第43讲简单的线性规划问题

1、第43讲简单的线性规划问题*1,习目标1 .了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.2 .会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.理前预习*知识梳理3 .二兀一次不等式(组)表不平面区域(1)二元一次不等式人*+3丫+00(或0)表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公共部分(3)画或判断二元一次不等式表示的平面区域常采用直线定界，特殊点定“域”.4 .线性规划的有关概念(1)线性约束条件一一由条件列出的二元一次不等式组；(2)线性

2、目标函数一一由条件列出的一次函数表达式；(3)线性规划一一求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为线性规划问题.(4)可行解、可行域、最优解：满足线性约束条件的解可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解.5 .利用线性规划求最值的一般步骤：(1)根据线性约束条件画出可行域；(2)设z=0,画出直线10；(3)观察、分析、平移直线10,从而找到最优解；(4)求出目标函数的最大值或最小值.热身练习1 .下列各点中，不在x+y1W0表示的平面区域内的点是(C)A.(0,0)B.(-1,1)C.(-1,3)D,(2,-1)将上述各点代入不等式检验，

3、若满足不等式，则点在所表示的平面区域内，否则，不在.(x,y)叫做可行解，由所有因为（0,0）,（1,1）,（2,1）都满足不等式，所以这些点都在所表示的平面区域内，而（1,3）不满足不等式，故选C.2 .如图所不，不等式2xyv0表布的平面区域是（B）直线定界，因为2xy=0不经过（2,1）点排除D,2x-y0,故（1,0）不在2xy0,3 .不等式组ix+3y4,3x+y0时，当直线过z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；当Bv0时，当直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.(2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察结果就可能有误.变式探

4、究二求线性目标函数的最值x-2y-20,0,则z=3x+2y的最大值为作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.可行域且在y轴上截距最大时,1.(2017全国卷出)设x,y满足约束条件3x+2y-60,y0,A.-3,0B,-3,2C.0,2D.0,3画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由题意可知，当直线y=x-z过点A(2,0)时，z取得最大值，即zmax=20=2；当直线y=x-z过点B(0,3)时,z取得最小值,即Zmin=0-3=-3.所以z=xy的取值范围是3,2.求非线性目标函数的最值x-10,S0若x,y满足约束条件Jx-y0,则x的最大值为L_X+y-4w0,画出可

5、行域如图阴影所示,因为y表示过点(x,y)与原点(0,0)的直线的斜率,x所以在点A处时，y最大.x则z=x-y的取值范围是(B)x=ix=1,x=1,由彳得彳所以A(1,3).x+y4=0,y=3.所以X的最大值为3.ED3求非线性目标函数的最值问题，关键是从目标函数联想到相对应的几何意义，常见的是两点连线的斜率和两点间的距离，在此基础上再利用数形结合的思想方法进行求解.x+y2,(2016山东卷)若变量x,y满足，2x3y0,作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.x2+y2表示平面区域内的点到原点距离的平方,x+y=2,由5得A(3,1),2x3y=9由图易得(x2+y2)max

6、=|OA|2=32+(1)2=10.故选C.线性规划在实际问题中的应用2.A.C.4B.910D.12例3.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产万元，则该企业每天可获得最大利润为1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4由图可知，当直线z=3x+4y经过点A（2,3）时，z取最大值，最大值为3X2+4X3=18.建立线性规划问题的数学模型的一般步骤:设出所求未知数；列出约束条件（即不等式组）；建立目标函数；作出可行域；运用图象法求出最优解.3.（2016全国卷I理）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产

7、一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时； 生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.随3设生产产品Ax件，产品By件，则解.甲乙原料限额A（吨）3P212B（吨）1P28A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元I设出甲、乙两种产品的数量，列出关系式，转化为线性规划问题，画出可行域求设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有px+2

8、y12,x+2y0,y0,z=3x+4y,作出可行域如图阴影部分所示,1.5x+0.5y150,x+0.3y90,55x+3y0,xCN,N,y0,yCN N.画出可行域，如图:目标函数z=2100 x+900y.（包括边界）内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0).当直线z=2100 x+900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax=2100X60+900X100=216000(元).|网里递,1 .画二元一次不等式表示的平面区域常采用直线定界，特殊点定“域”；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，是

9、它们平面区域的公共部分.2 .对线性目标函数z=Ax+By中的B的符号一定要注意.当B0时， 当直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；当BV0时，当直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3.常见目标函数有截距型（ax+by=z）,距离型（z=Z（xx。2+（yy。2）,斜率型亿=4 .最优解一般在可行域的顶点处或边界取得，要注意边界的虚实.此外解选择、填空题常常可先求可行域的顶点，再代入目标函数验算.5.建立线性规划问题的数学模型的一般步骤：明确问题中的有待确定的未知量，并用数学符号表示；作出可行域为图中的阴影部分yy0 xx0）几种.明确问题中所有的限制（约束）条件，并用线性方程或线性不等式表