分形理论及其应用

1、文章编号:1003-6318(200404-0051-06分形理论及其应用王美荣1,金志琳2(1.青岛市第九中学化学教研组,山东青岛266012;2.山东大学胶体与界面化学教育部重点实验室,山东济南250100摘要:近20年来,分形的研究受到广泛的重视,其深刻的理论意义以及巨大的实用价值吸引着人们寻求其中可能存在的新规律和新特征.该文介绍了分形的概念、分形维数的计算方法、研究手段以及在各个领域的应用,着重阐述分形理论对科学的推动与冲击.关键词:分形;分形理论;分维;应用中图分类号:O64文献标识码:A分形理论始创立于20世纪70年代中期,创立伊始就引起人们极大的兴趣,与耗散结构、混沌并称为70

2、年代科学史上的三大发现.作为一门独立的学科,该理论只有大约30多年的历史.美籍法国数学家曼德布罗特(Benoit B Mandelbrot于1967年在科学杂志上发表了一篇题为“英国的海岸线有多长?统计自相似性与分数维数”(How Long is the Coast of Britain,Statistical Self Similarity and Fractional Dimension的论文,通常被认为是“分形”学科诞生的标志.曼德布罗特1,2在随后两本著作自然界的分形几何学和分形:形状、机遇与维数中第一次提出了fractal这个英文词,其原意是“不规则的”、“分数的”、“支离破碎的”物

3、体,并阐述分形理论的基本思想,即分形研究的对象是具有自相似性的无序系统,其维数的变化是连续的.应该认识到的是,自相似性是自然界一个普遍的规律,小到树叶的叶脉,大到天体宇宙,自相似性普遍存在于物质系统的多个层次上.这位被科学界尊称为“分形之父”的曼德布罗特的最大贡献在于提出“物体或几何图形的维数的变化可以是连续的”这一惊人的论断,即其维数可以不是整数.分形理论借助相似性原理洞察隐藏于混乱现象中的精细结构,为人们从局部认识整体、从有限认识无限提供新的方法论,为不同的学科发现的规律提供了崭新的语言和定量的描述,为现代科学技术提供了新的思想方法.近20年来,分形理论在自然科学、社会科学及哲学的许多领域

4、中得到了广泛的应用,并逐步成为连结现代各学科的纬线.1分形理论简介1.1分形概念的提出按照分形理论,分形体内任何一个相对独立的部分(分形元或生成元,在一定程度上都是整体的再现和缩影.这种现象,无论是在客观世界自然界和社会领域,还是在主观世界思维领域,都是普遍存在的.下面是对分形的初步分类3,4.(1自然分形凡是在自然界中客观存在的或经过抽象而得到的具有自相似性的几何形体(对象,都称为自然分形.它涉及的范围极为广泛,包括的内容及其丰富.从自然科学基础理论到技术科学、应用技术的研究对象,都存在着自然分形.例如,星云的分布、海岸线的形状、山形的起伏、云彩、地震、湍流等众多现象中的部分毫无例外地与整体

5、相似.(2社会分形凡是在人类社会活动和社会体系中客观存在及其表现出来的自相似性现象,称为社会分形.这种分形几乎涉及以第26卷第4期Vol.26No.4菏泽师范专科学校学报Journal of Heze Teachers College2004年11月Nov.2004收稿日期:2004-02-18作者简介:王美荣(1977-,女,青岛海阳人,教师,研究方向:化学教研与化学发展. (a Sierpinski 三角形(b K och 曲线图1两种简单、规整的分形图形社会的各个层面为研究对象的所有社会科学部门.不论是使人明鉴的史学,还是使人灵秀的诗歌;也不论教人聪慧的哲学,还是令人善辩的辞学,都存在着

