高中数学知识点大全填空

1、高中数学知识梳理1.集合的概念(1)集合中元素的三个特征:(2)集合的表示法:;按元素特征可分为：集合按所含元素个数可分为：(4)常用数集符号：N表示集；R表木_2.两类关系集；N*或N +表示集;C表示集.(1)元素与集合的关系，用或 表木.(2)集合与集合的关系，用“时，称A是B的真子集；当集；Z表示时，称A是B的子集；当时，称集合A与集合B相等，两个集合所含的元素完全相同.3 .集合的运算(1)全集：如果集合 S包含我们所要研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用 U来表示.一切所研究的集合都是这个集合的 .(2)交集：由属于 A且属于B的所有元素组成的集合，叫作

2、集合A与B的交集，记作 AAB,即AAB =(3)并集：由属于 A或属于B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作 AUB,即AUB =(4)补集：集合A是集合S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫作 A的补集(或余集)，记作 ?sA,即？sA _.4 .常见结论与等价关系(1)如果集合A中有n(nC N*)个元素，那么A的子集有 个.个，真子集有,个，非空真子集有(2) An B=A? A? B, AU B=A? A? B.(3) ?u(AA B)=, ?U(AU B)=知识梳理1 .如果记“若p则q”为原命题，那么否命题为“ ” .其中互为逆否命题的两个命题同真假，即等

3、价，原命题与，逆否命题 等价，逆命题与等价.因此，四种命题为真的个数只能是偶数.2 . (1)若 p? q,但 p,则p是q的(2)若 p 百 q,但q? p,则p是q的若p? q,且q? p,即p? q,则p是q的条件;条件;条件;(4)若 p? / q,且 qp,则p是q的条件.3.证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立 (即条件的 的).1.全称量词),又要证明它的逆命题成立 (即条件我们把表示的量词称为全称量词.对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“ ？ ”表本.含有 的命题，叫作全称命题.“对任意实数xCM,都有p(x)成

4、立”简记成“ ？ xCM, p(x)” .2 .存在量词我们把表示 的量词称为存在量词.对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“？ ”表示.含有 的命题，叫作存在性命题.“存在实数xoC M,使p(xo)成立"简记成“ 3 .简单逻辑联结词有 (符号为V ), (符号为八), (符号为非).4 .命题的否定：“ ？ xC M, p(x)”与“”互为否定.5 .复合命题的真假：对 p且q而言，当p, q均为真时，其为 ;当p, q中至少有一个为假时，其为 对p或q而言，当p, q均为假时，其为 ;当p, q中有一个为真时，其为

5、当p为真时，非p为;p为假时，非p为.6 .常见词语的否定如下表所示：词语是一小旦 /E心都是小于词语的否定词语且必有一个至少有n个至多有一个所有x成立词语的否定1 .函数的概念设A, B是两个 的数集，如果按某个确定的 ，使对于集合 A中的 元素x,在集合B中都有 的元素y和它对应，那么称 为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x), x A.其中所有的输入值 x组成的集合A叫作函数y=f(x)的;所有的输出值y组成的集合叫作函数 y = f(x)的.2 .相同函数函数的定义含有三个要素，即 、和.当函数的 及 确定之后，函数的 也就随之确定.当且仅当两个函数的和 都分别相同时，这两个

6、函数才是同一个函数.3 .函数的表不'法： 、 和.1.函数的定义域(1)函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式 的x的取值围.(2)分式中分母应 ;偶次根式中被开方数应为 ,奇次根式中被开方数为一切实数；零 指数塞中底数.(3) 对数式中，真数必须， 底数必须， 三角函数中的角要使该三角函数有意义等(4) 实际问题中还需考虑自变量的， 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集2. 求函数值域主要的几种方法(1) 函数的 直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可直接通过求得值域(2) 二次函数或可转化为二次函数形式的

7、问题，常用求值域(3) 分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用求值域；分子、分母中含有二次项的有理函数，常用求值域(主要适用于定义域为R 的函数)(4) 单调函数常根据函数的求值域(5) 很多函数可拆配成基本不等式的形式，利用求值域(6) 有些函数具有明显的几何意义，可根据几何意义的方法求值域(7) 只要是能求导数的函数常可用导数的方法求值域.1. 函数单调性的定义(1) 一般地，对于 的函数f(x),如果对于属于这个区间的 两个自变量 X1, X2,当 时，者B有(或都有),那么就说f(x)在这个区间上是单调增函数(或单调减函数).(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是单调增函数(

