高等数学公式(费了好大的劲)技巧归纳

1、高等数学公式导数公式：2(tgx)'=secx(ctgx)'=-cscx(secx)'=secxtgx(cscx)'=-cscxctgx(a)'=alna(logaxx2(arcsinx)'=(arccosx)'=-(arctgx)'=11+x1-x1-x222x)'=1xlna(arcctgx)'=-dx211+x22tgxdxctgxdxsecaxa=-lncosx+C=lnsinx+Ccossinxx=secxdx=tgx+Ccsc2dx2xdx=-ctgx+Cxdx=lnsecx+tgx+Ccscxdx=l

2、ncscx-ctgx+Cdx2secxtgxdxcscxctgxdxax=secx+C=-cscx+C+C+xdx-adx-xdx22=1a1arctglnlnxa+C+C+Cx-ax+aa+xa-xxadx=axlna222a12ashxdxchxdx2=chx+C=shx+C=ln(x+x±a)+C2222a-x2=arcsin+Cdxx±a222In=sin02nxdx=cosxdx=nn-1naaa2In-2x+a)+Cx-axa+C2222x+adx=x-adx=a-xdx=22222x2x2x2x+a+x-a-a-x+22222222ln(x+lnx+arcsi

3、n22+C2基本积分表：三角函数的有理式积分： sinx=2u1+u，cosx=21-u1+u，u=tg2x2，dx=2du1+u一些初等函数： 两个重要极限：e-e2e+e2shxchx2x-xx-x双曲正弦:shx=双曲余弦:chx=双曲正切:thx=arshx=ln(x+archx=±ln(x+arthx=12ln1+x1-xlimsinxx1xx0=1=e=2.7182818284xlim(1+x59045.=e-ee+exx-x-xx+1）x-1)三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：sin(±)=sincos&

4、#177;cossincos(±)=coscos sinsintg(±)=tg±tg1 tgtgctgctg 1ctg±ctgsin+sin=2sinsin-sin=2cos+2cossin-2+2-2cos+cos=2coscos-cos=2sin+2cossin-2ctg(±)=+2-2·倍角公式： sin2=2sincoscos2=2cos-1=1-2sin=cos-sinctg2=tg2=ctg-12ctg2tg1-tg222222sin3=3sin-4sincos3=4cos-3costg3=3tg-tg1-3tg2333&

5、#183;半角公式：sintg2=±=±1-cos21-cos1+cosasinA1-cossinbsinBcosctg2=±1+cos2+cos1-cos=1+cossin=sin1-cos2=sin1+cos2=±·正弦定理：·反三角函数性质：arcsinx=2-arccosxarctgx=csinC=2R ·余弦定理：c=a+b-2abcosC2222-arcctgx高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：n(uv)=u(n)=Ck=0knu(n-k)v(k)(n)v+nu(n-1)v'+n(n-1)2!u

6、(n-2)v''+ +n(n-1) (n-k+1)k!u(n-k)v(k)+ +uv(n)中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：柯西中值定理：f(b)-f(a)=f'()(b-a)=f'()F'()拉格朗日中值定理。f(b)-f(a)F(b)-F(a)当F(x)=x时，柯西中值定理就是曲率：弧微分公式：平均曲率：K=ds=s+y'dx,其中y'=tg.:从M点到M'点，切线斜率的倾角变sddsy''(1+y')232化量；s：MM'弧长。M点的曲率：直线：K=0;K=lims0=.半径为a的圆：K=

7、1a.定积分的近似计算：b矩形法：f(x)abb-an(y0+y1+ +yn-1)梯形法：f(x)abb-a1(y0+yn)+y1+ +yn-1n2b-a3n(y0+yn)+2(y2+y4+ +yn-2)+4(y1+y3+ +yn-1) 抛物线法：f(x)a定积分应用相关公式： 功：W=Fs水压力：F=pA引力：F=km1m2r2,k为引力系数1b-ab 函数的平均值：y=1b-abaf(x)dx均方根：af(t)dt2空间解析几何和向量代数：空间2点的距离：向量在轴上的投影：d=M1M2=(x2-x1)+(y2-y1)+(z2-z1)222PrjuAB=cos,是AB与u轴的夹角。Prju(

8、a1+a2)=Prja1+Prja2ab=abcos=axbx+ayby+azbz,是一个数量两向量之间的夹角：cos=k,axbx+ayby+azbzax+ay+azbx+by+bz222222ic=ab=axbxjaybyaz,c=absin.例：线速度：bzaybycyazbzczv=wr.ax向量的混合积：abc=(ab)c=bxcx代表平行六面体的体积。=abccos,为锐角时，平面的方程：1、点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中n=A,B,C,M0(x0,y0,z0)Ax+By+Cz+D=0xa+yb+zc=1d=Ax0+By0+Cz0+DA+B+C空间

