第五章 线性系统频率分析法(一)

1、2022-1-18重庆邮电大学自动化学院1第五章第五章 频率分析法频率分析法 以控制系统的以控制系统的作为数学模型作为数学模型主要以主要以波德图波德图 (Bode)来作为分析工具来作为分析工具 分析控制系统的分析控制系统的动态性能动态性能与与稳态性能稳态性能 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院2u频率特性法是分析线性系统的工程实用方法。频率特性法是分析线性系统的工程实用方法。u频率响应频率响应系统对正弦输入信号的稳态响应。系统对正弦输入信号的稳态响应。u频率特性频率特性系统的频率响应与正弦输入信号之系统的频率响应与正弦输入信号之间的关系。间的关系。u在频率响应法中，在一定的范围内改变输入

2、信在频率响应法中，在一定的范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应号的频率，研究其产生的响应 u频率响应法和根轨迹法是互为补充的两种方法频率响应法和根轨迹法是互为补充的两种方法 u频率响应法的优点之一，是可以利用对物理系频率响应法的优点之一，是可以利用对物理系统测量得到的数据，而不必推导出系统的数学模统测量得到的数据，而不必推导出系统的数学模型型 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院3频率特性的概念频率特性的概念设系统结构如图，设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个给系统输入一个幅值不变幅值不变频率频率不断增大不断增大的正弦，的正弦，Ar=1 =0.5

3、=1=2=2.5=4曲线如下曲线如下:40不不结论结论给给稳定稳定的系统输入一个正弦，其的系统输入一个正弦，其稳态输出稳态输出是与输入是与输入同频率同频率的正弦，幅值随的正弦，幅值随而而变变，相角，相角也是也是的函数。的函数。2022-1-18重庆邮电大学自动化学院45.1 一、基本概念 系统传递函数令：s=j，得到另一个复变函数(正弦传递函数)，即幅值、幅角表示G sb sbsb sbsasa sammmmnnn( ) 11101110G jG ssj()( )G jPjQ()( )( )(arg)()(GGjG)()( A2022-1-18重庆邮电大学自动化学院5线性系统的稳态正弦响应引例

4、引例51 RC电路如图所示 G(s) sint A()sint+() R C ui uo 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院6写成幅值与幅角表达式幅频特性 相频特性 两条特性曲线如图。 arctan1111arg111122TTTjTjTjUUioAT( )1122Tarctan)( -90 -45 1 0.707 A() 0 0 () T1 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院7二、已知线性定常系统，输入信号为r(t)，其付氏变换存在为R(j)。系统的输出信号为c(t)，其付氏变换为C(j) ，定义线性定常系统的频率特性为输出信号的付氏变换C(j)与输入信号的付氏变换R(j)之比，

5、表为 G jC jR j()()()2022-1-18重庆邮电大学自动化学院8关于频率特性的讨论关于频率特性的讨论（1）付氏变换的存在条件满足狄里赫莱条件 即绝对值积分存在，这限制了付氏变换在许多场合下的应用。因此，许多常用的时域函数没有付氏变换，如阶跃函数等。 f t dt( )2022-1-18重庆邮电大学自动化学院9（2）频率特性与微分方程的关系微分方程为类似拉氏变换，方程两边作付氏变换输出与输入的付氏变换的比值 所以频率特性G(j)是在频率域中来表示线性定常系统的数学模型。a ytb xtiiinijjm( )( )( )( )00() ()() ()ajY jb jX jiiinij

6、jm00G jY jX jb jajijjmiiin()()()()()002022-1-18重庆邮电大学自动化学院10（3）付氏变换与拉氏变换的关系阶跃函数，增加衰减因子e-t，0，满足狄里赫莱条件，其付氏变换存在 付氏变换是拉氏变换在s= j 时的特例。 t01(t)t01(t)1(t)e-tF jf teedttj tt() ( )0 f tedtjtsj( )()0)()(0sFdtetfst2022-1-18重庆邮电大学自动化学院11三、频率特性的数学表示及作图三、频率特性的数学表示及作图 1、极坐标图极坐标图又称幅相图、奈奎斯特（极坐标图又称幅相图、奈奎斯特（Nyquist）图）图