8、或单调减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫作f(x)的.若函数是单调增函数，则称该区间为 ；若函数为单调减函数，则 称该区间为.2. 复合函数的单调性对于函数y=f(u)和u=g(x),如果当x (a, b)时，uC(m, n),且u = g(x)在区间(a, b)上和y=f(u)在区间(m, n)上同时具有单调性，则复合函数y = f(g(x)在区间(a , b)上具有,并且具有这样的规律：3. 求函数单调区间或证明函数单调性的方法(1) ；(2) ；(3) .1. 奇、偶函数的定义对于函数f(x)的定义域的 x,都有(或f(-x)+f(x) = 0),则称

9、f(x)为奇函数；对于函 数f(x)的定义域的任意 x,都有(或),则称f(x)为偶函数.2. 奇、偶函数的性质(1) 具有奇偶性的函数，其定义域关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于对称)(2) 奇函数的图象关于对称，偶函数的图象关于对称(3)若奇函数的定义域包含0,则f(0) =.(4)定义在( 8, +OO )上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.1. 函数图象的两种作法描点法： ;.运用描点法作图前，必须对图象的特征(包括图象的存在围、大致形状、变化趋势)做到心中有数，这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线

10、连在恰当处(2)图2.周期函数：对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域的任何值时，都有，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称 T为这个函数的周期.3.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫作f(x)的最小正周期象变换法：包括变换、 变换、 变换1. 二次函数的三种表示(1) 一般式：；(2) 两点式：；(3) 顶点式：.2 .二次函数f(x) =ax 方根的性质+bx+c(aw 0)的图象的形状、对称轴、顶点坐标、开口方向是处理二次函数问题的重要依 据3 . 一元二次方程的根的分布问题二次函数对应的一元二次方程的实数根的分布问题是一

11、个比较复杂的问题，给定一元二次方程f(x)= ax2+ bx+c=0(a>0).(1) 若 f(x) = 0 在(m ,n)(m<n)有且只有一个实数根，则需满足(2)若f(x)=0在(m, n)(mv n)有两个实数根，则需满足 设xi, x2为方程f(x)= 0的两个实数根：若 xivmvx2,则f(m)0;若 m<xi<n<p<x2<q,贝U需满足 (4)若方程f(x)= 0的两个实数根中一根小于m,另一根大于n(mvn),则需满足(5)若一元二次方程f(x)=0的两个实数根都大于 r,则需满足i. 指数的相关概念1 i) n 次方根正数的奇次方

12、根是一个，负数的奇次方根是一个， 0 的奇次方根是；正数偶 次 方 根 是 两 个 绝 对 值 、 符 号 的 数 ， 0 的 偶 次 方 根 是 ， 负 数当n为奇数时，nan=；当n为偶数时，n/an=.(3)分数指数哥的意义ma =(其中a>0, m, n都是正整数，n>1);ma =(其中a>0, m, n都是正整数，n>1).2 .指数函数的定义一般地，函数 叫作指数函数.3 .指数函数的性质(1) 定义域： ; (2) 值域： ; (3) 过定点, 即 x=时，y=(4)当a> 1时，在 R上是 函数；当0V a< 1时，在 R上是 函数.1 .

13、对数的相关概念(1)对数的定义：如果 ab=N(其中a> 0且aw 1),那么b叫作,记作.(2)常用对数和自然对数常用对数：以 为底N的对数，简记为lgN ;自然对数：以 为底N的对数，简记为lnN.(3)指数式与对数式的相互转化：ab=N? (其中a>0且aw1, N>0).两个式子表示的a, b, N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.2 .对数运算的性质(M>0, N>0, a>0且aw1)(1) log a(MN) =; M(2) log aN =；(3) log aMn=.3 .对数换底公式(N>0, a>0且aw1, b>

