06第六章数列

1、第六章数列第1讲数列的概念知识梳理：1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项2. 通项公式：如果数列 ；3n!的第n项与序号之间可以用一个式子表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即an = f (n).3.递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an_i(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an二f (anJ)或an二f (anJ,an)，那么这个式子叫做数列(an的递推公式.如数列 乳？中，ai=1,an = 2an斗1，其中an= 2an十1是数列：an 的递推公式.anS(n=1)Sn Sn(n 32)4.

2、 数列的前n项和与通项的公式Sn =印 a2亠亠an ；5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列：递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列：有 界数列，无界数列. 递增数列：对于任何n N .,均有an 4 an. 递减数列：对于任何n N .,均有an 1 : an. 摆动数列：例如:-1,1,-1,1,-1,. 常数数列：例如:6,6,6,6,. 有界数列：存在正数M使an兰M,十 无界数列：对于任何正数 M，总有项an使得an a M .1. 重点：理解数列的概念和几种简单表示方法；掌握数列的通项公式的求法2. 难点：用函数的观点理解数列.3

3、. 重难点：正确理解数列的概念，掌握数列通项公式的一般求法求数列的通项、判断单调性、求数列通项的最值等通常应用数列的有关概念和函数的性质问题1:已知Sn是数列an 的前n项和，Sn - Sn an心 N .)，则此数列是 A.递增数列B.递减数列C.常数数列D.摆动数列分析：将已知条件转化为数列项之间的关系，根据数列单调性作出判定解析：；Sn Sn an 1, Sn& 二 a.(n _2)两式相减，得 an an an t -an , - an 二 0(n - 2)当 n =1 时，印 a?) =a2 = ai =0, an = 0(n N )，选 C.f问题2:数列；中，an二n 一

4、 2006，则该数列前ioo项中的最大项与最小项分别是n - V2007分析：由已知条件判定数列单调性，注意n的取值范围解析:一 n- J2006,丄 *2007-J2006an ： 1 n 2007n - . 20071,44】时，an递减；n 45:时，an递减.结合图象.热点考点题型探析：考点1数列的通项公式题型1已知数列的前几项，求通项公式例1求下列数列的一个通项公式： 3,5,9,17,33厂，1 11 1,o,_,o,_,o,_,o,357 2",3 15 35 63 99 1,3,6,10,15,21,【解题思路】 写出数列的通项公式，应注意观察数列中an和n的联系与变

5、化情况，应特别注意：自然数列、正奇数列、正偶数列，（_1）n和相关数列，等差、等比数列，以及由它们组成的数列，从中找出规律性，并分别写出通项公式【解析】联想数列2,4,8,16,32，即数列2“可得数列的通项公式 an = 2n T ；1 0 10 10 1 0将原数列改写为1,2二,4,5EG8，分母分别为1,2,3,4,5,分子分别为诃,。,1厂，呈周期性变化，可以用sin2，或cos® 必，或（廿1表示.an 二sin2n（或n -1 cos 2，或a(-1)2 1)2n分子为正偶数列,分母为1 3,3 5,5 7,7 9,9 11,得 a2n(2n - 1)(2n 1)观察数

6、列可知:n ；的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an. Sn =3" 1.S/ n = 1)，这是求数列通项的一个重要公式 - Sn4(n 色 2)当n =1时，印=3 =2平 3 1=5,an =Sn -Snj =(2n2 3n) - 2(n-1)23(n-1) = 4n 1.4 11 = 5 二印,.an =4n 1.【解题思路】利用ana1 = h a2 = 1 2, a3 = 1 2 3, a4 = 1 2 3 4,a4 =123 4,a5 =123 45, an=123 亠，n =2本题也可以利用关系式 an - an丄=n求解.小结：联想和转换是由已知认识未知的两种有效

