沪教版高一下册数学反三角函数反正弦函数教案高一下学期

1、做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。6.4反三角函数(1)反正弦函数【教学目标】一一 一、.，,，一 一， 一一 一、.，n n , 一一一 一一一1 .理解函数y=sinx (xC R)没有反函数；理解函数y=sinx, xC ,万有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是-1 , 1,值域是-,.2 .知道反正弦函数y=arcsinx , xC -1 , 1的图像.3 .掌握等式 sin (arcsinx ) =x, x -1 , 1和 arcsin (-x) =-arcsinx , xC-1 ,1.4 .能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示

2、角5 .会用数形结合等数学思想分析和思考问题.【教学重点与难点】教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质教学难点：反正弦函数y = arcsinx, xw £-1,1】的产生和从本质上处理正弦函数 y=sinx(xwR的反函数问题.【教学过程】一、情景引入1 .复习我们学习过反函数，知道，对于函数y=f (x), xCD,如果对它的值域中的任意一个值v,在定义域D中都有唯一确定的值 x与它对应，使y=f (x),这样得到的x关于y的函数叫做 y=f (x)的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的.2 .思考那么

3、正弦函数是否存在反函数呢？说明因为对于任一正弦值 y都有无数个角值 x与之对应.正弦函数的自变量与因变量是 多对一的.故而不存在反函数.3 .讨论正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得y = sin X在该区间上存在反函数 .因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦 值表示就可以了 .学生讨论应该选取怎样的区间，使得 y = sin x存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：(1) y=sinx在所取区间上存在反函数；(2)能取到y=sinx的一切函数值 匚1,11可以选取闭区间|-土，土L使得y=sinx在IL 2 2该区间上存在反函数，而这个

4、反函数就是今天要学习的反正弦函数.、学习新课1 .概念辨析TT TT(1)反正弦函数的定义：函数 y=sinx , x -,的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx , x -1 , 1.(2)反正弦函数的性质:图像；定义域-1 ,1;值域-,;奇偶性：奇函数，即 arcsin (-x) =-arcsinx , xC-1 , 1；单调性：增函数。说明互为反函数的两个函数图像关于直线y = x对称，函数y=sinx , xC-3，土与22函数y=arcsinx , xC -1 , 1的图像关于直线y = x对称.2 .例题分析例1.求下列反正弦函数的值：(1) arcsin ; (2) a

5、rcsinO ; (3) arcsin ()22解：(1)因为 sin =一,且C -, ,所以 arcsin -=. 6 26222 6一 一 n n -,(2)因为 sinO=0，且 0C - 一，一,所以 arcsin0=0. 一 一二. 3 一二一 二 二 一，3 二(3) 因为 sin ( -) =-, 且 -C -, , 所以 arcsin ()=.例2.用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：2 一二 二、(1) sinx= , x -,一；(2) sinx=- 1, x -,；522,xC -0.解：(1)因为xCn-2由定义,可知x=arcsin(2)因为xC-22由定义,可知

6、x=arcsin1 ) =- arcsin5(3)0上,由定义,可知x=arcsinarcsin在区间-兀TT上上，由诱导公式，可知2x=-兀+arcsin 3满足sinx=-因此x= arcsin 或 3x=-+ +arcsin例3.化简下列各式:(1)arcsin (sin )；7(2)arcsin,4二、(sin )；5* (3)arcsin(sin2007 °)解:(1)因为7arcsin即 arcsin (sin(2)4 二因为45冗- 2所以.,. 4二、 arcsin (sin ) 5=arcsin (sin31一,2冗、)5且 sin =sin设 sin =sin=a

7、5jiarcsin a =5(3)因为 sin2007 0=sin(5X 3600+2070) =sin207 0=sin ( 1800+270) =-sin27 0所以 arcsin (sin2007 0)=arcsin - -sin27 0) =- arcsin(sin270)=- 27 0.例4.求函数f (x) =2arcsin2x的反函数f-1 (x),并指出反函数的定义域和值域解：设 y=2arcsin2x ,则 y = arcsin2x ,因为 2xC -1 , 1, arcsin2xy C -j，ji ,根据反正弦函数的定义，得 2x=sin 2一.冗e -，2x= 1 sin

8、互换，得反函数f-1 (x) = sin ,定义域是-ji , ji ,值域是-21 .2 2y2，将x,3.问题拓展例 1.证明等式：arcsin (-x) =-arcsinx , xC -1 , 1证明： xe -1 , 1, -x e -1 , 1sinarcsin (-x) = -x , sin (-arcsinx ) =-sin (arcsinx ) =-x又因为 arcsin (-x) C - 三，ZL , -arcsinx C -, ZL, 且正弦函数在 -,ZL上单调递增，所以 arcsin (-x) =-arcsinx , xC -1 , 1.说明这是证明角相等的问题，两个角

9、仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师 应启发学生知道这个数学事实，并举例说明.例2.设xC 3，,sinx=-,用反正弦函数值表示x.3 二解：因为 x , ,所以(兀-x ) , ,又 sin (兀-x) =sinx ,得 sin (兀-x )=,于是 兀-x=arcsin , x=兀-arcsin说明对于用反正弦函数值表示区间 -；外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际 问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学三、巩固练习判断下列各式是否成立？简述理由.3/ 小(1) arcsin =;(2)23jijiarcsin 一3,、；(3) arcsin1=2k(4) arcsin一)=-arcsin 一；(5) sin(arcsin 12 ) =42; (6) arcsin-1 , 1；ji ji-,；解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为（3）式仅当k=0时成立