B知识讲解曲线与方程

1、曲线与方程【学习目标】1 .了解曲线与方程的对应关系；2 .进一步体会数形结合的根本思想；3 .掌握求曲线方程的根本方法(直接法),了解求曲线方程的其他方法(待定系数法、定义法、转化法、参数法等)【学习策略】借助于实例去体会曲线的方程和方程的曲线的意义；理解求曲线方程的实质,求曲线方程的关键在于把曲线上任一点所满足的几何条件(或其坐标满足的条件)转化为任一点坐标满足的等量关系,要注意方程中量x (或y)的取值范围.【要点梳理】要点一、曲线与方程概念的理解一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y) =0的实数解建立了如下的关系：

2、(1)曲线C上所有点的坐标都是方程 f (x, y) =0的解；(2)以方程f(x,y) =0的解为坐标的点都在曲线 C上.那么,方程f(x, y) =0叫做曲线C的方程；曲线 C叫做方程f(x,y) =0的曲线.要点诠释：(1)如果曲线C的方程为f(x,y) = 0,那么点P(x0,y0)在曲线C上的充要条件为f(x0,y0) =0;(2)曲线C可看成是平面上满足一定条件的点的集合,而f(x,y) =0正是这一定条件的解析表示因此我们可以用集合的符号表示曲线C ： C =( x, y) | f (x, y) =0.(3)曲线C也称为满足条件 f(x,y) =0的点的轨迹.定义中的条件(1)叫

3、轨迹纯粹性,即不满足方程f(x, y) =0的解的点不在曲线 C上；条件(2)叫做轨迹的完备性,即符合条件的所有点都在曲线上.纯粹性和 完备性是针对曲线C是否为满足方程 f(x,y) =0的点的轨迹而言.(4)区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念,轨迹是 形,轨迹方程是 数.要点二、坐标法与解析几何解析几何是在坐标系的根底上,用代数的方法研究几何问题的一门数学学科解析几何的两个根本问题：1.根据条件,求出表示平面曲线的方程；2.通过方程,研究平面曲线的性质.根据曲线与方程的关系可知,曲线与方程是同一关系下的两种不同的表现形式.曲线的性质完全反映在它的方程上,而方程的的性质也完全反映在它的曲线上,这

4、正好说明了几何问题与代数问题可以互相转化,这就是解析几何的根本思想方法,也就是数形结合,形与数到达了完美的统一我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法,又称解析法定义：在直角坐标系中,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程 f(x, y) =0表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.要点三、用直接法求曲线方程的步骤坐标法求曲线方程的一般步骤：建立适当的直角坐标系,并设动点P(x,y).写出动点P满足的几何条件.把几何条件坐标化,得方程F(x, y)=0.化方程F(x, y)=0为最简形式,特殊情况,予以补充

5、说明,删去增加的或者补上丧失的解.证实方程F(x, y)=0是曲线的方程.判断点是否在曲线上的方法把点的坐标代入曲线的方程：点 P(x0, y0)在曲线 C： f(x, y)=0 上 u f(x0,y0) = 0点 P(x°, y0)不在曲线 C： f(x , y)=0 上u f(x0, y0)#0.求两曲线f (x, y) =0与g (x, y) =0的交点坐标方法f j, 丫)0联立f (x, y) =0与g (x, y) =0,方程组?' ,"的解即为两曲线的交点坐标,解的个数为交g(x,y) =0点的个数要点诠释：求曲线的方程时,首先应观察原题条件中有没有坐

6、标系,没有坐标系时应先建立坐标系,否那么曲线不能转化为方程.建系要适当,经常利用特殊点以及曲线的对称性,以尽可能方便写相关点坐标为根本原那么,这样可使运算过程简单,所得的方程也较简单.根据曲线上的点适合的条件列出等式,是求方程的重要一环,在这里常用到一些根本公式.仔细审题,分析条件和曲线的特征,抓住与曲线上任意点M有关的相等关系,结合根本公式列出等式,并进行化简.化简前后解集没变可省略证实.但别忘记删去增加的或者补上丧失的解要点四、求轨迹方程的常用方法：求动点的轨迹方程既是平面解析几何中的主要问题之一,又是高考中的一个热点问题 .求动点轨迹方程的方法主要有以下几种(1)直接法；(2)间接法；(

7、3)参数法.经典例题透析类型一：曲线与方程的概念例1.坐标满足方程 f(x, y) =0的点都在曲线 C上,那么().(A)曲线C上点的坐标都满足方程 f(x, y) =0(B)坐标不满足方程 f(x, y) =0的点都不在曲线 C上(C)不在曲线C上的点,其坐标必不满足方程f(x, y) =0(D)不在曲线C上的点,其坐标有些满足方程f(x,y) = 0,有些不满足方程 f(x, y) =0.【解析】由曲线与方程的定义,(A)、(B)不一定正确,(C)命题是原命题的逆否命题,它们是等价命题,应选(C).【总结升华】在判定曲线的方程和方程的曲线时,两个条件缺一不可,是不可分割的整体,解答此题