7、的思维方法求数列的通项公式，应运用观察、分析、归纳、验证的方法易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确，以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多，应注意对每一 数列认真找出规律和验证.题型2已知数列的前 n项和，求通项公式 例2已知下列数列£n' Sn = 2n2 3n ；【解析】n _2时，=1时，当 n =1 时，耳=0 =3 1 =4， -2 时，an 二 Sn -Sz =(3n 1)-(3心 1) = 2 3n=1 时，2 31' =2 = a1， an4(n =1) n 启 2).提醒：任何一个数列，它的前 n项和Sn与通项an都存在关系：an若ai适

8、合an,则把它们统一起来，否则就用分段函数表示 题型3已知数列的递推式，求通项公式例 3 数列 玄冲，ai =1,an2anJ1 (n_2)，求 a2.a3.a4.a5，并归纳出 a. 2+an 二【解题思路】已知：an 的递推公式an f(anJ)求前几项，可逐步计算【解析】；a1 =1,an2丄(n_2)，2 +an二 a2 =2a12 a122a23，" 2 a?a42a32 a3，a5 =52a42 a4可以归纳出an小结：由递推公式求通项，可以考虑归纳一猜想一证明”的方法，也可以构造新数列 新题导练:1已知有穷数列:5, 7,11, 2n 7，其中后一项比前一项大 2.求此

9、数列的通项公式；4n 9是否为此数列的项？2数列：a.冲，a1 a：日3a.二 n2(n N )，求 a3 a§的值. 考点2与数列的通项公式有关的综合问题题型1已知数列通项公式，求项数及最大(最小)项【例4】数列©n*中，an = n2 -5n 4.18是数列中的第几项？n为何值时，an有最小值？并求最小值【解题思路】数列的通项an与n之间构成二次函数，可结合二次函数知识去探求【解析】由 n2 -5n *4=18= n2 -5n -14 = 0，解得 n = 7， .18是数列中的第7项25 2 9_ an = n -5n 4 = (n )， n N n24n = 2 或

10、 n = 3 时，(an )min=2 - 4 2，5 = -2 注意：利用二次函数知识解决数列问题时，必须注意其定义域n为正整数题型2已知数列通项公式，判断数列单调性及有界性2例5数列！an '中，an2 n2 +1求数列'an '的最小项；判断数列Bn 是否有界，并说明理由数列的【解题思路】 转化为判断数列的单调性，即证an ：: an 1，或an an d ；从有界性”定义入手【解析】.an 1 一 an(n 1)2(n 1)212n 11)2 1(n 1)2(n21) _n2 (门)21 (n2 +1)-an ： an 1，数列*是递增数列，数列卸的最小项为a1

11、=f2ann2 /n 1小结：数列是特殊的函数，判断函数的单调性、有界性的方法同样适用于数列 新题导练：1数列fan 中，an = 3n2 -28n 1，求an取最小值时n的值2.数列：an中，an -n -，n2 2，求数列 的最大项和最小项.第2讲等差数列知识梳理：1等差数列的概念d，这个数列叫做等差如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数 数列，常数d称为等差数列的公差.2通项公式与前n项和公式通项公式an =ai (n - 1)d，ai为首项，d为公差前n项和公式Sn二亜 色或Sn = na_, n(n - 1)d .2 2 3等差中项如果a, A, b成等差数列，那

12、么 A叫做a与b的等差中项即：A是a与b的等差中项二2A =a b二a，A，b成等差数列.4等差数列的判定方法.，定义法：an1-an二d (nN .， d是常数)u ：an 是等差数列;中项法：2anan an 2 (nN .)：= ian是等差数列.5等差数列的常用性质数列an 是等差数列，则数列an p?> IpaJ ( p是常数)都是等差数列；在等差数列 玄中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,an ,k,an 2k, an .3k，-为等差数列，公差为 竺. an 二am (n - m)d ； an 二 an b(a,b是常数)；Sn 二 an2 bn(a,b是常数，

13、a = 0)若 m n p q(m, n, p, q N )，则 am ' a ap - aq ； 若等差数列 4的前n项和Sn，则 色 是等差数列;in,当项数为2n(nN ），则 S偶- S奇- nd,；S奇an5 偶n 1当项数为2n -1(n N )，则民- S偶二a“，S奇n1. 重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式、 前n项和公式并能解决实际问题; 理解等差中项的概念，掌握等差数列的性质2. 难点：禾U用等差数列的性质解决实际问题3. 重难点：正确理解等差数列的概念，灵活运用等差数列的性质解题求等差数列的公差、求项、求值、求和、求Sn最值等通常运用等差数列的有关

