考点11导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

1、圆学子梦想 铸金字品牌温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。 考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2013·辽宁高考理科·12）设函数满足则x>0时,f(x)（ ）有极大值，无极小值 有极小值，无极大值既有极大值又有极小值 既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。【解析】选D.由题意知，由得,当时,即,则当时,故在(0,+)上单调递增,既无极大值也无极小值.2. （2013·新课标高考文科·

2、;12）与（2013·新课标高考理科·11）相同已知函数 ，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用在处的切线为制定参数的标准.【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当时，故.当时，由于上任意点的切线斜率都要大于，所以，综上.3. （2013·新课标全国高考文科·11）与(2013·新课标全国高考理科·T10)相同设已知函数，下列结论中错误的是（ ）A.，B.函数的图象是中心对称图形C.若是的极小值点，则在区间单调递减D.若是的极值点，则【解析】选C.结

3、合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x0R,使f(x0)=0,A正确.B项,假设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为(m,n),按向量将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x2+m3+am2+bm+c-n=0.上式对xR恒成立,故3m+a=0,得m=-,n=m3+am2+bm+c=f ,所以函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B正确.C项,由于=3x2+2ax+b是二次函数,f(x)有极小值点x0,必定有一

4、个极大值点x1,若x1<x0,则f(x)在区间(-,x0)上不单调递减,C错误.D项,若x0是极值点,则一定有.故选C.4.（2013·安徽高考文科·10）已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数是 ( )A.3 B.4 C. 5 D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x1或f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A。因为，函数的两个极值点为，所以，所以是方程的两根，所以解方程得，由上述可知函数f(x)在(-,x1),(x2,+)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x1<

5、x2,如图, 数形结合可知f(x)=x1有两个不同实根,f(x)=x2有一个实根,所以不同实根的个数为3.5.（2013·安徽高考理科·10）若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是 ( )A.3 B.4 C. 5 D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x1或f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A。因为，函数的两个极值点为，所以 ，所以是方程的两根，所以解方程得，不妨设 由题意知函数f(x)在(-,x1),(x2,+)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x1<x2,如图, 数形

6、结合可知f(x)=x1有两个不同实根,f(x)=x2有一个实根,所以不同实根的个数为3.6.（2013·湖北高考理科·10）已知为常数，函数有两个极值点，则（ ） A. B. C. D. 【解析】选D. ，令，由题意可得有两个实数解x1,x2函数g(x)=lnx+1-2ax有且只有两个零点g(x)在(0,+)上的唯一的极值不等于0, g'(x)= -2a= .当a0时,>0, 单调递增,因此g(x)= 至多有一个零点,不符合题意,应舍去.当a>0时,令=0,解得x= 因为,函数g(x)单调递增;时，函数g(x)单调递减.所以x=是函数g(x)的极大值点,

7、则g>0,即ln+1-1=-ln(2a)>0,所以ln(2a)<0,所以0<2a<1,即0<a<因为0<x1<<x2,所以f'(x1)=lnx1+1-2ax1=0,f'(x2)=lnx2+1-2ax2=0.则f(x1)=x1(lnx1-ax1)=x1(2ax1-1-ax1)=x1(ax1-1)< f(x2)=x2(lnx2-ax2)=x2(ax2-1)>1×7. （2013·天津高考文科·8）设函数. 若实数a, b满足, 则 （ ）A. B. C. D. 【解题指南】先由确定

8、a,b的大小，再结合的单调性进行判断.【解析】选A. 因为所以在其定义域内是单调递增的，由知又因为，故在上也是单调递增的，由 知，所以，因此。8.(2013·浙江高考理科·T8)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则()A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值【解题指南】当k=1,2时,分别验证f'(1)=0是否成立,根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点.【解析】选C.当k=1时,f

9、(x)=ex(x-1)+ex-1,此时f'(1)0,故排除A,B;当k=2时,f'(x)=ex(x-1)2+(ex-1)(2x-2),此时f'(1)=0,在x=1附近左侧,f'(x)<0,在x=1附近右侧,f'(x)>0,所以x=1是f(x)的极小值点.9.(2013·浙江高考文科·T8)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是()【解题指南】根据导数的性质来判断函数的性质.【解析】选B.因为f'(x)>0(x(-1,1),所以f(x)在(