8、时,应注意不要被问题的外表现象所迷惑,应根据 曲线的方程与 方程的曲线的概念逐一区分其选项的 真假.举一反三：【高清课堂：曲线与方程 例1】【变式1以下命题正确的选项是()A.到x轴距离为5的点的轨迹方程是 x=5B.方程 又=1表示的曲线是直角坐标平面上第一、三 象限的角平分线yC.方程(x-y)2 +(xy-1)2 =0表示的曲线是一条直线和一条双曲线D.曲线2x2-3y22x + m =0过原点的充要条件是 m=0【答案】D【变式2】(2021春 成都校级期中)方程x2xy+2y+1=0表示的曲线经过 4个A (1, 2), B (2,一1、3) , C (3, 10) , D(0,2)

9、中的()A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】A (1, 2),代入方程x2xy+2y+1=0 ,可得：1+24+1=0,满足方程,所以点 A在曲线上.B (2, 3),代入方程 x2 xy+2y+1=0 ,可得：4+6 6+1 W0,不满足方程,所以点 B不在曲线上.C (3, 10),代入方程 x2xy+2y+1=0 ,可得：9 30+20+1=0 ,满足方程,所以点 C在曲线上.c 1、-2 CD(0.2)代入方程 x2xy+2y+1=0 ,可得：0 01+1=0,满足方程,所以点 D在曲线上.应选Co22b的值.例2.万程(xa) +(yb) =36的曲线经过点 O (

10、0, 0)和点A (0, 12),求a、【思路点拨】假设点在曲线上,那么点的坐标满足曲线的方程22【解析】点O、A都在万程(x-a) +(yb) =36表示的曲线上,点O、A的坐标都是方程(xa)2+(yb)2 =36的解.忙 a>(012bMl 解得仁.6即a=0, b=- 6为所求.【总结升华】方程与曲线的问题也就是解与点的关系,判断点是否在曲线上,只需将点的坐标代入方 程,等号成立即在曲线上,否那么就不在.举一反三：【变式1】曲线2x +2xy -by =0上有点 Q(1,2),那么 b =【变式2】<2兀,点P(cosa,sin a)在曲线(x 2)2 + y2 = 3上,

11、那么a的值为(nA .一3【答案】B.H 、C.一或例3.求证：圆心为P(a,b)、半径等于r的圆的方程是(x-a)2 (y -b)2 r2(1)设M(x0,y°)是圆上任意一点,那么点M到圆心的距离等于r,即 4(% -a)2 +(y0 -b)2 = r ,也就是(x0 -a)2 +(y0 -b)2 = r2,222因此(X0N0)是方程(xa) +(yb) =r的解./一、L一、一999 .一一222(2)设(x0,y0)是万程(xa) +(yb) =r 的解,那么有(x°a) +(y°b) =r ,两边开方取算术平方根,得.(x0 - a)2 (y0 - b

12、)2 =r ,于是点M(x0,y°)到点(a, b)的距离等于r,点(x°, y°)是这个圆上的点.由(1)(2)可知(xa)2+(yb)2 =r2是圆心为P(a,b),半径为r的圆的方程.【总结升华】证实方程的曲线或曲线的方程需证实纯粹性和完备性两方面：曲线上的点的坐标都是 方程的解；以这个方程的解为坐标的点都在曲线上举一反三：【变式1】证实圆心在坐标原点,半径为5的圆的方程是x2+y2=25,并判断点Mi(3,-4), M2(-2j5,2)是 否在这个圆上.【解析】(1)设M(x 0, y.)是圆上任意一点,由于点M到原点的距离为 5,所以 Jx； 1 y02

13、 =5 ,即 x； + y； = 25 ,所以(x°, y°)是方程x2+y2=25的解.(2)设(x°, y°)是方程x2+y2=25的解,那么x2+y2 =25,所以42 +y： =5,也就是说,点 M到原点的距离为5,所以点M在这个圆上.由(1)(2)知,x2+y2=25是圆心在坐标原点,半径为 5的圆的方程.把Mi(3, -4)代入x2+y2=25,等号成立,所以点 M1在圆上,把M2(-2而,2)代入x2+y2=25,等号不成立,所以点 M2不在圆上.【变式2】设A (2, 0)、B (0, 2),能否说线段 AB的方程是x+y 2=0?为什么