7、复变函数复变函数G(j )表为表为实部、虚部实部、虚部 或表为或表为模、相位角模、相位角 复平面曲线如图所示。复平面曲线如图所示。)()()(Im)(Re)(jQPjGjGjG)()()(arg)()(AGGjG0()ImReG(j)平面A()=0+曲线实轴对称曲线实轴对称不便于徒手作图不便于徒手作图 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院122、对数坐标图又称为波德（Bode）图 由于分别作两张图A()幅频特性，是频率的函数 ()相频特性，是频率的函数如一阶RC网络。徒手描点不方便，展示不清晰，分别将 A()、() 作对数变换即成为波德（Bode）图。)()()(arg)()(AGGjG

8、-90 -45 1 0.707 A() 0 0 () T1 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院13对数幅频特性对数幅频特性 L()将两坐标轴分别取对数作为新的坐标轴如图所示。 纵轴：横轴： -1 0 1 2 0.1 1 10 100 lg 0 20 40 -20 -40 0 1 2 -1 -2 20lgA() lgA() dB Bell 2 3 5 20 50 0.5 LA( )lg( ) 20lg2022-1-18重庆邮电大学自动化学院14对数相频特性对数相频特性 () 纵轴： () 不取对数纵轴： 0 () 0.1 1 10 100 2 3 5 20 50 0.5 +90 +180

9、-90 -180 lg2022-1-18重庆邮电大学自动化学院15一阶RC网络的频率特性与对数频率特性的比较波德图优点：（1）波德图展宽频带： （2）基本环节都可以由 -90 -45 1 0.707 A() 0 0 () T1 L() dB 0.01 0.1 1 100 10 () 0 45 -45 -90 -135 0 20 -20 -40 -60 0dB/dec -20dB/dec -3dB T1 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院16（3）作图方便。 例如对数幅频特性 对数相频特性 )()()(21jGjGjG)(lg20)(jGL)(lg20)(lg2021jGjG)21)(1

10、(1)(0jjjG)21)(1 (1)(0sssGLG j( )lg() 20211lg2011lg20jj ( )()() 112jj2022-1-18重庆邮电大学自动化学院175.2 典型环节的频率特性 一、比例环节频率特性波德图 幅值为 幅频特性幅角为 相频特性极坐标图 KjG)(KA)( ( ) 0 -40 0.1 () L() dB 1 100 10 40 0 20 -20 20lgK dB 0 45 -45 90 -90 ()=0 K Re Im 0 G(j) dBlg20)(KL ( ) 02022-1-18重庆邮电大学自动化学院18二、积分环节频率特性幅值为 幅角为 极坐标图波

11、德图 幅频特性相频特性jsjGjs11)(ssG1)(A jj()11 ( ) 190j0ReImG(j)=0+L( )lglg 20120 ( ) 190j -40 0.1 () L() dB 1 100 10 0 45 -45 0 20 -20 -135 -90 ()=-90 -20dB/dec 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院19三、微分环节 频率特性幅值为 幅角为 极坐标图波德图 幅频特性相频特性G jsjsj()ssG)( jjA)(90)(j Re Im 0 G(j) =0+ L( )lg 2090)(j -40 0.01 () dB 1 0.1 10 0 -45 45 0

12、 20 -20 135 90 ()=+90 L() +20dB/dec 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院20四、一阶惯性环节频率特性极坐标图实部与虚部表达式 模角表达式 幅值为幅角为由于 TjTsjGjs1111)(TssG11)(G jTjTT()1112222TTjGarctan11)(22AT( )1122Tarctan)(0)0(1)0(A90)(0)(A =0+ + Re Im 0 G(j) 1 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院21可以证明，轨迹为一圆。jyxTTjTjG2222111)(xTTTTyx222222222211)1()11(xyx222222)21()

13、21(yxx2225 . 0)5 . 0(yx2022-1-18重庆邮电大学自动化学院22波德图对数幅频特性对数幅频特性 可用渐近线作图 交点为交点为对数相频特性对数相频特性 两边反对称。LT( )lg201122AT( )1122dB01lg20)(0LLT( )lg 201 0dB/dec 0 20 -20 -40 L() dB -60 0.01 0.1 1 100 10 () 0 45 -45 -90 -20dB/dec T1 Tarctan)(0)0(45)1(T90)(1T2022-1-18重庆邮电大学自动化学院23渐近线作图的折线误差 处应有最大误差，代入模表达式误差特性如图误差修