10、-1,1)为增函数,又x(-1,0)时,f'(x)为增函数,x(0,1)时,f'(x)为减函数,所以选B. 10. （2013·大纲版全国卷高考文科·10）已知曲线（ ）A. B. C. D.【解题指南】先对函数求导，将x=-1代入到导函数中即可求出的值.【解析】选D.由题意可知，点在曲线上，因为，则，解得二、填空题11. （2013·广东高考文科·12）若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.【解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识,可先求导.【解析】对y=ax2-lnx求导得,而x轴的斜

11、率为0,所以在点(1,a)处切线的斜率为,解得.【答案】.12. （2013·新课标高考理科·16）若函数的图像关于直线对称，则的最大值为_.【解题指南】首先利用数的图像关于直线对称求出的值，然后利用导数判断函数的单调性，这里要采用试根的的方法对导函数进行因式分解.【解析】因为函数的图像关于直线对称，所以，得，又，而，.得即，解得，.故，则令，即，则或或.当变化时，的变化情况如下表：故的最大值为.【答案】16三、解答题13. （2013·大纲版全国卷高考文科·21）已知函数（I）求；（II）若【解析】（I）当时，.令，得，.当时，在是增函数；当时，在是减

12、函数；当时，在是增函数.（II）由得.当，时，所以在是增函数，于是当时，.综上，的取值范围是.14. （2013·江苏高考数学科·20）设函数，其中为实数。（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。【解题指南】(1)先对f(x)=lnx-ax求导,利用条件f(x)在(1,+)上是单调减函数求出a的范围,再利用g(x)在(1,+)上有最小值求出a的范围,两者取交集.(2)注意函数方程不等式间的相互转化.【解析】(1)令,考虑到f(x)的定义域为(0,+),故a>0,进而解得x>a-1,即f(x

13、)在(a-1,+)上是单调减函数.同理,f(x)在(0,a-1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+)上是单调减函数,故(1,+)(a-1,+),从而a-11,即a1.令g'(x)=ex-a=0,得x=lna.当x<lna时, <0;当x>lna时, >0.又g(x)在(1,+)上有最小值,所以lna>1,即a>e.综上,有a(e,+).(2)当a0时,g(x)必为单调增函数;当a>0时,令=ex-a>0,解得a<ex,即x>lna,因为g(x)在(-1,+)上是单调增函数,类似(1)有lna-1,即0<ae-1.结合

14、上述两种情况,有ae-1.(i)当a=0时,由f(1)=0以及>0,得f(x)存在唯一的零点.(ii)当a<0时,由于f(ea)=a-aea=a(1-ea)<0,f(1)=-a>0,且函数f(x)在ea,1上的图象不间断,所以f(x)在(ea,1)上存在零点.另外,当x>0时, ,故f(x)在(0,+)上是单调增函数,所以f(x)只有一个零点.(iii)当0<ae-1时,令f'(x)=-a=0,解得x=a-1.当0<x<a-1时,f>0,当x>a-1时, <0,所以,x=a-1是f(x)的最大值点,且最大值为f(a-1)

15、=-lna-1.当-lna-1=0,即a=e-1时,f(x)有一个零点x=e.当-lna-1>0,即0<a<e-1时,f(x)有两个零点.实际上,对于0<a<e-1,由于f(e-1)=-1-ae-1<0,f(a-1)>0,且函数f(x)在e-1,a-1上的图象连续,所以f(x)在(e-1,a-1)上存在零点.另外,当x(0,a-1)时,f'(x)=>0,故f(x)在(0,a-1)上是单调增函数,所以f(x)在(0,a-1)上只有一个零点.下面考虑f(x)在(a-1,+)上的情况,先证f()=a(a-2-)<0.为此,我们要证明:当x