6、,或在某一时期某一范围存在着自相似性的现象.社会分形表征了社会生活和社会现象中一些不规则的非线性特征,有着广泛的应用价值.(3时间分形凡是在时间轴上具有自相似性的现象或研究对象,称为时间分形.有人也把它称为“一维时间分形”或“重演分形”、“过程分形”.德国科学家魏尔说过一段耐人寻味的话:“在一维时间中,等间隔的重复是节律的音乐原则.当一棵苗生长时,人们可以说,它把一种缓慢的时间节律翻译成了一种空间的节律”.恩格斯也曾经指出过,整个有机界的发展史和个别机体的发展史之间存在着令人惊异的类似.在人类社会的发展中,同样存在着类似的现象.(4思维分形人类在认识、意识活动的过程中或结果上所表现出来的自相似

7、性特征.这包括两方面的情况:其一,作为思维形式之一的概念,它是逻辑思维最基本的分形元,反映了人们对事物整体本质的认识.其二,每个个人的思维都在某种程度上反映了人类整体的思维.美国科学家道霍夫斯塔特曾经写道:“每个人都反映其它许多人的思想,他们每个人又反映别人的思想,一个无穷无尽的系列”.可以说,人类的每一个健全个体的认识发生、发展过程,都是人类认识进化史的一个缩影,是其简略而又迅速的重演.1.2分形维数的定义分形维数(fractal dimension ,又叫分维、分数维,是分形几何学定量描述分形集合特征和几何复杂程度的参数.由于分形集的复杂性,关于分形维数已有多种定义,最有代表性的是Haus

8、dorff 维数.对于任何一个有确定维数的几何形体,若用与它维数相同的尺度r 去度量,其大小N (r 与单位量度r 之间存在如下关系:N (r r -DH或D H =ln N (r /ln (1/r 式中,D H 即为Hausdorff 维数,它可以是整数,也可以是分数.此外,分维还有多种其它定义,如相似维数、盒维数、关联维数、容量维数、谱维数等.对于有规分形,其维数的计算可以用相似维数,定义为:如果某图形是由把全体缩小为1/a 的a D H 个相似图形构成,那么指数D H 就具有维数的定义,此维数就是相似维数.如果设a D H =b ,则D H =ln b/ln a.(1改变观察尺度求维数用

9、圆和球、线段和正方形以及立方体等具有特征长度的基本图形去近似分形图形.例如用长度为r 的线段集合近似海岸线那样的复杂曲线,把得到的线段总数记为N (r ,如果该曲线有N (r r -D的关系,即可称这曲线具有D 维数.对海岸线和随机行走轨迹分形维数的测定,多数采用此法.(2根据测度关系求维数利用分形具有非整数维数的测度来定义维数,如把一个立方体每边的长度扩大到原来边长的2倍,那么二维测度的表面积即为22倍,三维测度的体积为23倍.因此,若把一个量的单位长度扩大到2倍,并假定它能成为具有2D 的量,那么此量即可称为D 维的.此法可以测岛屿海岸线和分布于空间的点的集合的分形维数.(3根据相关函数求

10、维数相关函数是最基本的统计量之一,如果把在空间随机分布的某量X 在坐标x 处的密度记为(x ,则相关函数C (r 可以定义为C (r (x (x +r .式中的符号表示平均.如果C (r r -a ,此时幂指数a 与分形维数D 的关系为a =d -D ,式中d 为欧氏空间维数.(4根据分布函数求维数对于大小和分布没有特征长度的图形或物体,从其分布2004年菏泽师范专科学校学报第4期函数可求得分形维数.例如月球表面照片上有不同大小的月坑,月坑直径为r,把直径大于r的月坑存在的几率记为p(r,若把直径的分布几率密度记为p(s,则有p(r=r p(sd s可证明上式为幂型p(rr-D,其中D为分形维

