,求