16、>e时,ex>x2.设h(x)=ex-x2,则=ex-2x,再设 =ex-2x,则=ex-2.当x>1时, =ex-2>e-2>0,所以在(1,+)上是单调增函数.故当x>2时, =ex-2x> =e2-4>0,从而h(x)在(2,+)上是单调增函数,进而当x>e时,h(x)=ex-x2>h(e)=ee-e2>0.即当x>e时,ex>x2.当0<a<e-1,即a-1>e时，f()=a(a-2-)<0,又f(a-1)>0,且函数f(x)在a-1, 上的图象连续,所以f(x)在(a-1, )

17、上存在零点.又当x>a-1时,f'(x)= <0,故f(x)在(a-1,+)上是单调减函数,所以f(x)在(a-1,+)上只有一个零点.综合(i),(ii),(iii)可知,当a0或a=e-1时,f(x)的零点个数为1,当0<a<e-1时,f(x)的零点个数为2. 15. （2013·湖南高考理科·22）已知，函数.(1)记f(x)在区间0,4上的最大值为g(a),求g(a)的表达式.(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.【解题指南】(1

18、)首先是去掉绝对值符号,然后利用导数求出函数的单调区间,再求出f(x)在区间0,4上的最大值为g(a).(2)首先要根据函数的单调性讨论出a取什么范围时可能存在两点,在该两点处的切线相互垂直,然后利用两互相垂直的直线斜率之积等于-1去讨论求解.【解析】（1）当时，；当时，.因此，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增. ，则在上单调递减，.若，则在上单调递减，在上单调递增，所以 g(a)=maxf(0),f(4).而，故当时；当时，.综上所述，（2）由（1）知，当时，在上单调递减，故不满足要求.当时， 在上单调递减，在上单调递增.若存在，使曲线在，两点处的切线互相垂直，则，且，即，亦即，由，得

19、x1+2a(2a,3a),.故(*)成立等价于集合A=x|2a<x<3a与集合B=的交集非空.因为，所以当且仅当0<2a<1,即0<a<时， ABØ.综上所述,存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是16.（2013·湖南高考文科·21）已知函数f（x）=.（）求f（x）的单调区间；（）证明：当f（x1）=f（x2）(x1x2)时，x1+x20.【解题指南】第()小题解题依据是在定义域下不等式的解集是原函数的增区间，不等式的解集是原函数的减区间。第（）小题首先要确定在什么

20、范围下f（x1）=f（x2），然后再构造新函数利用单调性去证明。【解析】（）函数的定义域是(-,+)，当时，当时，所以的单调递增区间是，单调递减区间是。（）当时，同理，当时，当时，不妨设，由（）知，下面证明：，即证，此不等式等价于，令，则，当时， 单调递减，从而，即，所以，而，所以，从而，由于，在上单调递增，所以，即。17.（2013·江西高考文科·21）设函数a为常数且a（0，1）.（1）当时，求；（2）若x0满足f（f（x0）= x0,但f（x0）x0，则称x0为f（x）的二阶周期点.证明函数f（x）有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x

21、1，x2，设A（x1,f（f（x1），B（x2,f（f（x2）,C(a2,0)，记ABC的面积为，求在区间上的最大值和最小值.【解题指南】（1）把a的值代入，利用分段函数的解析式，由内到外进行求解；（2）先求出f（f（x）的解析式，再根据二阶周期点的定义依次分段求解；（3）在第二问的基础上写出点A、B的坐标，把ABC的面积表示成a的函数，再结合函数求最值得方法进行处理.【解析】(1)当时，（2）当时，由解得，因为，故x=0不是f（x）的二阶周期点；当时，由解得,因为，故为f（x）的二阶周期点；当时，由解得，因为，故不是f（x）的二阶周期点；当时，由解得因为，故为f（x）的二阶周期点.综上，函数