11、数.(5根据频谱求维数显而易见,在分形理论的应用过程中,分形维数的测定是其中十分重要的步骤之一.严格数学意义上的分维测试方法如上所述,而通常聚集体的分形维数可以通过两种途径获得:计算机模拟絮体聚集成长过程与实验直接测定.计算机模拟法是基于分形结构的形成机制,而许许多多的实验技术已被应用于分维的测定,如影象分析法、絮体沉降法、光散射法等6.(1影像分析法影像分析法是应用电子显微镜如透射显微镜(TEM对聚集体连续快速拍摄,从所得图象中聚集体质量与粒度的关系中获得分形维数,而将图象中的颗粒数与所测定的具有典型粒径的单个颗粒的质量相乘即得聚集体的质量.上述方法曾经较为广泛地应用于分析金溶胶聚集体7、硫

12、酸铝与活性污泥聚集体、针铁矿聚集体8以及最近对有机物聚集体的结构也进行了分析9.影像分析法的惟一缺点是拍摄所得的图像属于二维投影而非三维体,其基本假设为,当分形维数D H<2时,二维投影分析得到的分形维数与实际分形维数相同;当D H略微小于2时测量结果将会有较大的偏差.另外,当D H>2时,所得图像为密实的二维体,分形维数测量值只能是2,该法彻底失败.影像分析法的优点是较为明确直观,但仍属于间接测定.近期发展起来的数字式摄像技术,并应用计算机处理数据的强大功能,使得直接测定成为可能.(2絮体沉降速率(或密度法絮体沉降速率(或密度法是基于沉降速率与特征粒度之间的关系,如方程所示:V(

13、RR C,其中C是常数,分形维数D H=C+1.该法的缺点是在D H>2时,实验值与理论值较好的吻合.而当D H<2时,聚集体孔隙度的评估具有较大的偏差,测定的分维将不再是正确的.(3散射法无规则体系中的散射信息提供了颗粒间的空间连接关系,从而得以推测分形结构.研究发现小角度X射线散射法和中子散射法特别适合于无规体系包括聚合物、颗粒与溶胶的聚集体的分析测定.这些方法对于粒度处于1200nm的分形结构与无规形体尤为合适.光散射法对于微观结构体系分维的测定是十分有效的,特别在样品的制备与结果分析方面具有其特殊的优越性.(4其它方法当光穿过流动的悬浮液时,由于光路中颗粒粒度与数目的随机变

14、化,使透射光强度呈现出脉动现象,也即浊度脉动.这种基于浊度脉动的检测方法可以用来对悬浮液颗粒聚集过程提供十分有用的信息,结合聚集体粒度分布与分形聚集体的光散射特征进行适当的简化处理,能表征聚集体成长过程中的分维变化特征,从而得到越来越广泛的应用.另外,絮体沉降体积法也得到一定程度的应用,非常适宜于相对高浓度颗粒较为密实的悬浮液的测定.2分形理论的应用2.1在化学方面的应用最初分形理论在化学中应用主要体现在以下几个方面.有些沉积物在其积聚过程中的某些阶段往往会出现分形结构,著名的DLA模型就是在研究大气中的金属粉末、煤灰和烟灰等微粒的无规扩散积聚时提出的,并在环境科学中可能有很好的应用前景.科学

15、家们将此模型应用于电解沉积中,如在这一方面最早报道的是英国科学家Brady R M.和Ball R C.10发表在Nature上的关于电解实验中得到的铜离子在三维空间中的凝聚体,其维数是2.43±0.03,实验结果与DLA模型符合较好.分形理论还在高分子的研究中找到自己的一席之地,人们可以采用分维测量方法中曼德布罗特提出的“小岛法”来测量高分子链的分形维数.高分子链几乎都是随机混乱排列而构成的,可以用一模型来模拟其结构.同时,高分子链的局部与整体具有自相似性,所以可以认为高分子链是一具有分形结构的长链.这一结论推动了对高分子结构、形态认识的深入,导致了著名的Flory2Fisher理

