2021年全国高考乙卷数学文试题附答案

1、A.c.pjqD.(pvq)20212021 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1 1 . .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 2 . .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3 3 . .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共 1212 小题，每小题 5 5 分，共 6060 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .己知全集=123,4,5,集合A/=L2,N=3,4,则()A.5B

2、.1,2C.3,4【答案】A【解析】【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.【详解】由题意可得：MUN=1,2.3,4,则Q(MUN)=5.故选：A.2 .设立=4+3i,则=()A.-3-41B.-3+41C.3-41【答案】C【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.故选：C.3 .已知命题p:去R,sinx1,则下列命题中为真命题的是()【详解】由题意可得:-0/1-1D.123.4D.3+41【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题q的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于sinO=O,所以命题为真命题：由于y=在R上为增函数，

3、凶20,所以*1之，=1，所以命题9为真命题：所以人，/为真命题，n、P P八 f、(pvq)为假命翘.故选：A.rX X4 .函数/)=sin+cos的最小正周期和最大值分别是()A.3 兀和 B.3 花和 2C.6 兀和 D.6 兀和 2【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简/(x),结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.XXXX【详解】由题，/(x)=sin+cos-T_2周期为=T=，最大值为JL3故选：C.x+yN4,5 .若心)，满足约束条件(x-)，W2,则石=3x十)，的最小值为()JV3,A.18B.10C.6D.4【答案】C【解析】【分析】由题意作出可

4、行域，变换目标函数为y=-3x+z,数形结合即可得解.详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示,所以的最小正T+V=4;可得点A(l,3),y=3转换目标函数Z=3x+y为y=-3x+z,上下平移立线y=-3x+z数形结合“r得当立线过点A时,z取最小值,此时2叫=3xl+3=6 故选：C.，兀-5TT6.coscos=()1212A1R232【答案】D【解析】【分析】由题意结合诱导公式可得COS吟一cos?1=cos*-sin*再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意,COS-COS=COS-COS-121212212J=cossin1212TCTC=cos=62故选：D.7.在区间(0,g

5、随机取 1 个数，则取到的数小于g的概率为(3A.42B.-31D.6【解析】【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.【详解】设。=区间（0,g）随机取1个数”，对应集合为:,4,4、/7 7一所以。（小爵七故选:B.【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于g”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确求出.8.卜列函数中最小值为4的是（）A.y=x2+2x+4D.In.v【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等，即可得出5,。不符合题意，。符合题意.【详解】对于A,y=/+2x+4=（x+l+3之3,当且仅当x=-1时取等号，

6、所以其最小值为3,A不符合题意；对于B,因为0C卜11】z“1,y=|smx|+-2/4=4,当且仅当sinM=2时取等号，等号取不到，1sinx1所以其最小值不为4,B不符合题意：对于C,因为函数定义域为R,而20,y=2x+22-t=2t+-2/4=4,当且仅当2、=2,即x=l2时取等号，所以其最小俏为4,C符合撅意:对于D,y=Inx+,函数定义域为（0,l）U（L+）,而InxwA且lux40,如当lnx=1,y=-5,hixD不符合题意.4=”取到的数小于;“，对应集合为：区间长度为;,x|Ox|L区间长度为4B-y=|smx|+MC.y=2+2=故选：C.【点睛】本题解题关键是理

7、解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出.1X9.设函数/()=,则下列函数中为奇函数的是()1 +XA./(x-1)-1B./(x-1)+1c.y(x+i)1D.y(x+1)+1【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.1 Y Y2【详解】由题意可得/(#=.=1+;一,2 +x1+x3对于A,/(x-l)-l=一一2不是奇函数；X X2对于B,f(-1)+1=一是奇函数：X X2对于C,/(x+l)-l=-2,定义域不关于原点对称，不是奇函数：X+ZX+Z2 2对于D,/(x+l)+l=-定义域不关于原点对称，不是

8、奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.10.在正方体A6CQ-A瓦2中，尸为瓦倒的中点，则直线总与4。所成的角为()兀兀J兀A.B.C.D.2346【答案】D【解析】【分析】平移直线A2至BQ,将直线必与人口所成的角转化为总与6C；所成的角，解三角形即可.如图，连接BC1，PCPB,因为AR80,所以NP5c或其补角为直线PB与4R所成的角，因为平面A4G。1，所以又PC1上纥么,B从CBD=B所以尸G_L平面尸3优，所以PQ_L尸6,设正方体棱长为 2,则BQ=2PQ=；D四=&sinZPBCl=-=-t所以/尸5G=.nC126故选：D

9、11.设8是椭圆。：三十,门=1上顶点，点尸在C上，则|p/的最大值为（）A.-B.y/6c.75D.2【答案】A【解析】【分析】设点P（%,%），由依题意可知，8（0.1）,+），；=1,再根据两点间的距离公式得到|P肝，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值.【详解】设点尸（方,%），因为8（0），,+），：=1,所以=石+（九1=5（1-：）+（券-1=-4：-2），0+6=-4（券+；）+?，kqj4而-14儿41,所以当儿=一;时，尸5的最大值为:42故选：A.【详解】5【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出.易

10、错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.12.设若x=a为函数/(工)=。(工一4(不一)的极大值点，则()A.abC.aba2【答案】D【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对。进行分类讨论，画出/(.力图象，即可得到力所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若。二人则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.J(x)有人和x=b两个不同零点，且在X=4左右附近是不变号，在