14、0且bw1)logbN =.由换底公式可以得到：logab=, loganbm=, logab lOgbC=.4 .几个常用的结论(N>0, a>0且aw1)(1) log aa =, log a1 =；(2) log aaN=, alogaN =.1 .对数函数的定义函数 叫作对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是 .2 .对数函数的性质(1)定义域：;(2)值域：;(3)过定点,即当 x=时，y=;(4)当a>1时，在(0, +8 )上是单调 函数；当0vav 1时，在(0, +oo)上是单调 函数.1 .募函数的定义：一般地，函数式 叫作募函数，其中 X是自变量，a

15、是常数.2 .所有的哥函数 y=x"在区间 上都有定义，并且图象都过点 .如果0>0,那么哥函数的图象过 ,并且在0, +8)上是;如果 a<0,那么哥函数的 图象在(0, +8)上是,在第一象限，当 x从右边趋向于原点时，图象在 y轴的右边无限地逼近,当 X趋向于正无穷时，图象在 X轴上方无限地逼近 .3 .对于函数y=f(x),把使方程 的实数x称为函数y=f(x)的零点.4 .函数y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0的,也就是函数 y=f(x)的图象与x轴交点的 . 因此，函数y= f(x)有零点等价于函数 y=f(x)的图象与x轴有,也等价于方程f(x) =

16、0有.5 .如果函数y=f(x)在区间a, b上的图象是一条连续的曲线，且有 ,那么函数y=f(x)在(a, b)上有 零点，即存在cC (a, b),使得f(c)=0,此时c就是方程f(x) = 0的根.但反之，不成立.1 .数学模型及数学建模数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于 实际问题的数学描述.数学建模是把实际问题加以抽象概括，建立相应的模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.2 .常见的函数模型：; (2); (3); (4).3 .解函数应用题时，要注意四个步骤：第一步：阅读理解.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字

17、叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么、求 什么，从中提炼出相应的数学问题.第二步：引入数学符号，建立数学模型.一般地，设自变量为 x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量，并用 x, y和辅助变量表示各相关量，然后 根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个 函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.第三步：利用数学方法对得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果.第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答.1 .函数的平均变化率一般地，函数f(x)在区间 区，x2上的平均变化率为 .2 .导数的概念A

18、y已知函数y=f(x)在区间(a, b)上有定乂，且 xoC(a, b),若Ax无限趋近于0,比值竟=4.x无限趋近于一个常数 A,则称f(x)在x = x°处可导，并称该常数 A为函数f(x)在x= x0处的导数，记作 f (x0).3 .基本初等函数求导公式(1) (x ) =(“ 为常数)；(2) (ax)' =(a>0且 aw1), (ex)' =；(3) (log ax)' =(a>0 且 aw1),(lnx)' =;(4) (sin x)' = cos x, (cos x)' =.4 .导数的四则运算法则(1)

19、f(x)力(x)/=;(2) f(x) g(x)' = f (x)g(x) + f(x)g ' (x);(3) cf(x)' =(c 为常数)；(4) f ' =(g(x)w0).1 .导数的几何意义(1)导数f' (xo)的几何意义就是曲线y= f(x)在点P(xo, f(xo)处的切线的斜率，即k=f' (xo).(2)设s= s(t)是位移函数，则s' (to)表示物体在t=to时刻的 .(3)设v=v(t)是速度函数，则 v' (to)表示物体在t = to时刻的.2 .利用导数研究函数的单调性在某个区间(a, b),如果

20、f' (x)>0且在(a, b)的任意子区间上 ,那么函数y=f(x)在这个区间单调递 增；如果f' (x)wo且在区间(a, b)的任意子区间上 ,那么函数y=f(x)在这个区间单调递减.3 .判定函数单调性的一般步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域；(2)求导函数f' (x);(3)在函数f(x)的定义域解不等式f' (x)>0或f' (x)<0;(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间.1 .函数的极值如果在函数y=f(x)的定义域I存在xo,使得在xo附近的所有点 x,都有,则称函数y=f(x)在点x =xo处取得极大值，记作

21、 ;如果在xo附近的所有点x,都有,则称函数y=f(x)在点x =xo处取得极小值，记作 .2 .求函数极值的步骤(1)确定函数f(x)的定义域，求导函数f' (x);(2)求方程f' (x)=0的所有实数根；(3)观察在每个根 xn附近，从左到右，导函数 f' (x)的符号如何变化：如果 f' (x)的符号由正变负，那么 f(xn) 是极大值；如果f' (x)的符号由负变正，那么 f(xn)是极小值；如果f' (x)的符号在xn的两侧附近相同，那么 xn不是 函数f(x)的极值点.3 .函数的最值如果在函数f(x)的定义域I存在xo,使得对于任