22、f（x）有且仅有两个二阶周期点，.(3)由（2）得,.则，方法一：因为，有，所以，则在区间上单调递增，故在区间上的最小值为，最大值为方法二：令，则，因为，所以在区间上的最小值为，则对任意的，.所以，则在区间上单调递增，故在区间上的最小值为，最大值为18.（2013·安徽高考文科·20）与（2013·安徽高考理科·17）相同设函数f(x)=ax-(1+a2)x2，其中a0，区间l=x|f(x)>0。（）求l的长度(注:区间(,)的长度定义为-)；（）给定常数k （0，1），当1-ka1+k时，求l长度的最小值。【解题指南】（1）求出方程的两个根；（2

23、）利用导数求函数的最小值。【解析】（1）因为方程ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根故f(x)>0的解集为x|x1<x<x2，因此区间，区间长度为。（2） 设则，令，由于0<k<0,当单调递增；当单调递减。因此当的最小值必定在处取得。而，故，因此当在区间1-k,1+k上取得最小值。19.（2013·北京高考文科·18）已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x.（1）若曲线y=f(x)在点(a,f(a)处与直线y=b相切，求a与b的值。（2）若曲线y=f(x)与直线y=b 有两个不同的交点，求b的取值范围。【解题指南】（1

24、）把已知条件转化为；（2）转化为y=f(x)的极值与b的关系。【解析】（1），由线在处的切线为，因此，于是，解得。（2）由（1）知，于是当时，单调递增，当时，单调递减，当时，取得极小值1.因此b的取值范围为。20.(2013·福建高考理科·T17)已知函数f(x)=x-alnx(aR)(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程.(2)求函数f(x)的极值.【解题指南】对函数求导,根据导数即切线斜率,求出切线方程,欲求极值,先求单调性,要注意对参数a进行讨论.【解析】函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1-.(1)当a=2时,f(x)=x-2

25、lnx,f(x)=1-(x>0),所以f(1)=1,f'(1)=-1,所以y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f(x)= ,x>0可知:当a0时,f'(x)>0,函数f(x)为(0,+)上的增函数,函数f(x)无极值;当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a;因为x(0,a)时,f'(x)<0,x(a,+)时,f'(x)>0,所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上:当a0时,函数f(x)无极值,当a>0时,函数f

26、(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值. 21.(2013·福建高考理科·T20)已知函数的周期为,图象的一个对称中心为,将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象.(1)求函数f(x)与g(x)的解析式.(2)是否存在,使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x0的个数,若不存在,说明理由.(3)求实数a与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在内恰有2 013个零点.【解题指南】第(3)问要求考生化整体到局部,先研究函数在一个周

27、期内图象的性质,再从特殊到一般地解决问题.【解析】(1)由函数f(x)=sin(x+)的周期为,>0,得=2,又曲线y=f(x)的一个对称中心为,(0,),故,得=,所以f(x)=cos 2x.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cos x的图象,再将y=cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=sin x.(2)当x时, <sinx<,0<cos2x<,所以sinx>cos2x>sinxcos2x.问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin xcos 2x在内是否有解,设G(x)=sin x+si

28、nxcos 2x-2cos 2x,x,则G'(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x).因为x,所以G(x)>0,G(x)在内单调递增.又，.且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0,即存在唯一的满足题意.(3)依题意,F(x)=asin x+cos 2x,令F(x)=asin x+cos 2x=0,当sin x=0,即x=k(kZ)时,cos 2x=1,从而x=k(kZ)不是方程F(x)=0的解,所以方程F(x)=0等价于关于x的方程,xk(kZ),现研究x(0,)(,2)时方程解的情况,令,x(0,)(,2),则问

29、题转化为研究直线y=a与曲线y=h(x)在x(0,)(,2)的交点情况, ,令h(x)=0,得或.当x变化时,h(x)和h(x)变化情况如下表当x>0且x趋近于0时,h(x)趋向于-,当x<且x趋近于时,h(x)趋向于-,当x>且x趋近于时,h(x)趋向于+,当x<2且x趋近于2时,h(x)趋向于+,故当a>1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,)内无交点,在(,2)内有2个交点;当a<-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,)内有2个交点,在(,2)内无交点;当-1<a<1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,)内有2个交点,在(,2

