2021学年普陀一模(文)

1、第一学期普陀区髙三数学质量调研卷(文)2021.12每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 若集合A = xx2-2x>0, B = xllx + ll<2),则.2. 设£、勺是平而内两个不平行的向量，若d=©+02与& = 疋1一02平行，则实数加=3. 在5AEC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a = 2, c = 2VJ, C =-，则34. 在(x-3)"的展开式中，若第3项的系数为27,则“ =.5. 若圆x2+(y-l)2 = 1的圆心到直线lH：x + ny = 0 ( n e TV*)的距离为则lim dn =.“

2、TOC6. 函数/(x) = log2(x-l) (1 < x < 2)的反函数 fl(x)=.227. 已知椭圆+ = 1的左.右两个焦点分别为若经过人的直线/与椭圆相交于4. 3两点,43则厶ABF“的周长等于.8 数列冷中，若绚=1, a + a =( n e ),则lim (a, +a +«.) =2"TRmoK9. 若函数f(x) = x + -9则不等式2 < /(x) < -的解集为x210. 如图，正四棱柱ABCD-A.B.C的底面边长AB=2,若异面直线A/与所成的角的大小为arctan|,则正四棱柱ABCD -的侧而积为.11.

3、在数列"“中，=2, a”=44”+3 (/>2),则数列£的前项和S” =12. 已知全集"=1,2,3,4,567,8,在U中任取四个元素组成的集合记为A = a.a2a4,余下的四个元素组成的集合记为CuA = bb29b39b49若绚+a2+a3+a4 <bx +b2+b3+b4,则集合A的取法共有种.rr X13. 若函数/(A-) = l + xcos-,则/(l) + /(2) + - - + /(100)=.14. 已知函数/(x)=r 一"兀一，若方程fM+x=o有且仅有两个解，/(x + l),x<0则实数a的取值范

4、围是15. 若/(x)和g(x)都是左义在R上的函数，则“/与g(x)同是奇函数或偶函数”是“/(x)g(x)是偶函数”的()(4)充分非必要条件.(B) 必要非充分条件.(C)充要条件.(Q)既非充分又非必要条件16. 若a和b均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是()(A) 匕磐 n JF莎.(B)- + >2.2'a b(C) (“ + b)(- + ；) n 4.(D)- > (字)2.a b2217. 将函数y = f(x)的图像向右平移巴个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的4表达式为y = 2sin2x,则函数/(x)的表达式可以是()(A) 2sinx

5、.(B) 2cosx.(C) sin 2%.(D) cos2x.M18H$(小个.(B)2 个.(C) 3 个.(£>)4 个.18. 若&( = 123,山)是所在的平而内的点，且囲OB = OA西给出下列说法: I鬲1=1鬲1=1図1=1刃I：I囲I的最小值一立是I亦I：点A、人在一条直线上：向量页及耳在向量页的方向上的投影必相等.其中正确的个数是()写出必要的步骤.19. (本题满分12分)本大题共有2小题,第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知点P(29 0),点0在曲线C：y2 = 2x±(1) 若点0在第一象限内，且IP0I=2,求点Q的坐标:

6、（2）求IP0I的最小值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数 / （x） = cos2x + 2-3 sin xcosx（1）求函数/（X）的值域，并写出函数/（X）的单调递增区间：jr4（2）若 0 <&<_,且 /（&） = _,计算 cos2<9 的值.6321（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内 匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径尸=Vio毫米，滴管内液体忽略不计.（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴

7、完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件（1）下,设输液开始后x （单位：分钟），瓶内液而与进气管的距离为h （单位：厘米），已知当x = 0时，h = 3.试将力表示为x的函数.（注：cnv = 1000沪）22. （本题满分16分）本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分. 已知数列仗”中，q=3, q+q=32", neNl（1）证明数列"”2”是等比数列，并求数列©的通项公式；（2）在数列©中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项：若不存在，请说明理由:(3) 若八且l<r<5,求证：使

8、得q, 5,匕成等差数列的点列0“)在某一直线上.23. (本题满分18分)本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 左义在(0,-HO)上的函数/(x),如果对任意xe(0,-Ko),恒有 f (kx) = kf(x) (k>2, k eN* ) 成立，则称门兀)为k阶缩放函数.(1) 已知函数f(x)为二阶缩放函数，且当xe(l,2时，/(x) = l + Ioglx,求/(2>/2)的值；2(2) 已知函数f(x)为二阶缩放函数，且当xe(l,2时，f(x) = 2x-x2 ,求证：函数y =门兀)一兀在(1,8)上无零点：(3) 已知函数于(

9、刃为上阶缩放函数,且当xw(l,R时，/(x)的取值范用是0,1),求f(x) 在(0,心山(neN)上的取值范围.2013学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷评分标准一. 填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. (-3, 0):2. -1；3. 4：4.3；5. 1；6. /-*(x) = 1 + 2r(x < 0)(不标明定义域不给分);217. 8；8一：9. (-, 2)10.32：11. 4,r-/2-1 (e * )： 12.31：13. 150：14. a <2；32二. 选择题(本大题满分20分)本大题共有4题.每题选对

