数值分析试题A卷与答案

1、青岛科技大学 试题_2014_年_2015 年第 一学期课程名称：数值分析专业年级：2014级（研究生）考生学号：考生姓名：试卷类型： A卷，B卷口考试方式：开卷V 闭卷口填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1设有节点xo,xi,X2,其对应的函数y f x的值分别为yO,yi,y2,则二次拉格朗日插值基函数lo（x）为22.设f x x ,则f x关于下点xo 0,xi 1,x2 3的二阶向刖差分23，则网1 =3x1 6 / 94. n 1个节点的高斯求积公式的代数精确度为。.简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1 .哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算

2、稳定?2 .什么是不动点迭代法？x满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于x的不动点?3.设n阶矩阵A具有n个特征值且满足Hl | n ,请简单说明求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。.求一个次数不高于3的多项式P3 x ,满足下列插值条件:x123yi2412Vi3并估计误差。（10分）, 一> , 、，1 1t四.试用n 1,2,4的牛顿-科特斯求积公式计算定积分I ，dx。（10分）01 x5 .用Newton法求f（x） x cosx 0的近似解。（10分）6 .试用Doolittle分解法求解方程组：256x,1041319x219（10 分）636 x33

3、020x1 2x2 3x3 24七.请写出雅可比迭代法求解线性方程组x1 8x2 x3 12的迭代格式，并2x1 3x2 15x3 30判断其是否收敛？ （ 10分）八.就初值问题yy考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）y（0） v。数值分析（A）卷标准答案(2009 2010 1)填空题（每小题3分，共12分）1. 10 x(x X1)(X X2)(X0 X1)(X0 X2)2.7 ； 3. 3 , 8; 4. 2n+1。2 .简答题（本大题共 3小题，每小题8分，共24分）1 .解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。（4分）对于对称正定阵 A从aii' Ii2可知对任意k i

4、有|1ik | 向。即L的元素不k 1会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。（4分）一*2 .解：（1）若X X ,则称X为函数 X的不动点。（2分）2 2） X必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于X的不动点：1） X是在其定义域内是连续函数；（2分）2） X的值域是定义域的子集；（2分）3） X在其定义域内满足李普希兹条件。（2分）3 .解：参照哥法求解主特征值的流程（8分）步1:输入矩阵A,初始向量v0,误差限，最大迭代次数 N;步 2:置 k:=1,:=0 , u0=v0/|v0|0°；步 3:计算 vk=Auk-1;步4 :计算I vk r 阴 |

5、 vk i ；并置 mk:=vkr, uk:=vk/mk;步5:若|mk- |<,计算，输出 mk,uk;否则，转6;步6:若k<N,置k:=k+1, :=mk,转3;否则输出计算失败信息，停止3 .解：（1）利用插值法加待定系数法：设 p2x 满足p212,p224, p2312,则p2x 3x 7x 6, （3 分）再设 p3 xp2 x K x1x2x3（3 分）K 2（1 分）32p3 x 2x 9x 15x 6（1 分） R x 工 f 4 x 1 x 2 2 x 3（2 分）4!1四.解：应用梯形公式得I I1 f 0 f 1（2分）20.75（1 分）、一.，一11应

6、用羊普森公式得：I I2 _ f 0 4f _ f 1（2分）620.69444444（1 分）应用科特斯公式得：1113I I47f 0 32f-12f-32f-7f 1 （2 分）904240.6931746（2 分）五.解：由零点定理，x cosx 0在（0,一）内有根。（2分）2由牛顿迭代格式xn 1 xn 3一cosx1n 0,1,.（4分）1 sin xn取x0 一得，4x1 0.73936133; x2 0.739085178（3分）x3 0.739085133 4 0.739085133故取 xx4 0.739085133（1 分）六.解：对系数矩阵做三角分解：25610131

7、9l21l 31l32若Lyb,y110, y21,y3若Ux（3,2,1）TO0 U110LU七.解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为0.50.50.50.5u12u22u13U23U33（2分）（4分）（2分）（2分）（2分）其特征多项式为det（I B）21.25 ,且特征值为0. 2诟，3<125i（2分）故有 B 1.251,因而雅可比迭代法不收敛。（1分）（2）对于方程组,Gauss-Seidel迭代法迭代矩阵为0 0.50.5其特征值为10,B 00.530.50.50.5（2分）（2分）故有 B因而雅可比迭代法收敛。（1分）八.证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）1.证：该问题的精确解为y（x）y°e x（2分）欧拉公式为yi 1yi h yi （1 h）yi（2分）对任意固定的xxiih ,8 / 9有 yiy。h）x/hyo（ih）1/hxi,（