分类讨论的思想方法---高考题选讲

1、分类讨论的思想方法(2)在解题时,我们常常会遇到这样一种情况,解到某一步之后,不能再以统一的方法,统一的式子继续进行了, 由于这时被研究的问题包含了多种情况,这就必须在条件所给出的总区域内,正确划分假设干个子区域,然后分别在多个子区域内进行解题,这里集中表达的是由大化小,由整体化为局部,由一般化为特殊的解决问题的方法,其研究方向根本是分,但分类解决问题之后,还必须把它们总合在一起,这种 合一分一合的解决问题的过程,就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想是以概念的划分、集合的分类为根底的思想方法,高考对分类讨论的思想的考查,有以下几个方面：一是考查有没有分类意识,遇到应该分类的情况, 是否想到要

2、分类, 什么样的问题需要分类例如(1) 有些概念就是分类定义的,如绝对值的概念,又如整数分为奇数、偶数,把三角 形分为锐角三角形,直角三角形,钝角三角形等等；(2) 有的运算法那么和定理,公式是分类给出的,例如等比数列的求和公式就分为q=1和q乒1两种情况；对数函数的单调性就分为a1, a0, a0,及., =Q 1 (a乒1)x-2a-(a-1)x-(a-2)解析：原不等式等价于： x-20,即a - 1x -并x - 2 0假设 a1,那么等价于x - a-2x - 2 0. a-i又2-弩 1a-1a-11v0, . .a2v 2a-1原不等式的解集为;-8,a-7U 2, + 勺； a

3、-1假设a1时,那么等价于a-2a-2 ax 并x - 2v 0.由于 2 -并=01,当0a2,原不等式的解集为(2, a-! 3logax-2 0).a-1a-1当a0时,弩2,原不等式的解集为(弩,2).a-1a-1当a= 0时,原不等式为(x - 2)2v 0,解集为0.综上所述：当a0时,原不等式的解集为；(, 2);a-1当a= 0时,原不等式的解集为0；当0a1时,原不等式的解集为;(-8,|4)U (2,+ 勺. a-1【点拨】：此题需要两级分类,a-2又需要讨论两个根 2 的大小,a-1第一级,按开口方向分类分a 1 和 av 1,在 a 0,a丰1)解析；转化为等价不等式组

4、,注意对于logax的底数的a进行讨论.原不等式等价于由得 log x 2,由得 log x1 ,由得 log x1, -1 log x1 , a 3a 4 aa 23 a 4 a ,当a1时,所求不等式的解集为 (x|a3 xa;当0a1时,所求不等式的解集为 (x| a4x a3或0xa .【点拨】：此题是一道等价转化与分类讨论的典型题,解此类根式、对数不等式时,要注意等价性、不要忽略不等式两边函数的定义域,根据对数函数的性质,对a进行分类讨论例4如图,一条线段 AB,它的两个端点分别在直二面角P-l-Q的两个平面内移动,假设AB和平面P、Q所成的角分别为 3 E,试讨论a+E的范围.解析

5、:(1)当 ABL l 时,ot+P=90.(2)AB与l不垂直时,在平面 P内作Ad l, C为垂足,连结 BG平面PL平面 QAd平面 Q,Z ABC是AB与平面Q所成的角,即/ ABC我在平面 Q内作BtU l,垂足为 D,连结 AR同理/ BAD女,在 Rt BDA和 Rt ACB中,B* BC, BD BC 即 sin 口 v sin Z BAC, AB AB.ct和 Z BAC 均为锐角,ocvZ BAC 而 Z BAC+=90 口+Pv 90.(3) 假设AB与l重合,那么a+P=0综上讨论可知0 y 90【点拨】：在几何问题中,研究各元素间的位置关系时,要注意每一个位置关系都不

6、可遗漏,对于多种可能的情况,必须分开来进行研究例5四个男孩和三个女孩站成一列,男孩甲前面至少有一个女孩站着,并且站在这个男孩前面的女孩个数必少于站在他后面的男孩个数的站法共有多少种解析：现在按男孩甲前面的男、女孩数来分类.第一类,甲前面有 2个女孩,其它男孩和另一女孩必须站在甲后面,有对A：(种)；112 4 一,第二类,甲刖面有一个女孩和一个男孩,有：C3C3a2a4(种)；第三,甲前面仅有一个女孩,有：a3A5(种)；满足条件的站法为：犬入4+?磷+犬犬=936(种).【点拨】：相当一局部排列组合应用问题需要分类求解,而排列组合应用题中的分类,与其它章节问题中的分类不同,它不是就某个字母的