14、公式及其性质问题1：已知m = n ,且m,a1,a2,a3,n和m, b1,b2, b3,b4, n都是等差数列，则 邑印6 - b2分析：问题转化为：在 m,n插入若干个数，使其成等差，利用等差数列公差的求法公式 解答解析：设等差数列 m, a1,a2,a3, n和m, g b2,b3,b4, n的公差分别是d1 ,d2则比“纠，n-m = 4d1 , a3-a叨，n - ma3 5, .b3 -b22，一般用倒序相加法12则 f ( ) f ()=33同理，得b3 b2- d 25”的数列的和，4x2 +4x)+ f () + + f (_200820092009'可以直接代入计

15、算，也可以整体处理；寻找规律，整体处理4xf (x) j 八，经计算，得 f(x) f(1 -x)= 1, 2+42 2008-)+ f () + f () = 1004 如=1004 .200920092009热点考点题型探析：考点1等差数列的通项与前 n项和题型1已知等差数列的某些项，求某项例1已知a为等差数列，a15 = 8, a60 = 20，则a75 =【解题思路】 可以考虑基本量法，或利用等差数列的性质求问题首末项和为常数2:已知函数f(x)=1f ( 1 2009分析：解析: f( 1【解析】a75= ai方法2:'a15 = ai +14d方法1：=1513 = q +

16、59d64474d74241515a60 - a20 - 8d =a75 = a60方法3：60 -1545154 (75 -60)d =20152415”15a + b = 860a b = 20令 = an + b，则*a6,b，45316 8 .a75 =75a b =752475453方法4： ； £n 1为等差数列，*15 ,a 30, a45, a60, *75也成等差数列34 二 20 = 8 3d 二d1 =20 4 =24 Bn 1为等差数列，a75 - a60 _. 20 一 8 _h*60 = a5a?5 = &60方法5：a60 ai5设其公差为di

17、= 4di，则ai5为首项，a60为第4项.(5, 35 ), (60, a60 ), (75,a75 )二点共线a75 - 20= =二 a75 = 2460 -1575 -604515小结：给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法题型2已知前n项和Sn及其某项，求项数.例2已知Sn为等差数列的前n项和，a4 = 9忌=-6, Sn = 63，求n ；若一个等差数列的前 4项和为36，后4项和为124,且所有项的和为 780,求这个数列的项数n.【解题思路】 利用等差数列的通项公式 an = a1 - (n1)d求出a1及d，代入Sn可求项数n;利用等差数列的前 4项和及后4项

18、和求出a1 - an，代入Sn可求项数n.3 + 3d = 9 【解析】设等差数列的首项为 a，公差为d，则丿1二a1 =18,d = 3® + 8d = -63Sn =18nn(n -1) =63= m =6,n? = 7 a1a2a3a4 = 36,an an二-an an=124a1' an= a2' an 1 = a3' an =a4' an J3.4(a1 an) =160= a1 an = 40Sn = _-n)=780= 20n = 780= n = 39n 2小结：解决等差数列的问题时，通常考虑两种方法：基本量法；利用等差数列的性质题型

19、3求等差数列的前 n项和例3已知Sn为等差数列 也?的前n项和，&=12n-n2.求 a1 + a： + a3 ；求a1 + a： +囲+ a® ；求 aj + a2 +|a3| + an .【解题思路】利用Sn求出an，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.【解析】41 Sn =12n -n2，.当 n =1 时，qS, =12-1 =11，当 n 一2 时，an 二 Sn -Sn=(12n - n2) -12(n - 1) (n -1)2 =13_2n，当 n =1 时，13-2 1=11=印，.an=13-2 n.13由 an =13-2n_0,得 -2-，当仁 6