16、论的诞生.研究工作者通过测定和分析反应过程中形成的聚合物分子簇的分维11,发现不同反应初始状态对反应物结构的演变和最终产物的形成有很大影响.分维可以对水凝胶聚合物的微观网络的致密程度进行量化表征,而采用多重分形理论描绘水凝胶聚合物微观形态的多重分维谱,可以比较非均匀程度,反映水凝胶聚合物微观形态不同层次上的分形特征.刘孝波等12研究了双马来酰亚胺共聚物的凝胶化过程和网络的分形特征,建立了该种共聚物在液晶态下交联反应过程的分形模型,得到了网络结构的分形维数,阐明了凝胶化过程是一个受限扩散过程,固化过程的后期是由于形成局部有序网络结构,这为液晶热固性聚合物的研究提供了新的表征方法,作者还进一步提出

17、了液晶热固性聚合物形成的分形理论.聚合物共混材料的性能强烈地依赖于共混物界面,所以2004年王美荣,等:分形理论及其应用第4期共混物界面一直是共混研究方面的热点,但这方面的研究大多是定性研究,定量描述是极其困难的.王文新等13采用了一种图形变换方法将复杂的聚合物共混界面转换成具有几何特征的图形,并用分形理论加以定量描述,认为分维D是描述共混物界面复杂状态的一个重要参数,D越大,界面状态越复杂,共混物的相容性也就越好.Mathot Vincent等14研究了线性、支化及共聚聚乙烯的亚稳性和有序结构,发现在均质乙烯共聚物中,当共聚单体含量达最大值时,结晶过程是一种分形生长过程,形成“疏松堆砌的乙烯

18、序列”胶束.Shan等15通过电化学聚合法合成具有分形图案的聚吡咯(PPy并分析了分形图案与生长条件之间的关系以及聚合物在反应过程中的形态转变.K im等16采用声发射信号探测法,并通过用分维定量刻画高分子树的形状,对高分子树生长的损坏过程及分形性质给予了研究.现在一个普遍为众多催化学家接受的观点是:催化剂表面布满孔隙和皱褶,已不能将它当作二维的表面来看待.即在这种表面进行的化学反应或吸附不能认为是发生在2维界面上,而应以大于2维接近于3维的系统看待,这样才能更真实地反应催化剂表面的实质,也就是说只有采用表面分维才能真实完整反映催化表面的不规整性,而这种不规整的表面恰恰是较高的反应转化率的一个

19、重要原因.人们期待着表面分维能够成为催化剂的重要表征参量之一,同以前常用的BET比表面相比,分形维数能体现出表面的“质量”,而BET比表面值更多的体现的是表面的“数量”,很显然,“质量”的好坏对催化活性的影响要远大于“数量”大小对活性的影响.因而在催化领域,该理论的应用进展是十分瞩目的,尤其是随着仪器及计算机性能的不断扩展,分形维数的确定已摆脱了烦复的实验和大量的数据处理,进入到了一个崭新的时代.2.2分形理论在材料科学中的应用陶瓷材料的冲蚀磨损是一个复杂的动态力学过程,它涉及到诸多因素.冲蚀磨损后,陶瓷材料的表面属于非规整的几何表面,蕴藏着关于冲蚀损伤表面的丰富信息,在统计意义上遵从分形的基

20、本规律,因此可用分形维数对这种非规整的几何表面进行描述.材料表面的负载随着粒子冲击速率的增加而相应增加,从而材料表面的分形维数也随之提高,其分形维数实际上反映了横向裂纹的扩展速度.大量实验结果表明材料中不同度域范围内可能存在着不同的分形结构,即多度域分形,如沿晶裂纹、穿晶裂纹、位错线、空位团、沉淀等,它们都存在于一定的度域范围内.在应用分形理论研究材料断裂表面的结构特征时,最基本、最重要的内容就是如何准确地测量、计算表面的分维值.Man2 delbort提出采用Slit island analysis测量、计算断裂表面的分维值.近年来又相继发展了Profile analysis和二次电子线扫描