7、取值范围不同或图形的形状、位置不同等进行的分类,而是就处理问题的不同方法去分类例6函数y= + +斗+四4的值域是()|sinx| cosx |tanx| cotxA.(-2,4B.(-2 , 0,4C.(-2 , 0, 2, 4D.(-4 , -2 , 0,4解析：须根据绝对值的意义去掉绝对值符号,因此必须对角x所在的象限进行讨论. k二由题意可知 *丰y(k e Z),(1) 当x在第一象限时,(2) 当x在第二象限时,(3) 当x在第三象限时,(4) 当x在第四象限时,y=1+1+1+1=4;y=1+(-1)+(-1)+(-1)=-2y=-1+(-1)+1+1=0 ;y=-1+1+(-1

8、)+(-1)=-2.故值域为-2,0,4, 应选B.【点拨】：由于三角函数在各象限内符号不同,依此特点,从不同的象限入手分类讨论 是解此类题的常见方法 例7直角坐标平面上点 Q(2, 0)和圆C: x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数入(入0).求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线解析：如图,设M涮圆于N,那么由动点M组成的集合是：P=M|MN|=入|MQ|,入0.七/7弑. .皿MN |ON|=1 , . |MN|2=|MO|2-1.设动点 M 的坐标为(x,y),贝U x2+y2- 1=入 2(x-2) 2+y2 ,、了 / 整理,得(入 2-1)(x 2+y2)-

9、4 入 2x+(4 入 2+1)=0./ 必於故 M 的轨迹方程是(入 2-1)(x 2+y2)-4 入 2x+(4 入 2+1)=0./ 当入=1时,方程化为x=5,且交x轴于点(：0)的直线；44(2)当入乒时,方程化为(x -它是以点(了名,0)为圆心,人-12入 2 2 2 1+3 入2E)+y =(入 J)2,为半径的圆【点拨】：点M的轨迹方程由条件很容易得出,此题考查的重点是曲线的类型,因 此,对于含有x2+y2项系数入2-1是否等于零进行了讨论.例 8.设 0x0 且 a丰 1,比较 |log a (1 x)| 与|log a (1 + x)| 的大小.【分析】比较对数大小,运用

10、对数函数的单调性,而单调性与底数a有关,所以对底数a分两类情况进行讨论.【解】0x101 x1 当 0a0 , log a (1 + x)0; 当 a1 时,log a(1 -x)0 ,所以|log a (1 x)| |log a (1 + x)| =- log a (1 x) log a (1 + x) = log a (1 一x 2)0 ;由、可知,|log a(1 x)|log a(1 + x)| .【点拨】此题要求对对数函数 y= log ax的单调性的两种情况十分熟悉,即当 a1时其是增函数,当0a1时其是减函数.去绝对值时要判别符号,用到了函数的单 调性；最后差值的符号判断,也用到

11、函数的单调性.例9.集合A和集合B各含有12个元素,AD B含有4个元素,试求同时满足下面两个 条件的集合C的个数：.CuAU B且C中含有3个元素；.C A A乒力.【分析】 由并结合集合的概念,C中的元素分两类：属于 A元素；不属于 A而属于B的元素.并由含 A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种.【勰】 C 1 - C2 -I- C2 - C1 -I- C3 - C0 = 1084用牛 C 12 Cg C2 Cg C2 Cg 1084【点拨】此题是排列组合中“包含与排除的根本问题,正确地解题的前提是合理科学 的分类,到达分类完整及每类互斥的要求,还有一个关键是要确定 C中元素如何取法.

12、另一种解题思路是直接使用“排除法,即C20 - C8 = 1084.例10.设a n 是由正数组成的等比数列,S n是前n项和. .证实：igSn igSn 2 . c 2 .,使得 dg=igSn + c成立并证实结论.95年全国理【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解.其中 在应用等比数列前 n项和的公式时,由于公式的要求,分q = 1和q乒1两种情况.【解】 设a n的公比q,贝U a1 0, q0.当 q = 1 时,Sn = na,从而 SnSn毛Sn% = nan + 2a n + 1 a=a1 20;a1 - qn当q丰1时,Sn = ,从而1 -