20、 时，an 0 ；当 n_7 时，a：°.a1+a2+a3=ai +a2 + a3 = S3 = 12 汉 3 - 32 = 27 ；a1+a2+a3十+a10 = a1 + a2 + a3 +a6 - (a7 +a8 +a? +a1°)= 2S6 00 = 2(12 6 -62)-(12 10 -102)=52 ；当 1 兰 n 兰6时，a+ a2 + a3 + +|a=印 +a2 +a3 + + a* = 12n n2， 当 n 兰7时，a1 +血| + a3 + + a“ = ® + a2 + a3 + +a6 (a? +a& + + an) = 2

21、S6 _Sn =2(12 6_62)_(12n _n2) = n2 -12n 72.小结：含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论新题导练：1已知 6 '为等差数列，am =p,an =q ( m,n,k互不相等)，求a2已知Sn为等差数列 匕的前n项和，& = 1,a4 = 7, Sn = 100 ,贝U n二3. 已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数.4. 已知Sn为等差数列的前n项和，00=100,300=10，求S110.考点2证明数列是等差数列例4已知Sn为等差数列 沧的前n项和，bSn(n N ).n求证：数列bn 1是等差数列.【解题思

22、路】 利用等差数列的判定方法定义法;力/的公差为d【解析】方法1:设等差数列Sn1.bn 丄二 a1(n -1)dn21.bn 1 -bn 二a1 2 nd .数列1bn ?是等差数列.bSn-bnn方法2:bn 1 = aibn 2 bn中项法,Sn = nai*(n -1)d ,-ai1 (n 1)d 二 d2 2(常数)1-(n -1)d，1 12 nd , bn a1-(n 1)d1 1=a1(n 1)d a1 (n - 1)d二 2a1 nd-2bn 1，2 2方法1 ：令sn = An2 Bn，贝V2An + Bn = m222= A(n _ m ) + B(n _m) = m _

23、n.、Am + Bm = nn = m , - A(n m) B = -1,2Sm n 二 A(m n) B(m n) - -(m方法2：不妨设m nn);SmSn - an 1 an '2 an 3am -A= (rn-n)(ani am) = n_m.数列Ibn ?是等差数列.归纳：判断或证明数列是等差数列的方法有：定义法：an 1 -an二d (nN . , d是常数)U a 是等差数列；中项法：2an an an 2 (n，N .)=，an是等差数列；通项公式法：an =k nb ( k, b是常数)u a ?是等差数列；前n项和公式法：Sn二An2 - Bn (代B是常数，A

24、 = 0)= a/?是等差数列.新题导练：1.设&为数列"an *的前n项和，Sn = pnan(nN .) , a a2.求常数p的值；求证：数列Qn匚是等差数列.考点3等差数列的性质例5已知Sn为等差数列 n 的前n项和，a6 =100，则S11 =；已知Sn为等差数列 a 的前n项和，Sn二m,Sm二n(n - m)，则Sm n二【解题思路】利用等差数列的有关性质求解 .【解析】 S11也 11 "6 =11a6 =1100 ；a1 *amHn -an+*am - _2 ,Sm(m n)(a1 am-(m - n)；方法3：打是等差数列，二，Sni>为等

25、差数列二 n, Sn , 'm, Sm ,"m+ n, Sm 由 j 三点共线.< n八 m八 m+n丿卫 _ mSm .n _ n_JL=m m Sm n (m n) mnn提醒：利用等差数列的有关性质解题，可以简化运算新题导练：1含2n +1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为 .S7n 十 2a2. 设Sn、Tn分别是等差数列 二油勺前n项和，二一 -，则-5 -Tn n + 3bs考点4等差数列与其它知识的综合1 11例6已知Sn为数列 a的前n项和，Snn- n ；数列：0满足：b3 = 11,2 2bn - =2bn 1 - bn，其前 9 项和为

26、153.(2an"1；(2bn-1)，求使不等式 Tn57 对求数列n 1 b ?的通项公式；设Tn为数列匕/的前门项和，Cn-n N .都成立的最大正整数 k的值.【解题思路】利用an与Sn的关系式及等差数列的通项公式可求；求出Tn后，判断人的单调性.n ,2=1时,-2时,an - Sn - Sn=1时,bn - =2g 1= g 11 2 11 1 2 11n n (n -1) (n -1) = n 5 2 2 2 2an 二 n 5 ；bn bn .222 11, bn 是等差数列，设其公差为d .b +2d =11二 d =5,d gd +36d =153.bn =5 3(