9、直线的方程：2222、一般方程：3、截距世方程：平面外任意一点到该平面的距离：x=x0+mtx-x0y-y0z-z0 =t,其中s=m,n,p;参数方程：y=y0+ntmnpz=z+pt02222二次曲面：1、椭球面：2、抛物面：3、双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面：xaxa2222xa222+yb+2zc=1xy2p2q=z（,p,q同号）+-ybyb2222-+zczc2222=1=（马鞍面）1多元函数微分法及应用全微分：dz=zxdx+zydydu=uxdx+uydy+uzdz全微分的近似计算：多元复合函数的求导法zdz=fx(x,y)x+fy(x,y)y：dzzuzvz=fu(t),v(

10、t)=+dtutvtzzuzvz=fu(x,y),v(x,y)=+xuxvx当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，du=uxdx+uydydv=vxdx+vydy隐函数的求导公式：FFFdydydy隐函数F(x,y)=0=-x2=(-x)(-x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隐函数F(x,y,z)=0=-=-xFzyFzFF(x,y,u,v)=0(F,G)隐函数方程组：J=uG(u,v)G(x,y,u,v)=0uuxuy=-=-1(F,G)v1(F,G)=-J(x,v)xJ(u,x)1(F,G)v1(F,G)=-J(y,v)yJ(u,y)Fv=FuGGuvFvGv2微分法在几何上的

11、应用：x=(t)x-x0y-y0z-z0空间曲线y=(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：='(t0)'(t0)'(t0)z=(t)在点M处的法平面方程：若空间曲线方程为：'(t0)(x-x0)+'(t0)(y-y0)+'(t0)(z-z0)=0FzGzGz,FzFxGx,FxGxFyGy FyF(x,y,z)=0,则切向量T=GyG(x,y,z)=0曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)2、过此点的切平面方程3、过此点

12、的法线方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0x-x0Fx(x0,y0,z0)=y-y0Fy(x0,y0,z0)=z-z0Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向其中为x轴到方向l的转角。l的方向导数为：fl=fxcos+fysin函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=它与方向导数的关系是单位向量。l多元函数的极值及其求法： f是gradf(x,y)在l上的投影。f f i+jxyf=gradf(x,y)e，其中e=cosi+sinj，

13、为l方向上的l设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CA<0,(x0,y0)为极大值2AC-B>0时，A>0,(x0,y0)为极小值2则：值AC-B<0时，无极AC-B2=0时,不确定重积分及其应用：Df(x,y)dxdy=D'f(rcos,rsin)rdrdzz+ + dxdyxy22曲面z=f(x,y)的面积A=Dx平面薄片的重心：=MMx(x,y)d=D(x,y)dD,=MMy=DDy(x,y)d(x,y)dD平面薄片的转动惯量：平面薄片（位于Fx=f对于x轴Ix=Dy(

14、x,y)d,对于y轴Iy=2x(x,y)d2xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力：F=Fx,Fy,Fz，其中：Fy=f3D(x,y)xd222D(x,y)yd222Fz=-fa3D(x,y)xd3(x+y+a)2(x+y+a)2(x+y+a)2222柱面坐标和球面坐标：x=rcos柱面坐标：y=rsin,f(x,y,z)dxdydz=z=z其中：F(r,z)=f(rcos,rsin,z)F(r,z)rdrddz,x=rsincos2球面坐标：y=rsinsin，dv=rdrsinddr=rsindrddz=rcos2r(,)f(x,y,z)dxdydz=1MF(r,

15、)rsindrdd=1M2ddF(r,)rsindr2重心：=转动惯量：xdv,=ydv,=1M2zdv，其中M=22dvIx=(y+z)dv，Iy=22(x+z)dv，Iz=2(x+y)dv曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x=(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,(t),则：y=(t)Lf(x,y)ds=x=t22''f(t),(t)(t)+(t)dt(<)特殊情况：y=(t)第二类曲线积分（对坐设L的参数方程为标的曲线积分）：x=(t)，则：y=(t)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(t),(t)'(t)+Q(t),(t)

16、9;(t)dtL两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量格林公式：(D系：Pdx+Qdy=L(PcosL+Qcos)ds，其中和分别为的方向角。)dxdy=Qx-PyPdx+Qdy格林公式：(LDQx-Py)dxdy=12PdxL+QdyQP当P=-y,Q=x-=2时，得到D的面积：A=xy·平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，·二元函数的全微分求积在QxPy注意方向相反！：，且Qx无关的条件：Ddxdy=xdyL-ydxPy。注意奇点，如(0,0)，应时，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,