30、)内有2个交点,由函数h(x)的周期性,可知当a±1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,n)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线y=a与曲线y=h(x)在(0,n)内恰有2013个交点;当a=±1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,)(,2)内有3个交点,由周期性,2 013=3×671,所以n=671×2=1 342.综上,当a=±1,n=1 342时,函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,n)内恰有2 013个零点. 22.（2013·福建高考文科·22）已知函数（,为自然对数的底数）.（I）若曲线

31、在点处的切线平行于轴,求的值;（II）求函数的极值;（III）当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.【解题指南】对函数求导，根据导数即切线斜率，知切线斜率为0，欲求极值，先求单调性，要注意对参数a进行讨论。【解析】方法一：（）由，得又因为曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得（），当时，为R上的增函数，所以函数无极值当时，令，得，；，所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，无极大值综上，当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（）当时，令，则直线：与曲线没有公共点，等价于方程在上没有实数解假设，此时，又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与

32、“方程在上没有实数解”矛盾，故又时，知方程在上没有实数解所以的最大值为方法二：（）（）同解法一（）当时，直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：（*）在上没有实数解当时，方程（*）可化为，在上没有实数解当时，方程（*）化为令，则有令，得，当变化时，的变化情况如下表：当时，同时当趋于时，趋于，从而的取值范围为所以当时，方程（*）无实数解，解得的取值范围是综上，得的最大值为23.（2013·广东高考理科·21）设函数（）.（2） 当时，求函数的单调区间；（3） 当时，求函数在上的最大值.【解题指南】本题含有参数，考查导数在单调性及最值等方面的应用.

33、解题过程中，应用好分类讨论思想.【解析】（1）当时，求导可得，令可得，则当时，；当时，；当时，；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）对求导可得，因为，所以，令可得，显然而.则当时，；当时，；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.令,则,又当k=1时，所以在上递增,所以,从而,所以所以当时,；当时,；所以令,则,令,则所以在上递减,而所以存在使得,且当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减.因为,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.综上,函数在上的最大值.24.（2013·广东高考文科·21）设函数 (1) 当时,求函数的单调区间；(2) 当时,求函数在上的

34、最小值和最大值【解题指南】本题含有参数，考查导数在单调性及最值等方面的应用.解题过程中，应用好分类讨论思想.【解析】对函数求导得.(1)当时，由可知,在上单调递增.（2）方法一：当时，其图像开口向上，对称轴 ，且过点 （i）当，即时，在上单调递增，从而当时， 取得最小值，当时，取得最大值.（ii）当，即时，令解得，注意到，所以.因为，所以的最小值；因为，所以的最大值；综上所述，当时，的最小值,最大值.方法二：当时，对，都有，故；，故.又，所以，.25. （2013·湖北高考理科·T22）设是正整数，为正有理数。（）求函数=的最小值；（）证明：<r<；（）设R,记

35、为不小于的最小整数，例如2=2，=4，-=-1.令=，求的值。（参考数据：80344.7，81350.5，124618.3，126631.7）【解题指南】导数的应用；（）利用（）的结论证明。（）利用（）的结论r和n取特殊值后累加可得。【解析】（）因为，令，解得.当时，所以在内是减函数；当时，所以在内是增函数.故函数在处取得最小值. （）由（），当时，有，即，且等号当且仅当时成立，故当且时，有. 在中，令（这时且），得.上式两边同乘，得，即 当时，在中令（这时且），类似可得 且当时，也成立.综合，得 （）在中，令，分别取值81，82，83，125，得， .将以上各式相加，并整理得.代入数据计算，

36、可得，.由的定义，得.26. （2013·湖北高考文科·T21）设，已知函数.（）当时，讨论函数的单调性；（）当时，称为、关于的加权平均数.（i）判断, ,是否成等比数列，并证明；（ii）、的几何平均数记为G. 称为、的调和平均数，记为H.若，求的取值范围.【解题指南】（）求出函数的定义域，利用导数判断函数的单调性，注意分类讨论。（）（i）表示出, ,用等比中项加以证明，由基本不等式可以证明；（ii）用（）的结论函数的单调性分类证明。【解析】（I） ， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减。（II）（i）计算得， 故，即 所以成等比数列。因，由得。（ii）由（i