27、n -1) =3n 2.6(2an -11)(2bn2-1)62(n5) -1112(3n2)-1】1 1(2n -1)(2n 1)1 1 1 1 1 Tn =(1)()()n 33557；n N Tn是单调递增数列. 1 当 n =1 时，Tn min = T1 二1 二2n -1 2n 11 1 1+ () = 12n -1 2n 12n 1kk2kTn对 _ n N .都成立=Tn mink 3857573 57.所求最大正整数k的值为37 .小结：本题综合考察等差数列、通项求法、数列求和、不等式等知识，利用了函数、方 程思想，这是历年高考的重点内容.新题导练：1已知Sn为数列 a f的

28、前n项和，3， SnSnJ =2an(n_ 2).求数列乩?的通项公式；数列：aj中是否存在正整数 k，使得不等式ak .a对任意不小于k的正整数都成立？若 存在，求最小的正整数 k，若不存在，说明理由.第3讲等比数列知识梳理：1等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q（q = 0）,这个数列叫做等比数列，常数q称为等比数列的公比.2通项公式与前n项和公式通项公式：an， a1为首项，q为公比前n项和公式：当q =1时，Sn二ng当 q “ 时，Sn = ai（1 詔）=ai -砧.1 -q 1-q3. 等比中项如果a,G,b成等比数列，那么 G叫做a与b的等

29、比中项 即：G是a与b的等差中项=a，A，b成等差数列=G2二ab.4.等比数列的判定方法定义法：an2q （nN .，q=O是常数）二 况？是等比数列;an中项法：an=an Gn_2（ nN#且an HOU g 是等比数列5等比数列的常用性质数列1an 是等比数列，则数列pan二fpan （q = 0是常数）都是等比数列;在等比数列：an 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an ,k,an 2k,an .3k，-为等比数列，公比为 qk. an 制 qn（n,m N ）若 m n = p q（m,n, p, q N ），则 am -aap aq ；若等比数列 0n 的前n项和

30、Sn，则Sk、S2Sk、S3 S2k、S4k - Ssk是等比数列 重难点突破：1. 重点：理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式、 前n项和公式并能解决实际问题； 理解等比中项的概念，掌握等比数列的性质.2. 难点：利用等比数列的性质解决实际问题3. 重难点：正确理解等比数列的概念，灵活运用等比数列的性质解题求等比数列的公比、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质问题1：已知等比数列、an?的前n项和S = pn -1（p是非零常数）,则数列 订/是（）A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.非等差数列分析：先由Sn求出an，再根据等差、等比数列定义作出判定解

31、析：5 =-1 ,务=Sn厂（p-1）p2（ n 一 2）-当p=1,且p=O时，'an 是等比数列；.当p=O时，"aj是等差数列，选 C.求实数等比数列的中项要注意符号，求和要注意分类讨论问题2：若实数数列1,a1,a2,a3,4是等比数列，则 a分析：本题容易错认为，由等比数列的等比中项公式a； =1 4，得a2 =_2.解析：；1, aa2,a3,4 是等比数列，.a； =1 4，得 a2 二 2.又 1,a1, a2 是等比数列，.a12=1a2,ar R，- a2 =2.热点考点题型探析：考点1等比数列的通项与前 n项和题型1已知等比数列的某些项，求某项例1已知a

32、n 为等比数列，a2 =2,a6 =162，则a10 =【解题思路】 可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质【解析】方法1：a2 = aiq = 25=a = aiq =162q4 =819ai0 = aiq= a6q4 =162 81 =13122162a22方法3：；江为等比数列2a6方法2：=81，- aio= a6q4 = 162 81 =13122162213122 a22小结：给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法题型2已知前n项和&及其某项，求项数.例2已知sn为等比数列 n 前n项和，Sn = 93，an = 48，公比q = 2，则项数n二. 已知四个