17、y)的全微分，其中：(x,y)u(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy，通常设(x0,y0)x0=y0=0。曲面积分： 对面积的曲面积分：对坐标的曲面积分：f(x,y,z)ds=Dxyfx,y,z(x,y)+zx(x,y)+zy(x,y)dxdy22P(x,y,z)dydzDxy+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：号；号；号。+Qcos+Rcos)dsR(x,y,z)dxdy=±Rx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上侧时取正=±Px(y,z),y,zdydz，取曲面的前侧时取正DyzP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdx=

18、77;Qx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系：Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcos高斯公式：(Px+Qy+Rz)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcos+Qcos+Rcos)ds高斯公式的物理意义通量与散度：div<0,则为消失.PQR散度：div=+,即：单位体积内所产生的流体质量，若xyz通量：Ands=Ands=(Pcos+Qcos+Rcos)ds，因此，高斯公式又可写成：divAdv=Ands斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：(Ry-Qz)dydz+(Pz-Rx)dzdx+(dzdxyQQx-Py)dxdy=cos

19、xPPdx+Qdy+RdzcoszR上式左端又可写成：dydzxPdxdyzRRy=cosyQ空间曲线积分与路径无ixPjyQ关的条件：kzRQPRQP=zzxxy旋度：rotA=向量场A沿有向闭曲线的环流量：Pdx+Qdy+Rdz=Atds常数项级数：等比数列：1+q+q+ +q等差数列：1+2+3+ +n=调和级数：1+12+13+ +1n2n-1=1-qn1-q(n+1)n2是发散的级数审敛法：1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判别法）：设：=limn<1时，级数收敛un，则>1时，级数发散=1时，不确定2、比值审敛法：<1时，级数收敛Un+1设：=lim，则>

20、1时，级数发散nUn=1时，不确定3、定义法：sn=u1+u2+ +un;limsn存在，则收敛；否则发n散。交错级数u1-u2+u3-u4+ (或-u1+u2-u3+ ,un>0)的审敛法如果交错级数满足unun+1limu=0，那么级数收敛且其和nn莱布尼兹定理：su1,其余项rn的绝对值rnun+1。绝对收敛与条件收敛：(1)u1+u2+ +un+ ，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3+ +un+如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对如果(2)发散，而(1)收敛，则称调和级数：级数：1nn发散，而收敛；时发散p>1时收敛收敛级数；(1)为条件收敛级数。n(-1)

21、n12p级数：1np幂级数：1+x+x+x+ +x+ 23nx<1时，收敛于x1时，发散11-x对于级数(3)a0+a1x+a2x+ +anx+ ，如果它不是仅在原点x<R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使2n收敛，也不是在全x>R时发散，其中R称为收敛半径。x=R时不定0时，R=求收敛半径的方法：设liman+1an=，其中an，an+1是(3)的系数，则1n=0时，R=+=+时，R=0函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数：余项：Rn=f(n+1)f(x)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)n+1f''(x0)2!(x-x0)+ +2f(n)(x0)n!(

22、x-x0)+n()(n+1)!,f(x)可以展开成泰勒级数的f''(0)2!2充要条件是：limRn=0nx0=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f'(0)x+x+ +f(n)(0)n!x+n一些函数展开成幂级数： (1+x)m=1+mx+x3m(m-1)2!x+ +n-12m(m-1) (m-n+1)n!x+ (-1<x<1)nsinx=x-3!+x55!- +(-1)x2n-1(2n-1)!+ (-<x<+)欧拉公式：ix-ixe+ecosx=2=cosx+isinx或 ix-ixsinx=e-e2eix三角级数：f(t)=A0+An

23、=1nsin(nt+n)=a02+(an=1ncosnx+bnsinnx)其中，a0=aA0，an=Ansinn，bn=Ancosn，t=x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意两个不同项的乘积上的积分0。在-,傅立叶级数：f(x)=a02+(an=1ncosnx+bnsinnx)，周期=21an=其中1bn=1+122-f(x)cosnxdx(n=0,1,2 )-f(x)sinnxdx(n=1,2,3 )13+2+142152+ =162281+1222+1332+-1442+ =+ =26+ =2241-2121212212正弦级数：an=0，bn=2f(x)sinnxdxn=1,2,3 f(x)=ba02nsinnx是奇函数余弦级数：bn=0，an=f(x)cosnxdxn=0,1,2 f(x)=+ancosnx是偶函数周期为2l的周期函数的傅立叶级数：f(x)=a02+n=1(ancosnxl+bnsinnxl)，周期=2ll1nxa=f(x)cosdx(n=0,1,2 )nll-l其中l1nxbn=f(x)sindx(n=1,2,3 )l-l