13、q%2(1 - qn1)2(1-q)2a 2qn0；2nn 吃、Q Q _ Q 2a1 (1 - q )(1 - q )Sn Snd2 _ Sndf -?2(1 q)由上可得 SnSn 毛Sn+2,所以 lg(S n$n 书)M(S n),即昭2 lgS f.要使 lgSn - c；lgSn- c = |gSn* c成立,那么必有Sn cS n七一C=S n- c 2,分两种情况讨论如下：当 q= 1 时,Sn = na1 ,贝U(S n c)(S n 甲c) (S n 早一c)2 = (na 1 c)(n + 2)a 1 c (n + 1)a 1 c 2a1 20a(1 -qn)当q丰1时,

14、Sn =1 -q那么 s - c)(s 停-c)-(Sn,-c)2=qpc02 c021 - c = a1qna1 c(1 - q)1 -q1 -qa 1qn 丰 0a1a c(1 q) = 0 即 c=11 -q而 Sn c = Sna1 -qna1q0,使得烦$一0一0 = lg(Sc)成立.【点拨】本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论.该题文科考生改问题为: g05Sn Pg0.52 log 0技仆,和理科第一问类似,只是所利用的是底数是证实2对数函数为单调递减.0.5 时,例11.设函数f(x) = ax2 2x + 2,对于满足1x0 ,求实数a的取值范围.【分析】值、最小值等值域

15、问题,需要先对开口方向讨论, 物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论, 得解.含参数的一元二次函数在有界区间上的最大再对其抛最后综合21【解】当 a0 时,f(x) = a (x)+ 2411 0a 一1 4 x1、- 4af(4) = 16a 8+2 0a 1 或a 一 ；2f (1)= a 2 +2 0当a.2【点拨】此题分两级讨论,先对决定开口方向的二次项系数a分a0、a0时将对称轴与闭区间的关系分三种,即在闭区间左边、右边、中间.此题的解答,关键是分析符合条件的二次函数的图像,也可以看成 是“数形结合法的运用.例12.解不等式(X+罗了 6a)0 (a为常数,a ：)【分析】 含参

16、数的不等式,参数 a决定了 2a+1的符号和两根4a、6a的大小,故对参数a分四种情况a0、a= 0、一】a0、a0时,a ; 4a0 .所以分以下四种情况讨论：2当 a0 时,(x + 4a)(x 6a)0 ,解得：x6a;当a= 0时,x20,解得：x乒0;、1当一a0,解碍:x 4a;2当 a时,(x + 4a)(x 6a)0,解得：6ax0时,x6a;当a= 0时,x乒0;当一；a0时,x,1 4a;当 a时,6ax 0,在复数集C中,解方程：z2 + 2|z| = a.【分析】由z2 + 2|z| = a和|z| C R可以得到z2 R,即对z分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解.【解

17、】|z| e R,由z 2 + 2|z| = a得：z2 e R；. z为实数或纯虚数当 z R时,|z| 2 + 2|z| = a,解得：|z| = 1 + J1 + az = ( 1 + v1+a)；当 z 为纯虚数时,设 z = y i (y0) , y2 + 2y= a解得:y= 1 + J1 一 a (0v a v 1)由上可得,z = ( 1 + % + a)或土(1 土 J1 _a ) i【点拨】此题用标准解法(设z = x + y i再代入原式得到一个方程组,再解方程组)过程十分繁难,而挖掘隐含,对z分两类讨论那么简化了数学问题.【另解】 设 z= x + y i ,代入得 x

18、 2 y2 + 2 (x2 + y2 + 2xy i = a;22- 22x - y 2 x y =a2xy = 0当 y = 0 时,x + 2|x| = a,解得 x= ( 1 + %坦 + a ),所以 z = ( 1 + J1 + a )；当 x= 0 时,一y2 + 2|y| = a,解得 y = + (1 + J1 - a ),所以土 (1 + J1 - a ) i.由上可得,z = ( 1 + J1 + a )或土 (1 + 5 -a ) i【点拨】此题属于复数问题的标准解法,即设代数形式求解.其中抓住 2xy = 0而分x =0和y = 0两种情况进行讨论求解.实际上,每种情况中绝对值方程的求解,也渗透了分 类讨论思想.例14.在xoy平面上给定曲线 y 2 = 2x,设点A(a,0) , a R,曲线上的点到点 A的距离的最小值为f(a),求f(a)的函数表达式.【分析】求两点间距离的最小值问题,先用公式建立目标函数,转化为二次函数在约束条件x0下的最小值问题,而引起对参数a的取值讨论.【解】 设M(x,y)为曲线y2 = 2x上任意一点,