33、实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2a2 ai0 = a6= ai0【解题思路】 利用等比数列的通项公式an二a1q及&二ai(1 _q)求出a1及q，代i -q入Sn可求项数n；利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数d(2n -1) =93_a1 2 =48 r2b = a + cc2 二 bd；a b = 37b c = 36方法2：设前2个数分别为a,b，则第3、4个数分别为36 -b,37 - a，99a 二4 b=81；4【解析】由Sn = 93，an = 48，公比q = 2，得方法1：设这四

34、个数分别为a, b,c,d，则2"(36宀+*，解得 ©6-b)2 =b(37-a)a=12 或*b = 16方法3：设第2、3个数分别为b,c,则第2n =32二 n = 5.21个数为2b - c，第1个数为c ，则b22b -c + dbb c =36_或c=20=81b4 .63'c =4方法4:设第2、3个数分别为方法5:设第34个数分别为c 2a c 2c ；a cc,d，则设第1,2个数分别为37-d,36-c，则b，c，设第1,4个数分别为c = 20 = 166349或 c = , d = d = 2544-24)15 , S,。-S4 =1008

35、.-2an = 1 3 32 33"，求 Sn【解析】；an =1 3 32 33 亠 -3nJ1 231.Sn = (3 32 333n) _ n2 23n 13即 Snn4 24例5已知Sn为等比数列1an 前n项和，_丄-21(1 -3n)3n丄1-3 一 22，3(1 -3n)1 nn1-32【解题思路】分析数列通项形式特点，结合等比数列前 法求和.an =(2n-1) 3n，求 Sn.n项和公式的推导，采用错位相减2(36-c) =(37d)+cJ 2 二c =d(36-c)小结：平时解题时，应注意多方位、多角度思考问题，加强一题多解的练习，这对提高我 们的解题能力大有裨益

36、题型3求等比数列前n项和例3等比数列1,2,4,8，中从第5项到第10项的和.S4，利用So - S4求解；也可以先求出 a5及aio,【解题思路】可以先求出So，再求出由a5, a6, a7,，a®成等比数列求解.【解析】由印=1, a2 =2，得q = 2，10S1012 )= 1023，S4(11- 21例4已知Sn为等比数列也前n项和，【解题思路】 可以先求出an，再根据an的形式特点求解.【解析】；an =(2n-1) 3n.Sn =1 3 3 325 33(2n -1)3n，3Sn = 1 32 3 335 34(2n - 3)3n(2n -1) 3n 1一，得-2Sn

37、=3 2(32 3 34 亠亠3n) - (2n -1) 3n 1=3 2 丄- -(2n- 1) 3n1=(2-2n) 3n 1 -61-3.Sn =(n -1) 3n 1 3.小结：根据数列通项的形式特点，等比数列求和的常用方法有：公式法、性质法、分解重 组法、错位相减法，即数列求和从通项”入手.新题导练：1.已知 a匚为等比数列，a1a2 a 3,a6 a7 a 6，求an - a，知的值.2. 如果将20,50,100依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为.3. 已知Sn为等比数列an 的前n项和，a2 = 3,a6二243, & = 364，则n二；4.

38、 已知等比数列 唁中，a2 =1，则其前3项的和Ss的取值范围是 .5. 已知Sn为等比数列前n项和，an 0，5=80，S2n= 6560,前n项中的数值最大 的项为54,求S100.考点2证明数列是等比数列例 6 已知数列 0n f和"bn 满足：a ，an |an - n -4，bn = (T)n(an -3n ' 21)，3其中人为实数，n乏N+. 对任意实数'，证明数列不是等比数列； 试判断数列 b 是否为等比数列，并证明你的结论 【解题思路】证明数列 也？不是等比数列，只需举一个反例；证明数列江？是等比数列，常用：定义法；中项法【解析】证明：假设存在一个实