22、意的xC,者B有,那么称f(xo)为函数的最大值，记作ymax=；如果在函数f(x)的定义域I存在xo,使得对于任意的xC I,者B有,那么称f(xo)为函数的最小值，记作ymin =.4 .求函数y=f(x)在a, b上的最值的步骤(1)求函数f(x)在a, b上的极值;(2)将第一步中求得的极值与f(a), f(b)比较，得到函数f(x)在a, b上的最大值与最小值.1 .最值与不等式(1) a>f(x)恒成立？ a>；(2) a< f(x)恒成立？ a w；(3) a>f(x)有解？ a>(4) a w f(x)有解？ a w.2 .实际应用题(1)解题的一

23、般步骤：理解题意，,使用导数方法求解函数模型，根据求解结果回答实际问题.(2)注意事项：注意实际问题的 ;实际问题中的函数多数是单峰函数(即在定义域只有一个极值点的函数)，这样的极值点也是.1 .角的概念的推广(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按 方向旋转所形成的角叫作正角，按 方向旋 转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作.(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角.终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限.(3)终边相同的角：与角a的终边相同的角 3的集合为

24、 .2 .角的度量(1) 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.(2)弧度制与角度制的关系：1=弧度(用分数表示)，1弧度=度(用分数表示).(3) 弧长公式： l =.1 1(4)扇形面积公式：S= 2r1=习加5.三角函数的符号规律第一象限全“ + ”，第二象限正弦“ + ”，第三象限正切" + ”，第四象限余弦“ + ” .简称：一全、二正、 三切、四余.1.同角三角函数间的基本关系式(1)平方关系：.(2)商数关系：.2.三个注意(1)同角三角函数的关系式的前提是“同角”. 3.注意几种常见的角的变换 3.任意角的三角函数的定义设角a的终边上任意一点的坐标

25、为P(x, y)(除原点)，点P到坐标原点的距离为r(r= 9+ y2),则sin a=cos a=, tan a=.4.三角函数的定义域在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是 、一 a兀一 a兀+ a2兀一a兀2 aJ 2+ “3兀-2 a3兀,-2 + asinsin asin asin asin acos acos acos acos acoscos acos acos acos asin asin asin asin atantan a一tan atan a一tan a/诱导公式的规律可概括为十个字：奇变偶不变，符号看象限.2.运用诱导公式求任意角的三角函数的步骤(1)

26、把求任意角的三角函数值化为求0 °360 °角的三角函数值；(2)把求0°360 °角的三角函数值化为 0°90 °角的三角函数值；(3)求0°90°角的三角函数值.1 .两角和(差)的三角函数公式(1) sin( a±)= sin ocos 3叫os «sin 3；(2) cos( a±=;(3) tan( a±3)=.2 .注意两角和(差)的三角函数公式的变形运用 asin x+ bcos x=2.要注意 “1 的代换，如 1 = sin2 a+=；还有 1 + cos

27、a= , 1 cos a=3 .对于sin a cos a与sin a±cos a同时存在的情况，可通过换元的思路.如设t = sin a±cos a,则sin a cos a=4. 常见的 “变角” 方法有： 2 a= ( a+ 就+； a= ( a+ 就- 3= (a 9 +正弦函数、余弦函数、正切函数的性质解析式y= sin xy= cos xy= tan x定义域RRx xw k7：+2, kC Z值域-1,1-1,1R零点x= k Tt, kC Zx= k 兀+ 2, k C Zx= kTt, k C Z对称轴,，兀，r x= k 兀+ 2, k C Zx= k

28、为 k C Z无周期性T = 2兀T= 2兀T=兀单调增区间一兀 ，兀2k %- 2 2k 兀+ 2(kC Z)(2k-1) g 2kTt(k”)兀，兀ku-2, kTt+-(kJ)单调减区间2kTt+2, 2kjt+ 32t(kC Z)2k %, (2k+ 1)兀(k”)无1.函数y=Asin(cox+昉的图象(1)用“五点法”画函数 y=Asin(cox+。)的图象的步骤：列表；描点；连线.(2)用“变换法"由函数 y= sin x的图象得到函数 y= Asin(x+昉的图象的方法：由函数y= sin x的图象向左(心> 0)或向右()< 0)平移| 4个单位长度，得