14、正如图。 0dB /dec 0 20 -20 -40 L() dB -60 0.01 0.1 1 100 10 () 0 45 -45 -90 -20dB /dec -3dB T1 1TLTT( )lg2011221 2012301lg. 0dB -1dB -2dB -3dB -4dB 1101T 151T 121T 1T 51T 21T 101T 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院24五、一阶微分环节 频率特性 极坐标图极坐标图幅频特性 相频特性 波德图对数幅频特性 对数相频特性可依一阶惯性环节反对称画出。G jj T()1AT( )122Tarctan)( 1 Re Im 0 G(j

15、) LT( )lg20122Tarctan)( L() dB 0.01 0.1 1 100 10 () -45 0 45 90 135 1 T 0dB/dec 0 -20 20 40 60 +20dB/dec +3dB 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院25六、二阶振荡环节传递函数 令为时间常数，代入上式频率特性为 G sssnnn( ) 2222Tn1G sssT sTsnnTn( ) 112112122122G jTjjT()() 121221122122222222222TTTjTTT ()()()()22222212arctan)2()1 (1TTTT2022-1-18重庆邮电大

16、学自动化学院26极坐标图幅频特性相频特性 极限点有 由于幅角单调减幅值先增后减， 有极值由谐振频率谐振峰值阻尼比不同时，极坐标图如图所示。ATT( )()() 11222222212arctan)(TT + =0+ =0.707 0.707 单位圆 Mr 1 0 G(j) Re Im 0)0(1)0(A180)(0)(A0ddrddAr ( ) 0rT11 22MArr()12122022-1-18重庆邮电大学自动化学院27波德图对数幅频特性 渐近线作图粗实线所示，交点为阻尼比不同时 0.7070.707无谐振峰值无谐振峰值 =0.707=0.707临界谐振临界谐振 0.7070.707有谐振

17、峰值有谐振峰值3条特性如图所示。2222)2()1 (1lg20)(lg20)(TTALdBL01lg20)(02222221lg20)2()1 (1lg20)(TTTL1T L() dB 20 0 -20 -40 -60 20lgMr r -40dB/dec 0dB/dec 0.01 0.1 1 10 1/T 0 -45 -90 -135 -180 0.707 =0.707 0.707 () 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院28二阶振荡环节波德图对数相频特性由于三个特征角度阻尼比不同时，在 邻域角度变化率不同如图。 L() dB 20 0 -20 -40 -60 20lgMr r -

18、40dB/dec 0dB/dec 0.01 0.1 1 10 1/T 0 -45 -90 -135 -180 0.707 =0.707 0.707 () 2212arctan)(TT()190T 0)0(1801)(1tg1T2022-1-18重庆邮电大学自动化学院29二阶振荡环节波德图 L() dB 20 0 -20 -40 -60 20lgMr r -40dB/dec 0dB/dec 0.01 0.1 1 10 1/T 0 -45 -90 -135 -180 0.707 =0.707 0.707 () 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院30七、二阶微分环节传递函数频率特性极坐标图 波

19、德图参照二阶振荡环节，横轴对称画出。 12)(22TssTsG12)()(22TjjTjG+=0+ReIm0G(j)1 r 0dB/dec L() dB -20 0 20 40 60 20lgMr +40dB/dec 0.01 0.1 1 10 1/T 0 +45 +90 +135 +180 0.707 0.707 () 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院31八、延迟环节传递函数频率特性 幅值恒为1 幅角 极坐标图波德图 G jej()sesG)(Aej( )1)(3 .57)( je Im Re 1 0 G(j) L() dB -20 0 20 1/ () 0 -180 -360 -4

20、50 10/ 0.1/ 0dB/dec 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院325.3 控制系统开环频率特性作图一、开环对数频率特性作图开环对数频率特性作图结构图 开环传递函数 开环频率特性 分解基本环节则开环对数幅频特性 开环对数相频特性 G(s)H(s)R(s)C(s)+-E(s)G sG s H so( )( )( )()()(jHjGjGo212211212211) 12() 1() 12() 1()(njjjniimllllmkkooTssTsTsssskjG)()()()(21jGjGjGjGk)()()()(21kLLLL)()()()()()(2211kkAAA)()()(