14、？【答案】不能.以A (2, 0)、B (0, 2)为端点的线段 AB上的点的坐标都是方程 x+y2=0的解, 但以方程x+y - 2=0的解为坐标的点并不都在线段AB上,而是直线 AB.类型二：坐标法求曲线的方程【高清课堂：曲线与方程例2】例4.点A与B为平面内两定点,假设平面内动点 P到点A与B的距离之比LPAJ=,求动点p| PB | 2的轨迹.【思路点拨】求动点P的轨迹方程,即是求P点的横、纵坐标所满足的关系式,因此应先建系设点 P (x,y).【解析】以线段 AB所在直线为x轴,以线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,如图设 |AB| = 2,那么 A(-1,0),B(1,0),设

15、 P(x,y)| PA| 1 ,口那么由1L = _得| PB| 2(x 1) y _ 11(x.1)2 y2 =2化简整理得(x 5)2 y2 =16 39所以动点P的轨迹是圆【总结升华】(1)求曲线的方程一般有下面几个步骤：建立适当的直角坐标系,并设动点P(x,y).写出动点P满足的几何条件.把几何条件坐标化,得方程F(x, y)=0.化方程F(x, y)=0为最简形式.证实方程F(x, y)=0是曲线的方程.(2)求曲线的方程时,首先应观察原题条件中有没有坐标系,没有坐标系时应先建立坐标系,否那么 曲线不能转化为方程.建坐标系应建得适当,这样可使运算过程简单,所得的方程也较简单(3)根据

16、曲线上的点适合的条件列出等式,是求方程的重要一环,在这里常用到一些根本公式.仔细审题,分析条件和曲线的特征,抓住与曲线上任意点M有关的相等关系,结合根本公式列出等式,并进行化简.(4)证实可以省略不写.举一反三：【变式1】设A、B两点的坐标分别是(1,0)、(一 1, 0),假设k1MA 'kMB =-1,求动点M的轨迹方程.【答案】方程x2 + y2 =1 (x # ±1)是点M的轨迹方程.【变式2】假设点M到两条互相垂直的直线的距离相等,求点 M的轨迹方程.【答案】取两条互相垂直的直线为坐标轴,建立直角坐标系,如下图 设点M的坐标为(x, y),点M的轨迹就是到坐标轴的距

17、离相等的点的集合P=M|MR|=|MQ|,其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足.由于点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值,所以条件|MR|=|MQ|可写成|x|=|y|,即x±y=0.下面证实是所求轨迹的方程.(1)由求方程的过程可知,曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)设点Mi的坐标(%,/)是方程的解,那么 * 土y1 = 0,即| X R yi |,而| |、| yi |正是点Mi到纵轴、横轴的距离,因此点Mi到这两条直线的距离相等,点Mi是曲线上的点.由(1) (2)可知,方程是所求轨迹的方程,图形如上图所示 【变式3】(20i5南阳校级三模改编)A

18、和B是曲线y2=8x上除原点以外的两个动点,O是坐标原点且“不H T - 一 “、满足OA OB = 0 , OM AB =0 ,那么动点M的轨迹方程为()2222222x yA . x +y 8x=0B . y=6x C. x+4y =i D.=i94【答案】【解析】设 P (x1,y1),Q (x2, y2), M (x, y),y y 一 丫2/那么 xi - x2+yi , y2=0 , 一,-i= -1 ,x x - x2当l垂直于x轴时,M (8, 0),当l斜率存在时,由题意可知斜率 k不会为0,设 lAB ： y = kx + b ,代入曲线方程可得k2x2+(2kb -8)x

19、+b2=0,28-2kbb28bxi x22 -,xi x22 , yi y2kkkx1 , x2+y 1 , y2=0 ,.b2 .8b n 20k kb即k = 一一 8 y k = 1 ,x又,一点M满足 y=kx+b ,由得：(x 4)2+y2=i6 ,而M (4, 0)满足上式,.点M的轨迹方程为：(x-4)2+y2=16o即 x?+y 2 8x=0 ,应选：Ao【变式4】设两定点F1(-4,0), F 2(4,0),求到F1和F2的距离的平方和是 50的动点轨迹方程.【答案】x2+y2=9.类型三：由方程画曲线例5. (2021春玉溪校极期末)方程 (x十 y 1X/x2+y2 4

20、 = 0所表示的曲线是(【思路点拨】原方程等价于:x y -1=02 2<22,或x2+y2=4;两组方程分别表示出圆和不在圆内局部的直线,进而可推断x y -4出方程表示的曲线为圆和与圆相交且去掉圆内的局部.【解析】原方程等价于:x y -1 = 02 2122 22 ,或x+y=4；其中当x+y 1=0需,x +y - 4有意义,等式才成立,x y _4即x2+y2>4,此时它表示直线 x-y-1=0上不在圆x2+y2=4内的局部,这是极易出错的一个环节. 应选D. 【总结升华】方程研究曲线,首先要对所给的方程进行同解变形,化为我们所熟悉的方程,进一步研究曲线的特点和性质,进而作出图形.举一反三：【变式1】画出方程10g 14yx+log1Tx =2log 14yx'logj x的曲线:当-