29、到函数 的图象；纵坐标1不变，横坐标变为原来的 1,得到函数的图象；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象.由函数y= sin x的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的 ,得到函数 的图象；向左()>0)或向 右U)< 0)平移"个单位长度，得到函数 的图象；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数 的图象.2 .函数y=Asin(cox+昉的性质，一，一.一 2 冗 ，一、.1 ，.一一振幅：A;周期：T='-频率：f=二；相位：cox+();初相：x=0时的相位，即 6|3T1.建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤(1)阅读理解，审清题意；(2)创设

30、变量，构建模型；(3)计算推理，解决模型；(4)结合实际，检验作答.2.三角函数模型的主要应用(1)在解决物理问题中的应用；(2)在解决测量问题中的应用；(3)在解决航海问题中的应用.1.利用平面几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理.正弦定理： (其中R为 ABC的外接圆的半径，下同 ).变式：(1) a=2Rsin A, b=, c=;(2) sin A=, sin B=, sin C =(3) a ： b ： c=(4) 3 =上()sin A sin B.sin Ca+ b+ Cr t r r-rsin A+sin B + sin C( 0 比性质 )'2.利用正弦定理，可以解

31、决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知两角与任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角 ).对于“已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角 )”的题型，可能出现多解或无解的情况.验证解的情况可用数形结合法如：已知a, b和A,用正弦定理求 B,解的情况如下:若A为锐角，则a<bsin A, 解； a = bsin A, 解; bsin A<a<b, 解;a>b, 解.a<bsin A 无解a= bsin A 解bsin A<a<b 两解a>b 一解若A 为直角或

32、钝角，则awb, 解；a>b， 解 .无解一解3 .由正弦定理，可得三角形面积公式:Sb ABC =4 .三角形角和定理的变形:由 A+B+C= Tt,知 A= l (B+C),得sin A=sin(B+C), cos A= cos(B+ C).由A=¥_ B + C,得 sinA=c°sB±P c°sA=sinB±C 2 2222221 .余弦定理:a2 =b2 =c2 =2 .余弦定理的变式:cos A=,cos B=,cos C=.3 .利用余弦定理，我们可以解决以下两类解三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；4 2)已知两边和它

33、们的夹角，求第三边和其他两个角1.测量问题的有关名词(1)仰角和俯角：是指与目标视线在同一垂直平面的水平视线的夹角.其中目标视线在水平视线上方时叫作仰 角，目标视线在水平视线下方时叫作俯角.(2)方向角：是指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏东30。，南偏西45°.(3)方位角：是指北方向顺时针转到目标方向线的角.(4)坡角：是指坡面与水平面所成的角.(5) 坡比：是指坡面的铅直高度与水平宽度之比2. 求解三角形实际问题的基本步骤(1) 分析：理解题意，弄清已知和未知，画出示意图；(2) 建模：根据条件和目标，构建三角形，建立一个解三角形的数学模型；(3) 求解：利用正弦定理和

34、余弦定理解三角形，求数学模型的解；(4) 检验：检验上述所求的角是否符合实际意义，从而得到实际问题的解1. 向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量叫作向量向量的大小叫向量的(或模)2. 几个特殊的向量(1) 零向量：，记作0，其方向是任意的(2) 单位向量：.(3) 平行向量： ，平行向量又称为共线向量，规定0 与任意向量共线(4) 相等向量：.(5) 相反向量：.3. 向量的加法(1) 运用平行四边形法则时，将两个已知向量平移到公共起点，和向量的对角线所对应的向量(2) 运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”， 即第二个向量要以为起点，则由第一个向量的起点指向为和向量4. 向量