21、法.Mandelbrot等认为金属断裂表面是粗糙的和不规则的,对断面细节观察发现,裂纹均以Z字形前进,大的Z字形套小的Z字形,具有近似的自相似性质,故可以把它看作是一种分形结构.金属断口的分维测定方法一般采用垂直剖面法,这种方法在金属断口方面的应用日益广泛.许多学者认为,断口表面的分维是金属断裂表面粗糙度的一种量度,且与金属内部的组织和性能有关;断口的分形维数可定量描述断口特征和断裂机制.随着分形的进一步深入,关于金属断口的多种分形模型建立,为金属断口这一分形结构的重构和模拟打下了基础,为最终认识金属断口这一分形结构形成的物理本质及其正确地指导生产实践创造了条件.许多学者在凝固和相变方面的分形

22、研究中观察到定向2004年菏泽师范专科学校学报第4期凝固固液界面结构具有分形特征,可以用分形方法来定量描述;非平衡凝固中固液界面的分形维数,不仅是描述不规则图形的几何参量,也是一个依赖于凝固速度变化的态函数;当合金成分一定时,增大凝固速度导致固液界面的分形维数增大,其研究结果还证明了分维是熵的另一种量度.在凝聚态物理中,对一些远离平衡无序系统的不可逆生长过程的研究指出,分形概念及分形维数能很好地描述相变与临界现象中的自相似的标度不变性质,并已能利用计算机模拟图形和实验结果.分形在金相组织研究方面也取得了一些进展,并在溶胶凝胶过程、多孔材料中反应的分形动力学特征、材料断裂韧性研究的不定性问题、高

23、分子分形、纳米半导体的分形生长、表面分形以及粒度分布分形模型等诸方面深入发展,相继取得了一些研究成果.2.3分形理论在地理研究中的应用人文地理现象的分形研究十分活跃,过去人们描述人类经济活动的行为空间常采用简单的几何图式,有代表性的是同心圆结构或几个同心圆体系构成的网络.这类理想的几何模型形成了当代人文地理学的理论基础,它们漂亮,但不真实.由于历史的、社会的、政治的特别是地形的因素的影响,现实经济景观失去了形式对称性,这些复杂的经济地理现象必须借助分形几何才能予以描述和分析.由于种种原因,国外的地理分形研究在20世纪90年代中期以后进入低潮,偏重于城市结构和形态的分形模拟,而国内的有关研究则方

24、兴未艾.从近年的研究成果看,国内的地理分形探讨,以城市地理学最为活跃.在城市体系空间结构、交通网络空间结构、分维测算方法、城市相互作用、城市化和城市异速生长关系等诸多方面进行的分形研究从理论到方法都有很大进展.分形理论在地理学的支持性技术工具遥感和地理信息系统(GIS方面有着重要的应用.将GIS技术与分形模拟技术结合,将可解决地理系统不可控从而不可实验的难题,促进地理研究更上一层楼.2.4分形理论对科学思维的影响20世纪60年代以来,是科学向复杂性全面进军的时代.在这个进程中,以分形理论、混沌理论和自组织理论(包括耗散结构和协同理论等为代表的非线性科学是主力军.分形是复杂性的几何表现,它已成为

25、定量描述混沌吸引子和自组织行为这样一些复杂现象的重要手段,使得分形几何学又有“混沌几何学”这个美名.它使人们追求确定性的梦幻破灭,从而要求人们修正因牛顿力学的成就而形成的根深蒂固的确定性思维模式.它使排中律破缺,要求人们重视中介现象的探索与研究.它否定了人们几乎不加思索地在取极限时以直(线代(替曲(线的思维方法,并为时空理论带来新的启迪,酝酿着新的物理革命.它正在使几乎整个现代知识体系成为新科学.分形理论作为认识世界的一种新方法,不仅在于从整体与部分之间的信息“同构”中,找到了从部分过渡到整体的媒介和桥梁,为人们从部分中认识整体、从有限中认识无限提供了可能和根据;而且,分形论的提出使人们对整体与部分关系的认识方法、思维方法由线性阶梯进展到非线性阶梯,揭示了它们之间多层面、多视角、多维度的联系方式.分形