河南省郑州市2020届高三数学第三次质量预测试卷理

1、郑州市2020年高中毕业年级第三次质量预测理科数学试题卷本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交 卷时只交答题卡.第I卷（选择题共 60分）、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）2.3.已知集合A= xA. ( 1 , 3)已知 z = ( 1 + i )I Jx1 v 2,集合 B=y | y=(2 i ),则 | z |“0VRK 2”是“方程. 0,3)22二十一=1表示椭圆”的2 m2）,xC R,

2、则集合An B等于. (0, 3).充分不必要条件C .必要不充分条件.既不充分也不必要条件4.已知 cos ( 2019 + & ) 2一， ），贝U COS a25.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.如函数4xf(x)= 的图象大致是l4x-16.等比数列 an的前 n项和为 Sn ,若 S2n = 4 ( a1 + a3 + + a2n_1) ( n e N ), a1a2 a3= 27,则 a5 =A . 81B. 24C.

3、 - 81D. 247 .某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12.若要使该总体的标准差最小，则4x+ 2y的值是A. 12B. 14C . 16D. 188 .关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验. 受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：先请高二年级n名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x, y) (0<x<1, 0vyv1);若卡片上的x, y能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；统计上交的卡片数，记为m;根据统计数n, m估计 的4( n- m)C . n),(A>0, co > 0,4

4、m值.那么可以估计的值约为A . m B . nm nn9 .已知函数 f (x) = Asin (cox +I I < )的部分图象如图所示，则使 f (a + x)2f (ax) =0成立的a的最小正值为A. B.一C . D.一10 .如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是A 19V5Lb, 26L54541922C . -D2211 .F1,F2是双曲线 x_- y=1 (a>0,b>0)a b2=-a,则双曲线离心率的取值范围为A.百，i) B.夜，+8)12 .设函数 f (x)在R上存

5、在导函数(0, +2 上有 2 f (x) 3x2 >0,取值范围为A . - 1 , 1BC. 1 , +8)d3uuir uum的左右焦点，若双曲线上存在点 P满足PF1 PF2c . (1, V3d . (1, 723, (x) , x e r,有 f( x) f( x) = x，在2f (nn- 2) f (nrj) > 3m+ 6m 4,则头数 m 的. (8,1.(00, 1 U 1 , +8)第n卷（非选择题共 90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共 4小题

6、，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.）13 .已知向量 a= （1,入），b=（入，2）,若（a+b） / （ ab）,贝U 入=.14 . 12本相同的资料书分配给三个班级，要求每班至少一本且至多六本，则不同的分配方法 共有 种.15 .设函数h （x）的定义域为D,若满足条件：存在m, n D,使h （x）在m, n上的值域 为2m, 2n,则称h （x）为“倍胀函数”.若函数f （x） = ax （a>1）为“倍胀函数”， 则实数a的取值范围是.16 .已知数列an满足 a = 1, an+1 = 2 an + 1,若集合 M= n | n（n + 1）> t （an

7、 + 1）,ne N 中有3个元素，则实数t的取值范围是 .三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共 60分17 .（本小题满分12分）在4ABC中，AB= 2必,AC= 志,AD为 ABC的内角平分线， AD= 2.BD .(I )求的值；DC(n)求角a的大小.18.(本小题满分12分)如图， ABC AB= BC= 2, Z ABO 90° , E, F分别为AB, AC边的中点，以 EF为折痕把AEF折起，使点 A到达点P的位置，且PB= BE.(I )证明：EF，平面PBE;(n)设N为线段PF上动点，求直线 BN与平

8、面PCF所成角的正弦值的最大值.19.(本小题满分12分)在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变.某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数yi (单位：万元)与时间ti (单位：年)的数据，列表如下：li12345 y.2,42.74.1647.91(I)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明(计算结果精确到 0. 01) .(若| r | >0. 75,则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)一y)

9、Xtiyt - nly附t相关系数公式二二厂"-=r=心二河,一万心仙一切加一处参考数据颂苑7, 5",(H)该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案.方案一：每满500元可减50元；方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为 2,中奖就可以获得 100元现金5奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立.某位顾客购买了 1050元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客获得 100元现金 奖励的概率.某位顾客购买了 1500元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加三次抽奖？说明理由.20 .(本小题满分12分)已知抛物线 C: y2=2p

10、x (p>0),圆 E: (x 3) 2+y2= 1 .uur(1) F是抛物线C的焦点，A是抛物线C上的定点，AF = (0, 2),求抛物线C的方程；(n)在(I)的条件下，过点 F的直线l与圆E相切，设直线l交抛物线C于P, Q两 点，则在x轴上是否存在点 M使/ PMO=QMOO为坐标原点)？若存在，求出点M的坐标； 若不存在，请说明理由.21 .(本小题满分12分)x e 已知函数 f(x) =一 + a(xlnx) , aC Rx(I)当a= e时，求f (x)的最小值；(n)若f (x)有两个零点，求参数 a的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一

11、题作答.如果多做，则按所做的 第一题计分.22 .(本小题满分10分)选彳% 4-4:坐标系与参数方程x= 一 2一 t在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线G:y=什ty=x2 .以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为 p = 4 VFsin oc .4uuu uuu(I)若直线l与x, y轴的交点分别为 A, B,点P在C1上，求BA BP的取值范围；(n)若直线l与C2交于M N两点，点Q的直角坐标为(一2, 1),求I I QMI I QN| |的值.23 .(本小题满分10分)选彳4-5:不等式选讲已知函数 f (x) = |

12、x+ 1 | + a | x+ 2 | .(I )求a=1时，f (x) w 3的解集；(n)若f (x)有最小值，求a的取值范围，并写出相应的最小值.、选择题（本大题共1. D 2 , D 3.C 4.C二、填空题:本大题共2020年高中毕业年级第三次质量预测理科数学参考答案12个小题，每小题5分，共60分）5.D 6.C 7.A 8.C 9.B 10.A 11.B 12.B4小题,每小题5分，共20分,把答案填写在答题卡上.2513.72. 14 . 25. 15.(1,ee) , 16. 1 t -.4三、解答题:本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.