35、的减法将两个已知向量平移到公共起点，差向量是向量的终点指向向量的终点的向量注意方向指向被减向量5. 向量的数乘实数入与向量a的积是一个向量，记作它的长度和方向规定如下：(1) 1后1=.(2)当 Q0时，拈的方向与a的方向;当0时，O.的方向与a的方向;当入=0时，后=.注：向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算6. 两个向量共线定理向量b与非零向量a共线？有且只有一个实数力使得b=后.1. 平面向量的基本定理(1) ei, e2是同一平面两个不共线的向量，那么对于这一平面的任一向量a,有且只有一对实数比 尬，使得，其中不共线的向量e1， e2 叫作表示这一平面所有向量的一组基底平面任意的

36、向量 都可以作为一组基底，两个平行向量不可以作为向量的基底(2)平面的任一向量a,都可以沿两个不共线的方向分解成唯一两个向量的和，所以平面向量的基本定理也叫作唯一分解定理2. 平面向量的坐标形式在平面直角坐标系，分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i, j作为基底.对平面任意一个向量 a,有 且只有一对实数 x, y,使得a=(向量的分量表示),记作a=(x, y)(向量的坐标表示),其中x叫作a的横 坐标， y 叫作 a 的纵坐标3. 平面向量的坐标运算(1) 设 a = (xi, yi), b = (x2, y2),则 a + b =, a b=, la=.(2)若点A, B的坐标

37、分别为(xi, yi), (x2, y2),那么AB的坐标为.1. 向量的夹角已知两个非零向量 a与b,记OA=a, OB = b,则 叫作向量a与b的夹角，夹角 0的取值围为.当0= 0°时，a与b同向；当 9= 180°时，a与b反向；当0= 90°时，则称向量 a与b.2. (1)两个向量平行的充要条件：设 a=(xi, yi), b = (x2, y2), bw0,则a/ b? .(2)两个非零向量垂直的充要条件：设a=(xi, yi), b=(x2, y2),则a± b? .1. 两个向量的数量积已知两个非零向量 a与b ,它们的夹角为 0,则

38、a b = |a| |b|cos 0,其中|b| cos 。称为 规定：零向量与任一向量的数量积为0.2. 两个向量的数量积的性质设a与b是非零向量，。是a与b的夹角.(i)若a与b同向，则a b= |a|b|;若a与b反向，则a b =.特另U地，a a= |a|2.(2) a b=0 ? .(3) cos 0=.3. 数量积的运算律(i)交换律：a b = b a.(2)数乘结合律：(后)b=a (.(3)分配律：(a+ b) c= a c+b c.1. 复数的概念形如z=a+bi(a,bCR)的数叫作复数，其中a称为实部，b称为虚部.当 时，z为虚数，当且 时， z 为纯虚数2. 两个复

39、数相等的充要条件a+bi=c+di(a, b, c, d C R)? .3. 复数的四则运算设 zi=a+bi, z2=c+ di(a, b, c, dC R).(1) 复数的加减法：Zi±Z2=.(2) 复数的乘法： zi Z2= (a+ bi)(c+ di) =. 复数的除法：若 Z2W0,则 ziz =.4. 复数模的几何意义(1) z=a+bi?点 Z(a, b)?向量 OZ；(2) |z= a2+b2=|OZ|.知识梳理1 .数列的概念：按照 排列的一列数称为数列，数列中的 都叫作这个数列的项.2 .数列的通项公式：如果数列 an的第n项与序号n之间的关系可以用 来表示，那

40、么 叫作这个数列的通项公式.3 . Sn 与 an 的关系： Sn= ai + a2+ a3+ an, an=4 .等差数列的定义及通项等差数列的通项公式：;推广：an = am+()d.5 .等差数列的求和公式Sn =n ai + an2=na1 +n n 12d.6 .等差数列的其他性质(1)若a, b, c成等差数列，则称 b为a, c的等差中项，且b=.(2)在等差数列an中，若 m+n=p+q(m, n, p, qC N*),则.(3) S2n 1 =.(4)因为Sn= a+(n1)2,所以Sn也是等差数列，首项为 ,公差为.(5)若Sm, S2m, 9m分别为等差数列 an的前m项

41、、前2m项、前3m项和，则Sm,S2m-Sm, S3mS2m成数列.an(6)已知等差数列an, bn的前n项和分别为Sn, Tn,则an, bn, S2n-1, T2n-1之间的关系为 原=.(7)非零等差数列奇数项与偶数项的性质S奇右项数为 2n,则S偶一 S奇=,=；右项数为2n 1,则S偶=(n 1)an, $奇=1 .等比数列的定义及通项如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的 都等于,那么这个数列就叫作 等比数列，这个常数叫作等比数列的 .等比数列的通项公式： ;推广：an = amqn m.2 .等比数列的求和公式Sn=3 .等比数列的性质设数列an是等比数列，公比为 q.(

