2017-2018学年人教A版数学选修2-1课时提升作业（十二） 2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 探究导学课型 Word版含答案

1、温馨提示： 此套题为word版，请按住ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭word文档返回原板块。课时提升作业(十二)椭圆的简单几何性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知f1，f2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，过f2作椭圆的弦ab，若af1b的周长为16，椭圆离心率e=32，则椭圆的方程是()a.x24+y23=1b.x216+y24=1c.x216+y212=1d.x216+y23=1【解析】选b.由题意知4a=16，即a=4，又因为e=32，所以c=23，所以b2=a2-c2=16-12=4，所以椭圆的

2、标准方程为x216+y24=1.2.(2015·西安高二检测)两个正数1，9的等差中项是a，等比中项是b且b>0，则曲线x2a+y2b=1的离心率为()a.105b.2105c.25d.35【解析】选a.因为a=9+12=5，b=1×9=3，所以e=25=105.3.(2015·怀化高二检测)过椭圆x225+y216=1的中心任作一直线交椭圆于p，q两点，f是椭圆的一个焦点，则pqf周长的最小值是()a.14b.16c.18d.20【解析】选c.如图设f为椭圆的左焦点，右焦点为f2，根据椭圆的对称性可知|fq|=|pf2|，|op|=|oq|，所以pqf的周

3、长为|pf|+|fq|+|pq|=|pf|+|pf2|+2|po|=2a+2|po|=10+2|po|，易知2|op|的最小值为椭圆的短轴长，即点p，q为椭圆的上下顶点时，pqf的周长取得最小值10+2×4=18，故选c.4.设f1，f2是椭圆e：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，p为直线x=3a2上一点，f2pf1是底角为30°的等腰三角形，则e的离心率为()a.12b.23c.34d.45【解析】选c.如图，f2pf1是底角为30°的等腰三角形|pf2|=|f2f1|=232a-c=2ce=ca=34.5.过椭圆x2a2+y2b2=

4、1(a>b>0)的左焦点f1作x轴的垂线交椭圆于点p，f2为右焦点，若f1pf2=60°，则椭圆的离心率为()a.22b.33c.12d.13【解析】选b.将x=-c代入椭圆方程可解得点p-c,±b2a，故|pf1|=b2a，又在rtf1pf2中f1pf2=60°，所以|pf2|=2b2a，根据椭圆定义得3b2a=2a，从而可得e=ca=33.【一题多解】选b.设|f1f2|=2c，则在rtf1pf2中，|pf1|=233c，|pf2|=433c.所以|pf1|+|pf2|=23c=2a，离心率e=ca=33.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知

5、椭圆x25+y2m=1的离心率e=105，则m的值为_.【解析】当焦点在x轴上时，a2=5，b2=m，所以c2=a2-b2=5-m.又因为e=105，所以5-m5=1052，解得m=3.当焦点在y轴上时，a2=m，b2=5，所以c2=a2-b2=m-5.又因为e=105，所以m-5m=1052，解得m=253.故m=3或m=253.答案：3或253【误区警示】认真审题，防止丢解在求椭圆方程或利用方程研究椭圆性质时，一定要注意椭圆的位置是否确定，若没有确定，则应该有两解.7.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e32.则长轴长的取值范围为_.【解析】因为b=1，所以c2=a2-1，又c2a2

6、=a2-1a2=1-1a234，所以1a214，所以a24，又因为a2-1>0，所以a2>1，所以1<a2，故长轴长2<2a4.答案：(2，48.(2015·嘉兴高二检测)已知椭圆x24+y23=1的左顶点为a1，右焦点为f2，点p为该椭圆上一动点，则当pf2·pa1取最小值时|pa1+pf2|的取值为_.【解析】由已知得a=2，b=3，c=1，所以f2(1，0)，a1(-2，0)，设p(x，y)，则pf2·pa1=(1-x，-y)·(-2-x，-y)=(1-x)(-2-x)+y2.又点p(x，y)在椭圆上，所以y2=3-34x2

7、，代入上式，得pf2·pa1=14x2+x+1=14(x+2)2.又x，所以当x=-2时，pf2·pa1取得最小值.所以p(-2，0)，求得|pa1+pf2|=3.答案：3三、解答题(每小题10分，共20分)9.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)椭圆过(3，0)，离心率e=63.(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.【解析】(1)若焦点在x轴上，则a=3，因为e=ca=63，所以c=6，所以b2=a2-c2=9-6=3.所以椭圆的标准方程为x29+y23=1.若焦点在y轴上，则b=3，因为e=ca=1-b2a2=1-9a2=63，解得a2=2