39、数 ，使玄是等比数列，则有 al = a a3，2 244 24 2即(3) = (4)4L 川,94，：= 9=0,矛盾.3 999所以3.不是等比数列. 解：因为 0 =(-1)n(an - 3n 21) =(1)n 1 an1 -3(n 1) 211二(1)n 1 an “ -3n 18 I - (-1)n 勺点玄.-2n 14)32 2(-1)" 1 (an - 3n 21)bn3 3又-1C 18),所以当，-18, b =0(n N )，此时不是等比数列；当-18, b = -C 8)时，由上可知bn = 0, n d - - (n N .),此时4 是等比数列 bn3归

40、纳：等比数列的判定方法：定义法:中项法:新题导练：an 1an=q(n N .，=a 1是等比数列;an 1 = an，an .2(n N 亠)且 an = 0= ：an 是等比数列2 2a11.已知数列an的首项a1, an 1- , n =1,2,3,.证明：数列1是等比数3 an+1an列考点3等比数列的性质例7已知£为等比数列Sn 前n项和，Sn =54 , S2n 60，则务=【解题思路】结合题意考虑利用等比数列前n项和的性质求解【解析n 是等比数列，.Sn,S2n -Sn,S3n -S2n为等比数列，182.54(S3n 一60) =36= S3n.3小结：给项求项问题，

41、先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法新题导练：1.已知等比数列 a 冲，an 0,(2a4 a2 a6)a4 =36，则 a3 ' a5 =.考点4等比数列与其它知识的综合例8设Sn为数列 4 的前n项和，已知ban -2n =IbT Sn证明：当b = 2时，、an -n 2n A '是等比数列；求*的通项公式【解题思路】 由递推公式 S ,an, n丄0求数列的通项公式an = f (n)，主要利用:3( n =1)§n Sn4(n 占 2)同时注意分类讨论思想【解析】由题意知 ai =2，且 ban -2“ = b-1 Sn, ban.i-2n1 二 b-1

42、 Sn .1两式相减，得 b an 彳.an ；2n = b1 an 1，即 anban 2n当b =2时，由知 an2an 2n于是 an 1 - n 1 2n =2an 2n - n 1 2n-2 an -n -2n-又a1 -1 2nJ =1=0，所以 也-n -2nJ?是首项为1，公比为q = 2的等比数列。当b =2时,当b = 2时,由（I）知 an - n -2nJ =2nJ，即 a n 1 2nJ由得 an .12n 1 =ban 2n -2 b2-b22 b因此am1 cn1b an22b22b/i b 丿2b八(2-2旷n =1n _21小结：退一相减是解决含有 Sn的递推

43、公式的重要手段，使其转化为不含Sn的递推公式,从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式时，重视首项是否可以吸收是易错点，同时重 视分类讨论，做到条理清晰是关键 .新题导练：1设&为数列、an啲前n项和，印=a , anSn 3" , n N . 设0二Sn -3n，求数列:bn /的通项公式;若an 1 _ an (n N .)，求a的取值范围.第4讲数列的通项的求法知识梳理： 数列通项的常用方法：利用观察法求数列的通项.利用公式法求数列的通项：a JS(1)；笑务等差、等比数列laj公 Sn A2)式应用迭加(迭乘、迭代)法 求数列的通项： an an f (n):anan

44、 f (n).构造等差、等比数列求通项： an 1 pan q : an 1 二panqn: a. 1 二 panf(n):an2 二 Pan .1qa.重难点突破：1. 重点：掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法2. 难点：由数列递推关系式的特点，选择合适的方法.热点考点题型探析：考点求数列的通项公式题型1利用公式法求通项例1已知S为数列an 的前n项和，求下列数列an /的通项公式： & =2n2 3n -1 ； Sn = 2n 1.S)( n = 1)【解题思路】 已知关系式f(Sn,an, n)=0，可利用an=，这是求数列& -n 启 2)通项的一个重要公式【解析

45、】当n =1时，a S1 = 2 123 1-1=4，=1 时，4 1 1 = 5 =印，an-2 时，an 二Sn _Sn32 n2 3n -1) - 2(n -1)2 3( n- 1)-1 】 = 4n 1. _4(n=1)4n +1( n 兰 2)当 n =1 时，ai = S = 2 1 = 3，-2 时，an 二 Sn - Sn=(2“ 1) -(2心 1) =2n.=1 时，21 p， an'3(n=1)2n(n K2).小结：任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都存在关系：ann = 1)§ -乩(nA 2)若a1适合an，则把它们统一起来,否则就用分段函数