42、1) 若 m+n=p+q(m, n, p, qCN*),则;(2)数列kan( k为非零常数)，；,an( k Z且为常数)也是等比数列； an(3)每隔k(kCN)项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列；(4)若an的前n项和为Sn,则3,如一Sk,四一跳，成等比数列(各项不为0).1 .递推数列(1)概念：数列的连续若干项满足的等量关系an + k= f(an + k 1 , an + k 2,，an)称为数列的递推关系.由递推关系及k个初始值确定的数列叫作递推数列.(2)求递推数列通项公式的常用方法：迭代法、构造法、累加(乘)法、归纳猜想法.2 .数列递推关系的几种常见类型

43、(1)形如 an an 1= f(n)(n N*且 n> 2)方法：累加法，即当 nCN 且 n>2 时，an= (ananT)+(anT an-2) + (a2a1)+ a1；(2)形如 丸=f(n)(nC N*且 n>2)an 1方法：累乘法，即当 nCN*且nR2时，an=-a上空二空a1；an 1 an 2a1注意：n=1不一定满足上述形式，所以需要检验.(3)形如 an= pan 1 + q(n N 且 n >2)方法：化为an + p、=p an 1 + pq1的形式，令bn=an+p7,则bn=pbn 1, bn为等比数列，所以可求得数列an的通项公式；(

44、4)形如 an= pan 1 + f(n)(n N*且 n>2)方法：两边同除以pn,得an =当三十 /,令bn=a则bn=bn-1 +雪，转化为利用累加法求p p 1 pppbn若号为常数，则bn为等差数列，所以可求得数列an的通项公式 p常用的一般数列的求和方法1 .公式法：若可以判断出所求数列是等差(比)数列，则可以直接利用公式进行求和.2 .分组转化法：把数列的每一项拆成两项的差(或和)，或把数列的项重新组合，使其转化为等差数列或等比数列.3 .裂项相消法：把数列的通项拆成两项的差(或和)，使求和时出现的一些正负项相互抵消，于是前n项和变成首尾两项或少数几项的和 (差).4 .

45、倒序相加法：把 Sn中项的顺序首尾颠倒过来，再与原来顺序的Sn相加.这种方法体现了 “补”的思想，等差数列的前n项和公式就是用它推导出来的.5 .错位相减法：数列anbn的求和问题应用此法，其中an是等差数列，bn是等比数列.1 .数列可以与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量、解析几何等组成综合问题，灵活运用等差数列、等 比数列的知识分析问题、解决问题是关键.2 .解答有关数列的实际应用问题，通常可分为三步：(1)根据题意建立数列模型；(2)运用数列知识求解数列模型；(3)检验结果是否符合题意，给出问题的答案.1 .合情推理： 叫作合情推理. 是两种 常用的合情推理.2 .演绎推理： 的推

46、理，叫作演绎推理. 演绎推理的 主要特点是当前提为真时，结论必然为真.3 .直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性，叫作直接证明.常用的直 接证明的方法有综合法与分析法.4 .间接证明： 的方法叫作间接证明.常用的间 接证明的方法是反证法.1 . 一元二次不等式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+cv 0(其中aw。)的解集设相应的一元二次方程ax2+bx+c= 0(其中aw。)的两根为xi,x2,且xi <x2,A= b24ac,则不等式的解的各种情况如下表所示：A> 0A= 0AV 0后两个相异的实数根 xi , x2(xi&l

47、t; x2)后两个相等的实数根Jbxi = x2 = c2a无实数根2 .求解一元二次不等式的步骤(2)；.1 .线性规划及相关概念(1)目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x, y的解析式称为目标函数.(2)约束条件：由x, y的不等式(或方程)组成的不等式组称为 x, y的约束条件.关于 x, y的一次不等式或方 程组成的不等式组称为 x, y的线性约束条件.(3)可行解：.(4)可行域：.(5)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解.(6)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为 .2 .解线性规划问题的步骤(1)画，即;(2)移，即在线性目标函数所表

