抽象函数奇偶性的判定

1、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。有勇气承担命运这才是英雄好汉。9专题一抽象函数奇偶性的判定及应用探究一：抽象函数的单调性和奇偶性问题抽象函数的具体模型f(x y) f(x) f(y)f(xy) f(x) f(y)f(x y) f(x)f(y)f(xy)f(x)f(y)类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题x R, f(x)满足f(x y) f(x) f(y),如何证明f(x)为奇函数?例1 .如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为 5,那么在区间上是A.增函数且最小值为B.增函数且最大值为C.减函数且最小值为D.减函数且最大值为分析：画出满足题意的示意图，易知选Bo例2 .偶函数 在上

2、是减函数，问 在上是增函数还是减函数，并证明你的结论。分析：如图所示，易知 在上是增函数，证明如下：x R, f(x)满足f(xy) f (x) f (y),如何证明f(x)为偶函数？类型二：抽象函数证明函数的单调性问题若 x R,且 f(x y) f (x) f(y)、f (xy) f(x) f (y)证明其单调性若 x R, f(x y) f(x)f(y)、f (xy) f (x) f (y)证明其单调性探究二：函数性质(单调性、奇偶性)定义经典试题一、判断单调性和奇偶性1.判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图,以形助数,2.判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值

3、代换，寻求例3.若函数与是什么函数。解：设图象上任意一点为 P (称，关于原点的对称点与 的关系。的图象关于原点对称，判断：函数)与的图象关于原点对在的图象上，问题迅速获解。即对于函数定义域上的任意x都有是偶函数。二、证明单调性和奇偶性故 是偶函数。1.证明单调性三、求参数范围例4.已知f(X)对一切x, y ，满足f(0)0,f (x y) f (x) f (y),且当 X 0时,这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增f (x) 1 ,求证：(1) x0时,0 f (x)1;(2) f (x)在R上为减函数。减性，去掉" f ”符号，转化为代

4、数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。证明：对一切x,f (x y)f(x)f (y)。已知f(x)是定义在(1, 1)上的偶函数，且在(0, 1)上为增函数，满足且 f (0)0,令 xf (a2) f (4 a2) 0,试确定a的取值范围。现设x 0,则 x0,f(x)而 f (0)f(x) f( x) 1解:f (x)是偶函数，且在(0,1)上是增函数,f (x)在(1, 0)上是减函数,1f ( x) f(x)f(x)得代1V5 。设 x1, x2R 且 x1x2,x1)1,2时,f (a2)f(4 a2)f(0),不等式不成立。f %)f( x2x)x1f (x2x1)f (

5、x1)f(x1)2)当 732时,f (x1)Mx?),f (x)为减函数。f(a 2)2.证明奇偶性2f(a2 4)f(4 a2)1 a1 a2例5.已知的定义域为R,且对任意实数x, y满足偶函数。解之彳导, 3分析：在中，令(3)当 2 af (a 2) f (4 a2)0 a 2 1f(a2 4)0 a2 4 1a 2 a2 4解之得，2 a 5综上所述，所求a的取值范围是(<3, 2) (2, 45)。四、不等式1 .解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“ f ”，转化为代数不等式求解。例 7.已知函数 f (x)对任意 x

6、, y R 有 f(x) f(y) 2 f(x y),当 x 0 时，f(x) 2, f (3) 5,求不等式f (a2 2a 2) 3的解集。解：设 xx2R 且 x1 x2 则 x2 x10,即 f (x2 xi) 2 0,f(x2) f(x2 xi) xi f(x2 xi) f (xi) 2 f (xi) f(x2) f(xi)故f (x)为增函数，又 f(3) f (2 i) f (2) f (i) 2 3f (i) 4 5f (i )3f ( a 22 a 2 )3 f (i ),即 a 22 a 2 ii a 3因此不等式f(a2 2a 2) 3的解集为a| i a 3。2.讨论不