46、表示题型2应用迭加(迭乘、迭代)法求通项例2已知数列 玄中，印=2,an =an4 * 2n -1(n _ 2)，求数列的通项公式;已知Sn为数列 玄的前n项和，印=1， Sn = n2an，求数列：an匚的通项公式.【解题思路】 已知关系式anan f(n)，可利用迭加法或迭代法;已知关系式an1 =an计(n)，可利用迭乘法.【解析】方法1：(迭加法)a1 =2, an2n -1( n - 2)，a* -an4 = 2n -1-a(an-an4)(an4-an)(a.a. J2 -aja1=(2 n 1)(2 n 3)(2 n 5)531 工一 =n2方法 2:(迭代法)：a! = 2,

47、an = an j 2n - 1(n _ 2).an = an2n -1 二 an, 2( n -1) 2n -1二 an；2(n -2)2(n -1)2n -1 二=135 川川，2(n 2)2(n -1)2n 1 =n2 , an 二 n2.；a=1，Sn 二an，.当n _ 2时，2Sn J - (n'an J2z八2a nn -1二 an二 Sn_ Sn J - n an(n1) an_1 =an_1n 1ana n 二an_2a3a2n -1n-2 n-32an* * *a. J.an _2an J3a2a1n 1nn - 14归纳：迭加法适用于求递推关系形如an .1van

48、f(n) ”；2n(n 1)迭乘法适用于求递推关系形如an+ =an f (n)；迭加法、迭乘法公式：an= (an_ an J)(anan_2)(an_2anJ3)(a2 - a1)a1anan 1an_2. a3a2 ana1.an 1an _2anJ3a2a1题型3构造等比数列求通项例3已知数列：an /中，a1,an2an 3，求数列an 的通项公式.【解题思路】 递推关系形如 3.4 = pan q ”是一种常见题型，适当变形转化为等比数列【解析】-an1= 2an3， -an 13 =2(an3).矗 3 是以2为公比的等比数列，其首项为 印 3 = 4an 3=4 2n=an=2

49、n1-3.归纳：递推关系形如 an彳.=pan q ”适用于待定系数法或特征根法:令 an 1 -，= P( an )；在 an 1 二 panq 中令 a. 1 二 a.二 x 二 x - ，a. 1 - x 二 p(a x)；1 - pq，- a. 1 - a.二 p(a, ，求数列an'适当变形转化为可求和的数列=旦(-3)n2nJ (2)，由 an 1 二 pan q得 a.二 pa. 例4已知数列w中，【解题思路】递推关系形如an计=pana1 = 1 an 1 = 2an 3 qn ”an 1n - an).的通项公式.【解析】方法1： ； an2an - 3n，2n3则

50、bn 1 一 bn 二(2)"，= (bn -bn4) (bnj -bn"(b2 -b1)bi3)2(3)2 (3严川卷(3)22 2 2 2=3n -2nbnan方法2： an1 = 2an 3，彎送3、n2丿2 十2(；)an + 1 令 an二nL332(解法略)则 bn 1bn 1，转化为 an pan q “3an d - pan q "或 a.i. "n f (n)“ 求解例5已知数列 备中，ai =1 ,a2 = 2, an卡=3an2an，求数列an的通项公式 【解题思路】 递推关系形如 3n .2二p Gn 1 q an ”可用待定系数法或特征根法求解庐-a =3a =-1门或丿a P = -2|P =2由【解析】令an 2 ：* an 1二-(an d :- an) 2Q，二 an2 an 屮=2(an1 an ). =1.数列lani -an 是等比数列，.an 1 -a2njan =(an -'an，(an J _' an _2 ) ' (an _2 _' an _3)，' (a2 _'a1) ' a1=2n_2 +2心 +2n，+ +2 +1 +1 =2*小结：递推关系形如 an 2 = P an d q an ”通