37、）知，故由，得 当时， 。这时，的取值范围是；当时，从而，由式得 ，即的取值范围是；当 时， ，从而，由式得 ，即的取值范围是。27. （2013·山东高考理科·21）设函数是自然对数的底数，.（）求的单调区间，最大值；（）讨论关于x的方程根的个数.【解题指南】（）先利用导数公式求函数的导数，根据单调性与导数的关系求出函数的单调区间，然后再利用单调性求最值.（）将求函数根的个数问题转化为求函数零点的个数，利用函数的导数来判断函数的单调性，然后利用单调性判断函数零点.【解析】（），由解得，当时，单调递增；当时，单调递减.所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，最大值为.（

38、）令， 当时，则，所以，因为，所以.所以在上单调递增. 当时，则所以，因为，所以.又，所以，即.因此在上单调递减，综合可知，当，当，即时，没有零点，故关于x的方程根的个数为0；当，即时，只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1；当，即时，a.当时，由（）知，要使，只需要，即.b.当时，由（）知，要使，只需要，即，所以时，有两个零点，故关于x的方程根的个数是2.综上所述，当时，关于x的方程根的个数是0；当时，关于x的方程根的个数是1；当时，关于x的方程根的个数是2.28. （2013·山东高考文科·21）已知函数.()设，求的单调区间；() 设，且对于任意，.试比较与的大小.

39、【解题指南】（）先利用导数公式求函数的导数，根据单调性与导数的关系求出函数的单调区间.（）由条件知，为函数的最小值，然后构造函数，利用函数的单调性比较两数的大小.【解析】（）由，得.（1）当时，若，当时，恒成立，所以函数的单调递减区间是若，当时，函数的单调递减，当时，函数的单调递增，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）当时，得，由得显然，当时，函数的单调递减，当时，函数的单调递增，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，综上所述当，时，函数的单调递减区间是当，时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.() 由，且对于任意， ，则函数在处取

40、得最小值，由（）知，是的唯一的极小值点，故，整理得即.令，则令得，当时，单调递增；当时，单调递减.因此，故，即，即29. （2013·陕西高考理科·21）已知函数. (1) 若直线ykx1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; (2) 设x>0, 讨论曲线yf (x) 与曲线 公共点的个数. (3) 设a<b, 比较与的大小, 并说明理由. 【解题指南】利用导数的几何意义，可求解；分析清楚函数的单调性及极值，讨论确定曲线yf (x) 与曲线 公共点的个数；作差后构造新函数，利用函数的单调性进行大小比较.【解析】(1) f (x)的反函数. 设直线ykx

41、1与相切于点 。所以(2)当 x > 0，m > 0 时， 曲线yf (x) 与曲线 的公共点个数即方程 根的个数。由，则 h(x)在h(x). 所以对曲线yf (x) 与曲线 公共点的个数，讨论如下：当m 时,有0个公共点；当m= 时,有1个公共点；当m 时有2个公共点.(3) 令。，且。所以.30.（2013·新课标全国高考理科·21）已知函数f(x)=ex-ln(x+m),(1)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明f(x)>0.【解题指南】(1)求导，然后将代入导函数，求得，讨论分析导函数的符号，得单调性.(

42、2)求的最小值，证明最小值即可.【解析】(1)因为，是的极值点，所以，解得所以函数，其定义域为，因为设则，所以在上是增函数，又因为，所以当时，即，当时，所以在上是减函数，在上是增函数.(2)当，时，故只需证明当时，.当时，函数在单调递增.由，故在上有唯一实根，且.当时，；当时，从而当时，取得最小值.由得 故.综上，当时，.31. （2013·新课标全国高考文科·21）已知函数。（1）求的极小值和极大值； （2）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围。【解题指南】（1）求导函数，令求极值点，列表求极值.(2)设切线，表示出切线的方程，令得在轴上的截距，利用函数知识