7、等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。例8,.已知f(x)是定义在i,i上的奇函数，若a,b i,i ,且a b 0时，恒有fa一也0. (i)判断f(x)在 i,i上是增函数还是减函数，并证明你的结论；a b(2)解不等式 f(5x i)f(6x2)五、比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内,然后利用其单调性使问题获解。例9,已知函数是定义域为R的偶函数,时,是增函数，若的大小关系是分析:时,f(-2)是增函数,是偶函数i.对于定义在R上的函数f(x),给出三个命题:f(2),则f (x)是偶函数；(2)若f (-2) f (2),则

8、f(x)不是偶函数;(3)f(-2)2.下列命题中,(i)若定义在f(2),则f (x) 一定不是奇函数.其中正确命题的序号为说法正确的是R上的函数f(x)满足f(2) f(i),则函数f (x)是R上的单调增函数;(2)若定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1),则函数f(x)不是R上的单调减函数;a 1, b x f x 1 f xx? f 1 f所以f(x)为奇函数(3)若定义在R上的函数f (x)在区间 ,0上是单调增函数，在区间0,上也是单点评：要判断f(x)的奇偶性必先求出f1 ,而把1写成1是关键调增函数，则函数 f (x)是R上的单调增函数;3,定义在R上的函数yf(x)满

9、足f(2x)f (2 x),且在0,7上只有(4)若定义在R上的函数f (x)在区间 ,0上是单调增函数，在区间0,上也是单f(1)f(3)0 ,判断f(x)的奇偶性并说明理由调增函数，则函数 f (x)是R上的单调增函数;f(x) 在 0,7 上 只f(1)f (3) 0 令 x 3 则变式：若定义在 R上的函数对任意的x1,x2 R都有f(x1 x2) f(x1)f(x2) 2成立，且f 2 3 f 50 所以 ff 1所以f(x)既不是奇当x 0时，f (x)2. (1)求证：f(x) 2是奇函数；(2)求证:f (x)是R上的增函数;函数也不是偶函数。点评：判定一个命题不成立，只需举出

10、反 例即可。函数 y f(x),满足x1,x2 R 都有 f(x 1+x2)= f(x 1)+ f(x 2)-3,(1)判断函数f(x)-3 的奇偶4,已知定义在R上的函数y f(x)满足条件且函数y性并予以证明 若f(x) 最大值为 M最小值为 m,求M+m函数，判断y f(x)的奇偶性并说明理由分析；恰当赋值，用 定义可证奇偶性，应用奇偶性可求M+m解析；因为y f x -3是奇函数，所以解析；令 x1x20,则 f(0+0)= f(0)+ f(0)-3x,x2x 则 f(x-x)= f(x)+ f(-x)-3fx 又 fx*3f x3-2x所以f(x)得 f(x)+ f(-x)=6，令

11、g x f xg x所以f(x)-3为奇为偶函数函数。g x max M 3maxg x min为奇函数图像关于原点对称5,定义在R上的函数y f(x)满足：f 1y x, yx0所以点评：奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法，恰当赋值找出f(x)+ f(-x)=6 是关键2,函数y f(x),满足a,bR, f(ab)af(b)bf(a), (1)f (0), f (1)的值，判断并证明f(x)的奇偶性解析；令a b 0,则2f 1判断y f(x)的奇偶性并说明理由解析；令x 0得4f 04f 1 f 0 f 1 f 1所以f(x)为偶函数6,已知偶函数f(x)在区间0,解析；由偶函数性质得上单调递增求满足|2 x| f |x|0,x的x取值范围f(x)在区间0, 上一一 22_一_ 一2xx 2x x 022 2x 0 解得 x 1点评：运用偶函数性质 f x f x f x可把变量转化为同一单调区间再利用单调性求解，本题若分类讨论，则要分四种情况繁琐，显示了运用性质的重要性。7,函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，g( 1) 0,且f(x) g(x)在 ，0上单调递增，解不等式f(x)