21、)(21k2022-1-18重庆邮电大学自动化学院33（1）典型环节叠加作图例例52 系统开环传递函数为 作开环系统波德图。 解解 写出基本环节1、2、3、4、5、G sss ss( )()()()1002120G jjjjjjjjj()()()()()(.)()()(.)100212010 105110050)(,2010lg20)(,10)(111LjG5 . 0arctan)(,5 . 01)(,5 . 01)(22222LjjG90)(,lg20)(,1)(333LjjGarctan)(,11lg20)(,11)(4244LjjG05. 0arctan)(,05. 011lg20)(,

22、05. 011)(52255LjjG2022-1-18重庆邮电大学自动化学院34对数幅频特性在图上作叠加合成 0 +20 -20 -40 -60 L() dB +40 2 1 10 20 100 )()()()()()(54321LLLLLL L1 dB L2 L3 L4 L5 L 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院35对数幅频特性作出各基本环节的对数相频特性如图，叠加，得到叠加时，粗略地做环节特征点叠加即可，)()()()()()(54321 0 () 2 1 10 20 100 -90 -180 +90 1 2 3 5 4 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院36（2）转折渐进作

23、图由于步骤一：确定低频段斜率和低频段高度，作出低频段曲线至第一转折频率，在低频段有在低频段作出Lo低和0低。212211212211) 12() 1() 12() 1()(njjjniimllllmkkooTssTsTsssskjGGjkjGjkjoono()()()()ksG son( )2022-1-18重庆邮电大学自动化学院37步骤二：由于 全部为一阶因子或者二阶因子，均在转折频率处发生向上或者向下转折，斜率分别为20dB/dec， 40dB/dec等。从低频段到高频段逐步前进，以渐进方式作出折线特性， G ssssTsT sTsnkkmllllmiinjjjn( )()()()() 1

24、211211122121122122022-1-18重庆邮电大学自动化学院38例例53 已知单位反馈系统的开环传递函数为作对数开环频率特性。 解解 低频段为 为=1.58处过0dB线的积分特性。作斜率为-20dB/dec，过=1.58的斜线如图所示。转折特性为 )5 . 02 . 01)(501 ()1)(101 (58. 1)(22sssssssGossGo58. 1)(G ssssssn( )()()()(.)1 1011 501 0205222022-1-18重庆邮电大学自动化学院39作转折渐进表（幅频特性）：转折渐进，作出折线图。对数相频特性低频段特性0低= -90高频段特性0高= -

25、180每一个转折频率处，有：一阶因子 45 特征点，二阶因子 90 特征点，可作出 ()。渐进顺序 (1+50s)-1(1+10s)(1+s)(1+0.2s+0.52s2)-1转折频率0.020.112转折斜率-20dB/+20dB/+20dB/-40dB/ssGo58. 1)(02264. 1)(ssGo2022-1-18重庆邮电大学自动化学院40L()与()阶的渐进作图。 0 () -90 -180 +90 2 1 10 0.2 0.1 0.02 0.01 L() 0 20 40 0 -20 -40 -60 -1 1.58 -2 -1 -2 8dB = .1.918,2.55.rrM二阶振

26、荡因子02，谐振频率谐振峰值，对数峰值813dB2022-1-18重庆邮电大学自动化学院41二、开环极坐标图作图二、开环极坐标图作图 由于：因此极坐标图需要描点作图。但是，系统分析，特别是稳定性分析，可以徒手作极坐标草图。开环频率特性为其中，)()()()()(AjQPjGjsnjjjniimllllmkkooTssTsTssssKjG212211212211) 12() 1() 12() 1()(jsnosGsK)(212211212211) 12() 1() 12() 1()(njjjniimllllmkknTssTsTssssG2022-1-18重庆邮电大学自动化学院42极坐标图的起点由

27、于所以模角所以不同时，极坐标图的起点如图所示。 1)(0jGnjsoosKjG0)(Kjo() 020)(jKo0ImReG(j)=0=1=22022-1-18重庆邮电大学自动化学院43极坐标图的终点由于模角所以，极坐标图的终点如图所示。 G sKsoon m( ) Kjon m() 02)()(mnjKmno 0 Im Re G(j) n-m=2 n-m=1 n-m=3 2022-1-18重庆邮电大学自动化学院44坐标轴穿越点 与 单位圆穿越点 坐标轴穿越点处，为角度的整数倍角。单位圆穿越点处，模为单位 1。 0 Im Re G(j) 单位圆 穿越点 坐标轴 穿越点 22022-1-18重庆邮电大学自动化学院45例例54 已知开环传递函数为试作其极坐标草