43、求得截距的取值范围.【解析】(1) ,令得或.列表如下0（0,2）200减函数极小值增函数极大值减函数函数的极小值为，极大值为.(2)设切点为，则切线的斜率为此时切线的方程为令，得.，由已知和（1）得 ，则当t(0,+)时,h(t)的取值范围为；当t(-,-2)时,h(t)的取值范围是(-,-3),所以当x0(-,0)(2,+)时,x的取值范围是(-,0),综上,在x轴上的截距的取值范围是(-,0).32. （2013·辽宁高考文科·21）证明：当时，；若不等式对恒成立，求实数的取值范围。【解题指南】构造函数，利用函数的单调性证明不等式；利用已知的不等式恰当地放缩，将复杂的

44、不等式转化为简单的不等式【解析】记，则当时，则在上是增函数，所以；当时，则在上是减函数，所以故当时，即；记，则当时，所以在上是减函数，则即，综上，当时，；由可知，当时，所以当时，不等式恒成立下面证明，当时，不等式不恒成立由可知，则当时，所以存在（例如取中较小者）满足即当时，不等式不恒成立综上，实数的取值范围为33.（2013·辽宁高考理科·21）已知函数.当时，求证：；若恒成立，求实数的取值范围。【解题指南】由于欲证不等式不便于直接证明，因而可以采用间接证明的方法分析法；【解析】证明：要证时，只需证记则当时，因此在上为增函数，故所以，；要证时，只需证记则当时，因此在上为增函

45、数，故所以，综上可知， ，即由知，则有设，则记，则当时，从而在上为减函数，于是当时，故在上为减函数，所以从而所以时，在上恒成立下面证明当时，在上不恒成立。由知，则有记则由前所述，当时，故在上为减函数，于是即因为当时，所以存在使得此时即当时，在上不恒成立。综上，实数的取值范围为34.（2013·新课标高考理科·21）已知函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y4x+2（）求a，b，c，d的值（）若x2时，f(x)kgf(x)，求k的取值范围。【解题指南】（）根据曲线yf(x)和曲线yg(x)都

46、过点P(0，2)可将P(0，2)分别代入到yf(x)和曲线yg(x)上，再利用在点P处有相同的切线y4x+2，对曲线yf(x)和曲线yg(x)进行求导，列出关于的方程组求解.（）构造函数，然后求导，判断函数的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.【解析】（）由已知得，.而，.故，.从而，.（）由（）知，.设，则.由题设可得，得.令，即，得，.（）若，则，从而当时，当时，即在单调递减，在单调递增，故在上有最小值为.故当时，恒成立，即.（）若当，则，当时，即在上单调递增，而,故当且仅当时，恒成立，即.（）若，则.从而当时，不可能恒成立.综上，的取值范围为.35.（2013·新课标高考文

47、科·20）已知函数，曲线在点处切线方程为（）求，的值（）讨论的单调性，并求的极大值【解题指南】（）对函数求导，利用点处切线方程为知，求得，的值；（）由（）确定函数解析式，并对求导，根据导函数判断函数的单调性，根据函数的单调性求出极值.【解析】（）.由已知得，.故，从而，（）由（）知，.令，得或.从而当时，；当时，；故在，单调递增，在单调递减.当时，函数取得极大值，极大值为36.（2013·四川高考理科·21）已知函数其中是实数设，为该函数图象上的两点，且（）指出函数的单调区间；（）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；（）若函数的图象在点处的切线重合，

48、求的取值范围【解题指南】在求解过程中，首先需要把握函数的解析式及定义域，结合各段函数的特征确定其单调区间，在后续的求解过程中，需要首先求解函数的图象在点处的切线的斜率，结合已知求解的最小值，在第（）问中，应着重分析函数的图象在点处的切线重合得到的信息.【解析】()函数f(x)的单调递减区间为(¥,1), 单调递增区间为(1,0),(0,+¥). ()由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,所以当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有=1.当x<0时,=2x+2因为x1<x2<0,所以(2x1+2)(2x2+2)=1所以2x1+2<