11、x=b左右附近是变号的.依题意,*为函数=-的极大值点一.在x=a左右附近都是小于零的.当0时，由/(x)0,画出/)的图象如下图所示：由图可知。0时，由工时，/(x)0,画出/(x)的图象如下图所示:由图可知”0,故综上所述，(山成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.13.已知向量3=(2,5)=(儿4),若7区,则=【解析】【分析】利用向量平行充分必要条件得到关于人的方程，解方程即可求得实数的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4-4x5=0,Q解方程可得：A=.故答案为：T-2214.双曲线:一,=1右焦点到直

12、线/+2)，-8=0的距离为【答案】事【解析】【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由己知，C=J7=”=3,所以双曲线的右焦点为(3.0)，二、填空题：本题共 4 4 小题，每小， 5 5 分,共 2020 分.、c 八13+2x0-815r所以右焦点（3,0）到直线x+2y8=0的距离为近+?=忑=5故答案为：15.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,c,面积为，3=60。，+c=3ac,则3=【答案】272【解析】【分析】由三角形面积公式可得生，=4,再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，S,Br=acsmB=ac=y/3a/lot24所以4c=4,/+=

13、12，所以/=/+c，-2accos6=12-2x4x；=8,解得b=2应（负值舍去）.故答案为：2五.16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符介要求的一组答案即可）.图图图H2-H图【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由题意结合所给图形确定一组三视图的组合即可.【详解】选择侧视图为，俯视图为,如图所示，长方体A6CQ-AC2中，AB=BC=2.B及=1,E/分别为棱的中点，则正视图，侧视图，俯视图对应的几何体为三极锥 E-AOF.故答案为：.【点睛】三视图问题解决的关健之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中

14、线面的位置关系和数量关系.三、解答题.共 7070 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17172121 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 6060 分.17 .某厂研制了一种生产高精产品的设备， 为检验新设备生产产品的某项指标有无提高， 用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如卜.：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指

15、标的样本平均数分别记为7和亍，样本方差分别记为和（1】求x,y,s；,s；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果一我之 2当言，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为仃显著提高）.【答案】（1）=10,y=10.3,5；=0.036,s；=0.04：（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备行显(1)证明：平面平面P8O：(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-A5CO的体积.【答案】(1)证明见解析：(2)迈.3【解析】【分析】(1)由。，底面A8C。可得PO_LAM,又由线面垂直的判定定理可得AM_L平面PBD,再根据面面垂直的判定定

16、理即可证出平面PAM_L平面PBD-,(2)由(1)可知，AMJ.8O,由平面知识可知，.DABAABM,由相似比可求出AO,再根据四棱锥尸-ABCD的体积公式即可求出.【解析】【分析】(1)根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.(2)根据题目所给判断依据，结合(1)的结论进行判断.【详解】(1)X=9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7，八=10,10V=皿+10/+。+1。+】。+1。.3+】。.6+1。.5+。.4+1。5=103100.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.f+0.22+0.32A八=U.U3o，

17、10。0+。.1、。.2、。.3、。.2、。+。.3、。.2、。、。灸=.a.10（2）依题意，歹一】=0.3=2x05=2，05?=2J0.0225，2J0304=2/0.0076,y-x2j5；，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.如图，四棱锥PABC。的底面是矩形，尸。，底面A8CQ,M为8C的中点，且P3J.AM.【详解】（1）因为POJL底面A6CO,AMu平面A6C。，所以PO_LAM,又尸6JL4M,PBCPD=P,所以AM_L平面080,而AMu 平面PAM所以平面PAW_L平面PBD.（2）由（1）可知，AM_L平面280,所以4例_L80,从而ADA

18、B4ABM,设5M=x,AD=2xt则人，即2x?=1,解得x=Y2,所以AO=J5.ABAD2因为PDJL底面A5CO.故四棱锥PA8CZ）的体枳为V=；x（lxJI）xl=.【点睛】本题第一问解题关键是找到平面尸4M或平面06。的垂线，结合题目条件P8JLAM,所以垂线可以从P5,AA/中产生，稍加分析即可判断出AM_L平面060,从而证出；第二问关键是底面矩形面积的计算，利用第一问的结论结合平面几何知识可得出.OABA8M,从而求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积.19 .设q是首项为1的等比数列，数列2满足=臂.已知可，3生，9%成等差数列.（1）求q和也的通项公式：s（2）记

19、S和7；分别为,和也的前项和.证明：【答案】（】）q=（；）i，b”飞；（2）证明见解析.【解析】【分析】利用等差数列的性质及得到9疗64+1=0,解方程即可：利用公式法、错位相减法分别求出S.,7；,再作差比较即可.【详解】因为“是首项为1的等比数列且q,3生，94成等差数列，所以6a2=%+9%，所以6a1q=%+9a4,即9f-64+1=0,解得=；,所以q=0)1,nann1X(1-)(1)可得s0=?13112-1=关+干+F所以72f-总,所以1一宗=;（1一5）一悬1（1一提）=一所以。吟.【点睛】本题主要考杳数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型次活选择，关键是要看如何消项化简的更为荷洁.20 .已知抛物线C：r=2px（p0）的焦点F到准线的距离为2.（1）求。的方程;（2）已知0为坐标原点，点户在C上，点。满足尸0=90尸，求直线。斜率