8、7.所以椭圆的标准方程为y227+x29=1.综上可知，所求椭圆标准方程为x29+y23=1或y227+x29=1.(2)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).如图所示，a1fa2为等腰直角三角形，of为斜边a1a2的中线(高)，且|of|=c，|a1a2|=2b，所以c=b=4，所以a2=b2+c2=32，故所求椭圆的标准方程为x232+y216=1.10.设p是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，f1，f2是其左、右焦点.已知f1pf2=60°，求椭圆离心率的取值范围.【解题指南】利用椭圆的定义得到a，b，c的不等式，再化为离心率

9、求范围.【解析】根据椭圆的定义，有|pf1|+|pf2|=2a，在f1pf2中，由余弦定理得cos 60°=|pf1|2+|pf2|2-|f1f2|22|pf1|pf2|=12，即|pf1|2+|pf2|2-4c2=|pf1|pf2|.式平方得|pf1|2+|pf2|2+2|pf1|pf2|=4a2.由得|pf1|pf2|=4b23.由和运用基本不等式，得|pf1|pf2|pf1|+|pf2|22，即4b23a2.由b2=a2-c2，故43(a2-c2)a2，解得e=ca12.又因为e<1，所以该椭圆离心率的取值范围为12,1.【一题多解】设椭圆与y轴交于b1，b2两点，则当点

10、p位于b1或b2时，点p对两个焦点的张角最大，故f1b1f2f1pf2=60°，从而ob1f230°.在rtob1f2中，e=ca=sinob1f2sin 30°=12.又因为e<1，所以该椭圆的离心率的取值范围为12,1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.将椭圆c1：2x2+y2=4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆c2，则c2与c1有()a.相等的短轴长b.相等的焦距c.相等的离心率d.相等的长轴长【解析】选c.把c1的方程化为标准方程，即c1：x22+y24=1，从而得c2：x22+y21=1.因此c1的长

11、轴在y轴上，c2的长轴在x轴上.e1=22=e2，故离心率相等.2.(2015·广安高二检测)已知p是以f1，f2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，若pf1·pf2=0，tanpf1f2=12，则此椭圆的离心率为()a.12b.23c.13d.53【解析】选d.由pf1·pf2=0，得pf1f2为直角三角形，由tanpf1f2=12，设|pf2|=m，则|pf1|=2m，又|pf2|2+|pf1|2=4c2(c=a2-b2)，即4c2=5m2，c=52m，而|pf2|+|pf1|=2a=3m，所以a=3m2.所以离心率e=ca=

12、53.【补偿训练】设e是椭圆x24+y2k=1的离心率，且e12,1，则实数k的取值范围是()a.(0，3)b.3,163c.(0，3)163,+d.(0，2)【解析】选c.当k>4时，c=k-4，由条件知14<k-4k<1，解得k>163；当0<k<4时，c=4-k，由条件知14<4-k4<1，解得0<k<3，综上知选c.二、填空题(每小题5分，共10分)3.在平面直角坐标系中，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2c，以o为圆心，a为半径作圆，过点a2c,0作圆的两切线互相垂直，则离心率e=_.【解析】如图

13、，切线pa，pb互相垂直，半径oa垂直于pa，所以oap是等腰直角三角形，故a2c=2a，解得e=ca=22.答案：224.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为_.【解析】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，所以s=12×2c×b=bc=1b2+c22=a22.所以a22.所以a2，所以长轴长2a22.答案：22【拓展延伸】基本不等式在椭圆中的应用在椭圆定义和性质中，有|pf1|+|pf2|=2a和a2=b2+c2两个等式，为基本不等式中“和定积最大”

14、准备了条件.三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·成都高二检测)已知f是椭圆c的一个焦点，b是短轴的一个端点，线段bf的延长线交c于点d，且bf=2fd.求椭圆c的离心率.【解题指南】由bf=2fd，建立关于参数a，c的等量关系，求其离心率便可.【解析】不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其中f是左焦点，b是上顶点，则f(-c，0)，b(0，b)，设d(x，y)，则(-c，-b)=2(x+c，y)，所以2(x+c)=-c,2y=-b,解得x=-32c，y=-b2.又因为点p在椭圆c上.所以-32c2a2+-b22b2=1.整理得c2a2=13，所以e=ca=33.6.已知椭圆c的中心在原点，一个焦点为f(-2，0)，且长轴长与短轴长的比是23.(1)求椭圆c的方程.(2)设点m(m，0)在椭圆c的长轴上，点p是椭圆上任意一点.当|mp|最小时，点p恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意知c=2,ab=23,a2=b2+4,解得a2=1