49、0, 2x2+2>0.因此x2x1=(2x1+2)+ 2x2+2³=1,当且仅当(2x1+2)= 2x2+2=1即x1=,x2=时等号成立.所以,函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,求x2x1的最小值为1. ()当x1<x2<0或x2>x1>0时, ¹, 所以x1<0<x2.当x1<0时,函数f(x)的图象在点(x1,f(x1)处的切线方程为y(x12+2x1+a)=(2x1+2)(xx1),即y=(2x1+2)xx12+a.当x2>0时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2)处的切线方程为yx2=(xx2

50、),即y=x+x21.两切线重合的充要条件是 由及x1<0<x2知1<x1<0.由得a= x12+1=x12(2x1+2)1.令h(x1)=x12(2x1+2)1(1<x1<0),则h¢(x1)=2x1<0, 所以 h(x1)在(1,0)上是减函数.则h(x1)>h(0)=21,所以a>21,又当x1Î(1,0)且趋近于1时, h(x1)无限增大,所以a的取值范围是(21,+¥).故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,a的取值范围是(21,+¥). 37.（2013·四川高考文科&#

51、183;21）已知函数，其中是实数。设，为该函数图象上的两点，且.（）指出函数的单调区间；（）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，证明：；（）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围。【解题指南】在求解过程中，首先需要把握函数的解析式及定义域，结合各段函数的特征确定其单调区间，在后续的求解过程中，需要首先求解函数的图象在点处的切线的斜率，结合已知证明，在第（）问中，应着重分析函数的图象在点处的切线重合得到的信息.【解析】()函数f(x)的单调递减区间为(¥,1), 单调递增区间为(1,0),(0,+¥). ()由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为

52、,故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有=1.当x<0时,对函数f(x)求导，得=2x+2因为x1<x2<0,所以( 2x1+2)(2x2+2)=1，所以2x1+2<0, 2x2+2>0.因此x2x1=(2x1+2)+ 2x2+2³=1,当且仅当(2x1+2)= 2x2+2=1，即x1=且x2=时等号成立.所以,函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时, 有. () 当x1<x2<0或x2>x1>0时, ¹, 故x1<0<x2.当x1<0时,函数f(x)的图象在点(x1,f(x1)处的切线方程为

53、y(x12+2x1+a)=(2x1+2)(xx1),即y=(2x1+2)xx12+a.当x2>0时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2)处的切线方程为yx2=(xx2),即y=x+x21.两切线重合的充要条件是 由及x1<0<x2知,0<<2.由得,a=lnx2+-1=-ln+-1.令t=,则0<t<2,且a=t2-t-lnt.设h(t)=t2-t-lnt(0<t<2),则h'(t)=t-1-=<0,所以h(t)(0<t<2)为减函数.则h(t)>h(2)=-ln2-1,所以a>-ln2-1.而当t

54、(0,2)且t趋近于0时,h(t)无限增大.所以a>-ln2-1.又当x1(-1,0)且趋近于-1时,h(x1)无限增大,所以a的取值范围是(-ln2-1,+).故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(-ln2-1,+).38. （2013·天津高考文科·20）设, 已知函数 () 证明在区间(1,1)内单调递减, 在区间(1, + )内单调递增; () 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明. 【解题指南】() 利用导数分段证明在区间(1,0)内单调递减, 在区间(0,1)内单调递减，在区间(1, + )内单调递增，且在x=0处不间断，进而得

55、出结论.()由函数的单调性及切线平行得出的关系，通过构造函数及换元法转化为求最小值问题求解.【证明】() 设函数由从而当时，所以在区间内单调递减.由所以当0<x<1时,f2(x)<0;当x>1时,f2(x)>0.即函数f2(x)在区间0,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.综合，及，可知函数在区间(-1,1)内单调递减，在区间(1, + )内单调递增.()由()知在区间内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增. 因为曲线在点处的切线相互平行,从而互不相等，且f(x1)=f'(x2)=f(x3).不妨设 由可得解得从而设则由解得所以 设则因为，所以故即39. （2013·天津高考理科·20）已知函数. (1) 求函数f(x)的单调区间; (2) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使. (3) 设(2