48、示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距的直线;(3)求，即；(4)答，即.1 . 基本不等式的定理表达式为： .2 .应用基本不等式求最值时应注意的问题是：.3 .与基本不等式相关的重要不等式(1)；(2)；(3)4 .基本不等式 gbwa； %<0, b>0)的两个等价变形(1) ；(2) .1 .基本不等式的应用(1)研究函数的性质；(2)求解最值问题；(3)确定参数的取值围；(4)解决实际问题.2 .基本不等式的综合应用三角函数、数列、立体几何、解析几何中的最值问题.3 .解不等式问题的一般步骤(1)分析题意；(2)建立数学模型；(3)解决数学问题；(4

49、)检验作答.4 .立体几何公理系统公理1:如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上 的点都在这个平面，是判定直线在 平面的依据.公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.它是判定两平面相交，作两个平面交线的依据.公理3:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1:经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相 .5 .空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相父直线在同一个平囿平行直

50、线在同一个平囿异向直线小同在任何一个平囿3. 一条直线和一个平面的位置关系位置直线a与斗回a相交直线a与半囿a平行关系公共有且只有一个公共点没有公共点点符号a? a表示图 形 表 示4 .直线与平面平行的判定定理:直线与平面平行的性质定理：5 .两个平面的位置关系位置关系公共点付万表/、ad 3= a图形表小6 .两个平面平行的判定定理:两个平面平行的性质定理：知识梳理1. 直线与平面垂直的判定定理2. 直线与平面垂直的性质定理：3. 两个平面垂直的判定定理：4. 两 个 平 面 垂 直 的 性 质 定 理 ：5. 线线、线面、面面垂直的相互转化关系：多面体的面积与体积公式：1 .底面周长为c

51、,高为h的直棱柱的侧面积公式为 ;2 .长方体的长、宽、高分别为 a, b, c,则它的体积公式为;3 . 柱体的体积等于它的底面积S 和高 h 的积，即；4 .底面周长为c,斜高为h'的正棱锥的侧面积公式为 ;5 .锥体的体积公式为 ,其中锥体的底面积为S,高为h;6 .上、下底面周长分别为c, c',斜高为h'的正棱台的侧面积公式为 7 . 台体的体积公式为 V台体=,其中台体的上、下底面面积分别为S' , S,台体的高为h;8 . 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式分别为、 、 ；9 . 球体的体积公式为，表面积公式为，其中 R 为球的半径1. 证明线面平行的关

52、键点：(1) 证明直线与平面平行的关键是设法在平面找到一条与已知直线平行的直线；(2) 利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；(3) 注意说明已知的直线不在平面，即三个条件缺一不可2. 证明线面垂直的关键点：1 1) 解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，把握平面图形中的一些线线垂直关系的灵活应用，这是证明空间垂直关系的基础；(2)由于“线线垂直” “线面垂直” “面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个 核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.3 .平行与垂直综合应用问题的处理策略：

53、(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点的存在问题，点多为中点或三等分点中的 某一个，也可以根据相似知识寻找点.(2)折叠问题中平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含着的垂 直关系.1 .直线的倾斜角 a的取值围是.2 .已知直线上不同的两点P(xi,yi),Q(x2,y2),当xwx2时，直线PQ的斜率为y二义；当x1 = x2时，直线PQ x2 xi的斜率.3 .当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与直线的倾斜角 a之间的关系是 4 .直线方程的五种形式：名称方程适用围点斜式y Vo= k(x x0)不含直线x=x0斜截式y= kx

54、+ b不含垂直于x轴的直线两点式y y1 x x1 y2 y1 x2 x1不含直线 x= x(xw *2)和y= y1 (y1")截距式Ly=1 a b不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A, B 不全为零)平囿直角坐标系的直线都适用1 .平行(1)已知两条直线11,12的斜率分别是k1,k2,它们在y轴上的截距分别是b1, b2,那么11/12的充要条件是 ； 11与12相交的充要条件是 .(2)已知两条直线11 :a1x +b1y+C1= 0 , 12 ：a2x+ b2y +c2= 0 ,那么11 / 12的充要条件是(3)当两直线11, 12的斜率都不存在时，则11与12.(