线性规划常见题型大全

1、绝密启用前2014-2015学年度？?建校8月月考卷试卷副标题考试范围：xxx;考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一一三总分得分注意事项：1 .答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2 .请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）x 01 .已知实数x, y满足y 0 ，则z = 4x+y的最大值为（）x y 2A、10B 、8C、2 D 、0【答案】B【解析】试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A（2, 0）点时，z=4x+y取得最大值为8考点：线性规划x y 02 .若不等式组 2X y 2 ,表示的平面区域是

2、一个三角形区域，则a的取值范围是y 0x y a（ ）444A. aB.0 a 1C.1 aD.0 a 1 或 a333【答案】D【解析】根据x y 02x y 2y 0画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a斜率为1,纵截距为a,自直线x ya经过原点起，向上平移，当 0 a1时,2x y 2y 0x y a表布的平面区域是一个三角形区域（如图 2所示）；当14 ga 一时,32x表布的平面区域是个四边形区域（如图 3所示），当a4时,3x y 02x y 2y 0x y a表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D.图1图2考点：平面区域与简单线性规划.图3x y3.已知变

3、量x,y满足约束条件 xx yA. 96 B .（m6）55【答案】A2 01 则乂的取值范围是() x7 0C . (3 6) D . (3,6欢迎下载5【解析】试题分析：画出可行域，Y可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率，可知可x行域的边界交点为临界点（5,9), (1,6)则可知k=_y的范围是9 6.2 2x5考点：线性规划，斜率.4 . （5分）（2011?广东）已知平面直角坐标系 xOy上的区域D由不等式组定.若M （x, y）为D上的动点，点A的坐标为（第 1）,则z=Sj?或的最大值为（ ）A.3 B.4 C.3; D.4 习【答案】B【解析】试题分析：首先做出可行域，将 z

4、=om?oa的坐标代入变为z=/2x+y|,即y=-Ex+z, 此方程表示斜率是- &的直线，当直线与可行域有公共点且在y轴上截距最大时，z有最大值.解：首先做出可行域，如图所示：z= OJf?OA=/_2 k+y,即 y= - Vx+z做出10： y=-屹京，将此直线平行移动，当直线y=-JWx+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值.因为B （V2, 2）,所以z的最大值为4故选B点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示，考查数形结合思想解题.x y 2 05 .已知不等式组 x 2 0A1 1(B)52C) 2(D)12【答案】D【解析】试题分析：由题意，要使不等式组表示平面区域

5、存在，需要|a1,不等式组表示的区域如下图中的阴影部分，面积S 1 (2a21 一，2) 2 3,解得a -,故选D.2考点：1.线性规划求参数的取值6 .设x, y满足约束条件- 0z=+ 3的最小值为上，则a的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】上生T=1+止虫工+!T-rl匕!表示点（x, y）与点（1, 1）连线的斜率.JT4 1由图知a0,否则无可行域，且点（一1, 1）与点（3a, 0）的连线斜率最小,7.已知实数X, y满足条件(x x3)2y 1(yo2)2的最小值为（）2 .2A. 3J2【答案】C【解析】试题分析：如下图可行区域为上图中的靠近 X轴一侧的半圆，目标函

6、数z y- 2一,所表示在可行x 2 x 2区域取一点到点（2,0）连线的斜率的最小值，可知过点（2,0）作半圆的切线，切线的斜率z 一的最小值，设切线方程为y=k （ x-2 ）,则 A到切线的距离为1,故x 2考点：1.线性规划；2.直线与圆的位置关系8.若在区间0 , 2中随机地取两个数,则这两个数中较大的数大于-的概率是（）2931515(A) -9(B) 3(C) 15(D) 151641632【答案】C【解析】欢迎下载#试题分析：设这两个数为:0x2 1x, y,则 0.若两数中较大的数大于-,则还应满0 y 22L11足：x 2或y -(只需排除221 x -21),作出以上不等