10、得5分，否则一律得零分.题号15161718答案ADCB三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题.19.（本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.【解】设Q（x,y） （x>0,y>0） , / = 2x（1）由已知条件得IPQI= J（x_2）2 + y2 =22分将y2 = 2x代入上式，并变形得，x2-2x = 0,解得x = 0 （舍去）或x = 24分当 x = 2 时，y = ±2只有尤=2,y = 2满足条件，所以点0的坐标为(2, 2)6分(2) PQ = yl(x-2)2 +y2 其中 y2 =2x7分IP(2|2=(

11、x-2)2 +2x = x2-2x + 4 =(x-l)2 +3 (x>0) 10分当 X = 1 时，lPQlmin=d12分(不指出x>0,扌口 1分) 20.(本题满分14分)本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【解】(1) f(x) = cos2x + V3sin2x = 2sin(2x + )2 分6由于一2 S 2sin(2x + -) < 2,所以函数/(x)的值域为一2, 24分6由f 2k兀 S 2x H) S f 2k兀得f k兀 S x S + k/r26236所以函数/(劝的单调的增区间为+ keZ6分36(不写k已Z、不扣分；不写区

12、间，扣1分)(2)由(1)得，f(0) = 2sin(2O+ -) = -,即 sin(2& + ?) = ?8分6363其中-<26> + -<-得cos(2& + ?)>010分6 6 2 6所以 cos(20 + Z)= 11 分63cos2& = cos(2 + -)-l13分6 614分V5 V3 2 1 V15+2=x1X=32 3 2621. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.【解】（1）设每分钟滴下k （kwN，）滴,则瓶内液体的体积 =龙 49 +兀，3 = 156兀c/n33分k滴球状液体的体积匕

13、=£土兀10 = 世加 F = c/H35分-3375Lrr所以156 = X156,解得£=75,故每分钟应滴下75滴。6分（2）由（1）知，每分钟滴下71 c/n3药液7分当 4</?<13 时，a7T = -42-(13-/i),即力=13 丄，此时0<x<14410分16当 l<h< 4 时，avt = ” 4 9 + ;r 2 (4 )，即 =40 ,此时44 < x < 15613 分4X13 一 .0SS144综上可得/?（X）= <14分16X40-,144<x<156422. （本题满分16

14、分）本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分. 解：（1）将已知条件q出+©=32"变形为«+1-2n+1=-（«n-2w）1分/ _ 2/,+|由于绚一 2 = 3-2 = 1工0,则 =-1 （常数）3分-2”即数列© 2"是以1为首项，公比为一1的等比数列4分所以心 一2" =1（一1）心=（一1）“"，即匕=2“+（1）心（ne/V4）o 5 分（2）假设在数列©中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为匕“，你，你亠（k>2, k 已 N"由题

15、意得，2ak = ak +,将山=2左+（-1）,匕“ =2-+（1）"2, +1 =2+（-!/代入上式得7分22人+ (-1)2 = 2心 + (-1)_2 + 2® + (-1)“ 8分化简得，一2人"=4（一1）_2,即2人"=4（一1）1,得（-2）'-1 = 4,解得R=3所以，存在满足条件的连续三项为如，5成等比数列。10分(3) 若d, ar, ax成等差数列，则2ar =州+ as即 22r + (-l)r-' = 3 + 2$ + (-I)'",变形得 2X 一 2r+1 = 2 (_旷 _(一 1严

16、 _3 11 分由于若r, seN，且lsvs,下而对r、s进行讨论： 若尸，$均为偶数，则2v-2r+1 <0,解得5<r + l,与1<厂<$矛盾，舍去； 若，为奇数，s为偶数，则2'2灯=0,解得5 = r + l； 若，为偶数，s为奇数，则2v-2f+, <0,解得s <广+ 1,与<r<s矛盾，舍去： 若八$均为奇数，则2' -2r+1 <0,解得5<r + l,与ls<s矛盾，舍去：15分综上可知，只有当r为奇数，$为偶数时，偽，心，心成等差数列，此时满足条件点列(几s) 落在直线y = x+l (其中x为正奇数)上。16分(不写出直线方程扣1分)23. (本题满分18分)本大题共有3小题，第1小题满分4分，笫2小题满分6分，第3小题满分8分.解：(1)由72 e(1,2得，/(V2) = 1 + log, V22分s2由题中条件得/(2) = 2/(V2) = 2x- = l2(2)当 xe(2'2"(j = 0,l,2)时，依题意可得:2x-x2。6分方程/(x)_x = 0O 牙=0或大=2 ,0与2均不属于(2/»2f+, (0 = 0,1,2)8分当xe(2*,2,+, (/= 0,1,2)