2020-2021学年高一数学人教A版必修1学案：2.2.1 第2课时　对数的运算 Word版含解析

1、第2课时对数的运算目标 1.理解对数的运算性质；2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；3.了解对数在简化运算中的作用重点 对数的运算性质的推导与应用难点 对数的运算性质的推导和换底公式的应用.知识点一对数的运算性质填一填如果a>0，且a1，m>0，n>0.那么：(1)loga(m·n)logamlogan.(2)logalogamlogan.(3)logamnnlogam(nr)答一答1若m，n同号，则式子loga(m·n)logamlogan成立吗？提示：不一定，当m>0，n>0时成立，当m<0，n<0时不成立2你能

2、推导loga(mn)logamlogan与logalogamlogan(m，n>0，a>0且a1)两个公式吗？提示：设mam，nan，则mnamn.由对数的定义可得logamm，logann，loga(mn)mn.这样，我们可得loga(mn)logamlogan.同样地，设mam，nan，则amn.由对数定义可得logamm，logann，logamn，即logalogamlogan.知识点二换底公式填一填换底公式常见的推论：(1)loganbnlogab；(2)logambnlogab，特别logab；(3)logab·logba1；(4)logab·log

3、bc·logcdlogad.答一答3换底公式的作用是什么？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数4若log34·log48·log8mlog416，求m的值提示：log34·log48·log8mlog416，··log4422，化简得lgm2lg3lg9，m9.类型一对数运算性质的应用例1计算下列各式：(1)lglglg；(2)；(3)lg25lg8lg5lg20(lg2)2.分析(1)(2)正用或逆用对数的运算性质化简；(3)用lg2lg51化简解(1)(方法1)原式(5lg22lg7)×lg2

4、(2lg7lg5)lg2lg72lg2lg7lg5lg2lg5(lg2lg5)lg10.(方法2)原式lglg4lg(7)lglg(×)lg.(2)原式1.(3)原式2lg52lg2(1lg2)(1lg2)(lg2)22(lg5lg2)1(lg2)2(lg2)2213.利用对数的运算性质解决问题的一般思路：(1)把复杂的真数化简；(2)正用公式：对式中真数的积、商、幂、方根，运用对数的运算法则，将它们化为对数的和、差、积、商，然后再化简；(3)逆用公式：对式中对数的和、差、积、商，运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.变式训练1(1)计算：log5；lo

5、g2(32×42)9.(2)计算：lg8lg1253；lglg252；2log36log342.类型二换底公式的应用例2(1)计算：(log32log92)·(log43log83)；(2)已知log189a,18b5，试用a，b表示log3645.解(1)原式·.(2)由18b5，得log185b，log3645.利用换底公式可以统一“底”，以方便运算.在用换底公式时，应根据题目特点灵活换底.由换底公式可推出常用结论：logab·logba1.变式训练2计算下列各式：(1)(log2125log425log85)·(log52log254lo

6、g1258)(2)×log6432.解：(1)方法1：原式(log253)(log52)log25·(3log52)13log25·13.方法2：原式13.(2)方法1：原式÷log23×÷log23×.方法2：原式÷×××.类型三与对数方程有关的问题例3(1)若lg(xy)lg(x2y)lg2lgxlgy，求的值；(2)解方程：loglog2(x2)3.解(1)由题可知lg(xy)(x2y)lg(2xy)，所以(xy)(x2y)2xy，即x2xy2y20.所以220.解得2或1.又因

7、为x>0，y>0，xy>0.所以2.(2)由方程可得log2xlog2(x2)log28.所以log2x(x2)log28，即x(x2)8.解得x12，x24.因为x>0，x2>0，所以x2.对数方程问题的求解策略：利用对数运算性质或换底公式将方程两边写成同底的对数形式，由真数相等求解方程，转化过程中注意真数大于零这一条件，防止增根.变式训练3(1)方程lgxlg(x1)1lg5的根是(b)a1b2c1或2 d1或2(2)已知lgxlgy2lg(x2y)，则log的值为4.解析：(1)由真数大于0，易得x>1，原式可化为lgx(x1)lg2x(x1)2x2x

8、20x12，x21(舍)(2)因为lgxlgy2lg(x2y)，所以lgxylg(x2y)2，所以xy(x2y)2，即x25xy4y20.所以(xy)(x4y)0，解得xy或x4y.因为x>0，y>0，x2y>0，所以xy应舍去，所以4.故loglog44.类型四对数的实际应用例4人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系声音强度i的单位用瓦/平方米(w/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用l1表示，它们满足以下公式：l110lg(单位为分贝，l10，其中i01×1012 w/m2，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)回答下列问题：树叶沙沙声的强度是

9、1×1012 w/m2，耳语的强度是1×1010w/m2，恬静的无线电广播的强度是1×108w/m2，试分别求出它们的强度水平解由题意，可知树叶沙沙声的强度是i11×1012w/m2，则1，故li110·lg10，则树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是i21×1010w/m2，则102，故li210lg10220，即耳语声的强度水平为20分贝同理，恬静的无线电广播强度水平为40分贝对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值.计算时要注意利用“指、对

10、互化”把对数式化成指数式.另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算.变式训练4抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg20.301 0)解：设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%，则a(160%)n<0.1%a(设原先容器中的空气体积为a)，即0.4n<0.001，两边取常用对数得n·lg0.4<lg0.001，所以n>7.5.故至少需要抽8次1设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(b)alogab·logcblogcablogab&

11、#183;logcalogcbcloga(bc)logab·logacdloga(bc)logablogac解析：由换底公式得logab·logca·logcb，所以b正确22log32log3log38的值为(b)a.b2c3 d.解析：原式log34log3log38log3log392.3lglg的值是1.解析：lglglg(×)lg1.4若a>0，且a1，b>0，且b1，则由换底公式可知logab，logba，所以logab，试利用此结论计算1.解析：1.5计算：(1)3log72log792log7；(2)(lg2)2lg2·lg50lg25.解：(1)原式log78log79log7log78log79log79log780.(2)原式lg2(lg2lg50)2lg5lg2·lg1002lg52lg22lg52(lg2lg5)2lg102.本课须掌握的两大问题1运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下