7、式组表示的区域，由几何概型115的概率公式得p 1 415.选C.416考点：1、几何概型；2、不等式组表示的区域欢迎下载9第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分、填空题(题型注释)9.若实数x , y满足线性约束条件x y 31x y 2x22xy的最大值为x y 3试题分析：作出不等式组1表示的平面区域，即可行域，则可知直线x y 2x21x y 3 0与直线y x的交点M (2,1),作直线l ： 2x y 0 ,平移直线l ,可知2当 x 2, y 1 时，zmax 2 2 15.考点：线性规划.2x 3y 11 0,10 .已知变量x,y满足约束条件x 4y 8

8、0,若目标函数z x ay a 0的最大x y 2 0,值为1,则a.【答案】3【解析】试题分析：约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B (4,1)点是取得最大值，所以1 4 a 1,所以a 3.考点：线性规划.x y 2 011 .设z=kx+y,其中实数 x, y满足 x 2y 4 0若z的最大值为 12,则实数2x y 4 0k=.【答案】2【解析】作出可行域(如图)，其中A(4, 4), B(0, 2), C(2, 0)过原点作出直线 kx+y=0k=0时，y=0,目标函数z=y在点A处取得最大值4,与题意不符-11.0 k 即 一 k 0时，直线kx+y=0即y= kx经过一、二

9、象限，平移直线 y= 22一kx可知，目标函数z=kx+y在点A处取得最大值，即三.=4 -4 = 12 ,此时k=2与1_一 k 0不符；2k即k1时，直线kx+y=0即y= kx经过一、三象限，平移直线y=kx可知， 22目标函数z=kx+y在点B处取得最大值，即zmax 0 2 2 ,此式不成立k0时，直线kx+y=0即y= kx经过二、四象限，平移直线 y= kx可知，目标函数z=kx+y在点A处取得最大值，即zmax 4k 4 12 ,此时k=2与k0相符，所以k=20 x 312 .点M (x, y)是不等式组y 3表示的平面区域内的一动点，且不等式x 、3y2x y m 0总成立

10、，则m的取值范围是.【答案】m 3【解析】试题分析：将不等式化为 m y 2x ,只需求出y 2x的最大值即可，令z y 2x,0 x .3就是满足不等式y 3的最大值，由简单的线性规划问题解法，可知在0,3处zx 3y取最大值3,则m取值范围是 m 3.考点：简单的线性规划和转化思想.y x13.设变量x, y满足：x 3y 4,则z | x 3y |的最大值为.x 2【解析】试题分析：这是如图可行域,目标函数zx 3y|22,表示可行域内的点到直线 x 3y 0的距离的2倍，很显然点A到直线的距离最大，点A 2,2 ,将其代入点到直线的距离公式得到2 3 2zmax2 82考点：1.线性规

11、划；2.点到直线的距离公式.x y+ 6 0,14 .已知实数x,y满足 x+ y 0, 若2=2* + 丫的最大值为3a+9,最小值为3a 3, x 3,则实数a的取值范围为.【答案】-1,1【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值.又 kBc= 1, kAB= 1, . . 1 a3,21 .已知实数x, y满足约束条件 yV3,则z 5 x2 y2的最大值为 .x V 3,【答案】12【解析】不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形试题分析：解线性规划问题， 22ABC,(A(0,3), B(3,0), C(3,3)及其内部，而且要挖出目标函数的几何

12、意义，本题中x y可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值，就是求x2 y2的最小值，即坐标原点到直线 x y 3的距离的平方，为5 (口)2 1 .考点：线性规划求最值22.曲线y= sinx在点M(兀，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三x角形内部与边界).若点P(x , y)是区域D内的任意一点，则 x + 4y的最大值为 【答案】4【解析】试题分析：Q ysin xxcosx sinx,y2，y |xxcos sin1x2所以曲线ysin x 一在点 xM ,0处的切线方程为：1 y - x,即：x y 0,它与两坐标轴所围成的三角形区域如下图所示:

13、1 -*在y人 1z令z x 4y ,将其变形为y x ，当z变化时，它表示一组斜率为 144轴上的截距为士的平行直线，并且该截距越在，z就越大，由图可知，当直线经过 A 0,14时，截距最大，所以zmax = 0 4 14,故答案为：4.考点：1、导数的几何意义；2、求导公式；3、线必规划.x y 3 023 .已知实数x , y满足 x 2y 50是.【答案】2【解析】试题分析：线性不等式组表示的可行域如图：xy3 0x 2y5 0xy 30A(3,0), 八B(5,0),C(1,2)。y0y 0x2y 50z x 1 2 y2表示点M (1,0)与可行域内的点间的距离的平方。|MA| 2

14、,|MC| 1,点M(1,0)到直线x y 3 0的距离为d 1 0 3J2,因为d |MC| |mA ,.12 12所以 Zmin d22。考点：线性规划。x y 03,24 .已知实数x, y满足约束条件yv3, 则z 5 x2 y2的最大值为 x v 3,【答案】12【解析】.一-22本题中x y就是求x2y2的试题分析：解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角ABC,(A(0,3), B(3,0), C(3,3)及其内部，而且要挖出目标函数的几何意义,可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值, 3 c 1最小值，即坐标原点到直线 x y 3的距离的平方，为5

15、 (二)2 1 .22考点：线性规划求最值25.在平面直角坐标系中,的值是 .【答案】2【解析】x不等式组ya, 2表示的平面区域的面积为4 ,则实数ax试题分析y 2 x等价于x y 2 x ,即直线x y 2 0的下方和直线x y 2 0的上方，而与直线xa围成三角形区域，当a 2时，不等式组x a,y 2|表示的平面区域的面积为x考点：不等式中的线性规划问题.y x 026.已知实数x, y满足x y 2 0贝U zx 0, y 0的最大值为【解析】y x 0试题分析：如图实数 x,y满足x y 2 0满足的可行域是三角形OAB的阴影部分.x 0, y 01 v 1 v1 2一由z (Z

16、)(5)y可化为z (2) y.所以求z的最大值即求出 m 2x y的最小值.目标函数m 2x y ,如图所示.过点B即为m所求的最小值.因为B (-2,0 )所以m=-4.1 4所以 Zmax (5) 4 16.故填 16.考点：1.线性规划问题.2.指数函数的运算.评卷人得分三、解答题(题型注释)x4y -327.已知x, y满足约束条件 3x+ 5y 25,试求解下列问题.x 1(1)z = Jx2 y2的最大值和最小值;(2)z =y一的最大值和最小值；x 21zmax- 1 , zmin一 一4(3) zmax= 14 , zmin= 5.(3)z = |3x +4y+3|的最大值和

17、最小值.【答案】(1) zmax= 55 , zmin= . (2)2【解析】(1)z = Jx2y2表示的几何意义是区域中的点(x, y)到原点(0, 0)的距离,贝U zmax= y/5 , zmin=.(2)z = y-表示区域中的点(x, y)与点(一2, 0)连线的斜率，则 zmax= 1, zmin=N.x 24(3)z = |3x +4y+3| =5 |3x+ 4y+ 3| ,而 | 3x+ 4y+ 3| 表示区域中的点(x , y)到直线553x + 4y + 3 = 0 的距离，贝U zmax= 14, zmin =53x y 6 028.设x,y满足约束条件x y 2 0x 0, y 0(1)画出不等式表示的平面区域，并求该平面区域的面积；12(2)右目标函数 z=ax+by(a0,b0)的取大值为4,求, 三的最小值.a 3b【答案】(1) 10； (2) 4【解析】先在直角坐标系中画出各直线方程，再用特殊点代入法判断各不等式表示的平面区域，其公共部分即为不等式组表示的平面区域，用分割法即可求出其面积。（2）画出目标函数线，平移使其经过可行域当目标函数线的纵截距最大时，z取得最大值，求出满足条件的此点坐标代入目标函数。用基本不等式求1 2-的最小值。a 3b试题解析：解：