13、解:(1)在ABD中，由正弦定理得:在 ACD中，由正弦定理得：-CD.A sin 2BDsin 2AC Lsin ADC因为 sinADB sin ADC ,AC 3, AB(2)在 ABD中,由余弦定理得BD2 AB2AD22AB在ACD中,由余弦定理得CD2 AC2AD22AC又叫CD2A 16 8.3cos 2 7 43cosA 2-B-,L sinADB_ AAD cos 2A AD cos2A 一、 A又不 ，故二,A 二L L 12分 222 6318.解：（1）E,F分别为AB,AC边的中点，所以EF / BC.1分因为 ABC 90o,所以 EF BE,EF PE又因为BE

14、I PE E 所以EF 平面PBE.16ABACcos-L24 3cos公 L211分.3分10分b分(2)取BE的中点O,连接PO,由(1)知EF 平面PBE,EF 平面BCFE,所以平面PBE 平面BCFE因为PB BE PE,所以PO BE,又因为PO 平面PBE,平面PBEI平面BCFE BE所以PO 平面BCFE . .6分过O作OM / BC交CF于M ,分别以OB,OM,OP所在直线为x, y,z轴建立空间直角坐标 系，如图所示.311 uuur 1. 3mLl1. 3.8分P(0,0,) C(；,2,0)F( -,1,0) PC (1,2, T),PF ( ；1,)222222

15、2uur uurN为线段PF上一动点设N (x,y,z),由PN PF(0 1),得5 2, T(1 ),龈 1 T1).9分ur设平面PCF的法向量为m (x,y,z),UULUTirPC m 则 uuuu irPF m-x 2y21-x y23z2与2 zur取m0(1,1, . 3).10 分设直线BN与平面PCF所成角，unr ir2.5 2 21.11分uur irbn msin |cos BN m | -uur u |BN|m|4.7035直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值为 凶0.12分3519.解：(1)由题知F 3,y 4.7,ti yi85.2, J 6 t )2.

16、10,. ：(» y)2. 22.78i 1, i 1I i 1ntiyi nty i 114.7.227.814.72, 56.9514.715.0950.97 0.75 3 分故y与t的线性相关程度很高，可用线性线性回归模型拟合(2)顾客选择参加两次抽奖，设他获得100元现金奖励为事件一一一1 2 3 12A. P(A) C2 6分5 5 25设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则X B(3,2) 8 分52 , - 所以 E(X) np 3 1.2 10分5由于顾客每中一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为 1

17、.2 100 120 11分由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120小于直接返现的150元，所以专营店老板希望顾客参加抽奖12分20.解：(1)抛物线C的焦点为F(p,0) , 1分2uurp由 AF (0,2)知 A(：, 2), 2分代入抛物线方程得 p 2,故抛物线C的方程为：y2 4x 4分(2)当直线的斜率不存在时，过点F (1,0)的直线不可能与圆 E相切；所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在，设直线斜率为k,则所求的直线方程为 y k(x 1),所以圆心到直线l的距离为d12kL当直线,与圆相切时，有d 1_|2k|_、32 , k 一1k3所以所求的切线方程为y易x 1

18、)或y争x 1)不妨设直线 : yT(X1),交抛物线于P(xi, y) ,Q(X2, y2)两点,联立方程组y2 ya 9(x4x),得 X2 14x 1 0.所以 x1 x214,x1 x21,.8分假设存在点M(t,0)使,PMO QMO则kpMkQM0.所以kPMkQMyy2X1tx2 tV(X1 1X1 t. 3, Jx2 t1)3 r(X1 1)(X2 t) (X2 1)(X1 t) T(Xi t)(X2 t)-3 2x1X2 (t 1)(X13(X1 t)(X2 t).32 (t 1) 14 2tX2) 2t(Xi t)(X2 t)3 ( 12 12t)03 (Xi t)(X2

19、t)即t 1故存在点M( 1,0)符合条件10分当直线l : y 乎(x 1)时,由对称性易知点 M( 1,0)也符合条件 11分综上存在点M( 1,0)使 PMO QMO12分21.解析X，、 e(1) f (x) a(x 1n x), te义域(0,)Xf (X)吗a区1XX(X 1)(ex ax)2xX 、e 时，f (x) e*,由于 ex ex在(0,x)恒成立,故f(x)在(0,1)单调递减，f(x)在(1,)单调递增.故 f (X)minf(1) a e 0. f(x)(x % ax) x当a e时，f(x)在(0,1)单调递减，f(x)在(1,)单调递增f (x)min f (

20、1) a e 0, f(x)只有一个零点 6分当 a e时，ax ex,故ex ax ex ex 0在(0,)恒成立，故 f(x)在(0,1)单调递减，f (x)在(1,)单调递增.f(x)minf (1) a e 0.故当a e时，f(x)没有零点 8分x当a e时，令ex ax 0,得xxa, (x) e-,(x)x(x 1)e2x(x)在(0,1)单调递减，(x)在(1,)单调递增(x)m.(1) e,10分(x)在(0,)有两个零点 x1,x2, 0 x1 1x2f(x)在(0, X)单调递减，在(x1,1)单调递增，在(1,x2)单调递减，在(x2,)单调递增,f(1) a e 0,又x0时，f(x) ,x + 时f(x)此时f(x)有两个零点,综上f (x)有两个零点，则a e12分22.选彳4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)解：(1)由题意可知：直线l