第2章 随机变量及其分布

1、随机变量及其分布随机变量的数学期望随机变量的方差与标准差常用离散分布常用连续分布随机变量函数的分布分布的其他特征数 (1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X1，2，6. (2) n个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，n (3) 某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2， (4) 某种型号电视机的寿命 T : 0, +)定义2.1.1 设 =为某随机现象的样本空间， 称定义在上的实值函数实值函数X=X()为随机变量.(1) 随机变量X()是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R=(，) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 X=1.5 是不可能事件. (2) 若 X 为随机变量，则 X = k

2、 、 a X b 、 均为随机事件.即 a X b =；a X() b (3) 注意以下一些表达式： X = k= X kX k； a b = X b.(4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量. 而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示 若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个，则称 X 为离散随机变量. 若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 a, b，则称 X 为连续随机变量. 前例中的 X, Y, Z 为离散随机变量； 而 T 为连续

3、随机变量.定义2.1.2 设X为一个随机变量，对任意实数 x， 称 F(x)=P( X x) 为 X 的分布函数.基本性质： (1) F(x) 单调不降； (2) 有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1； (3) 右连续.x|RXx 1.若将若将 X 看作数轴上随机点的坐标，那看作数轴上随机点的坐标，那(, x 的概率；的概率；么么分布分布函数函数 F (x) 的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间注注2.分布函数的定义域为分布函数的定义域为 ,分布函数的分布函数的(,) 值域为值域为0，1；3.在在 中，中，X是随机变量是随机变量, x是自变量，是自变量， F(x) 是随机变量是随机

4、变量X( )(),F xP Xxx 取值不大于取值不大于 x 的概率；的概率； 分布函数是一个普通的函数，分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用数学分正是通过它，我们可以用数学分 析的工具来研究析的工具来研究 随机变量随机变量.P(x1X x2 ) = F(x2)-F(x1) 4. 对任意实数对任意实数 x1x2，随机点落在区间，随机点落在区间( x1 , x2 的概率为：的概率为： 设离散随机变量 X 的可能取值为：x1，x2，xn， 称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, 为 X 的分布列. 分布列也可用表格形式表示：X x1 x2 xn P p1 p2 pn (1) p

5、i 0， (2)1.iip (正则性)(非负性)例例的分布律为设随机变量XXkp-1 0 1 10 XPX的分布函数，并求求由概率的有限可加性分布函数为：0 11 104( )3 0141 1xxF xxx 01010(1)(0)0311423.4PXPXP XFFP X 解解的图形如下图所示)(xF 1011 1 11014 2 4F xXX分布函数的图形是一条阶梯曲线，它在 , ,处有跳跃其跳跃值分别为 取 , ,的概率, , .111xF(x)一般地随机变量一般地随机变量X概率分布为概率分布为 1x2x3x1p2p 3p P X则它的分布函数为：则它的分布函数为： 11121223111

6、0( )ikiikxxpxxxppxxxF xpxxx 例2.1.1已知 X 的分布列如下：X 0 1 2P 1/3 1/6 1/2求 X 的分布函数.0, 01/3, 01( )1/2, 121, 2xxF xxx 解：X 0 1 2P 0.4 0.4 0.2解：0, 00.4, 01( )0.8, 121, 2xxF xxx 例2.1.2已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率. 对离散随机变量的分布函数应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3)

7、其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值. 连续随机变量X的可能取值充满某个区间 (a, b). 因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0， 所以无法仿离散随机变量用 P(X=x) 来描述连续随机变量X的分布. 注意离散随机变量与连续随机变量的差别.定义2.1.4设随机变量X 的分布函数为F(x),则称 X 为连续随机变量，( )( )xp t dtF x若存在非负可积函数 p(x) ，满足：称 p(x)为概率密度函数，简称密度函数. 具有以下性质由定义知道，概率密度xf (1)0fx (2)1fx dx1212(3),x xxx对于任意实数有 dxxfxFxFx

8、XxPxx211221(4)( )( )( )f xxF xf x若在点 连续，则有121212(,(,( )()Xx xP xXxx xf x落在区间上的概率等于区间上曲线之下的曲边梯形的面积 如图性质(1),(2)是两个最基本的性质有的连续点对于知由性质xxf)(,)4( xxxXxPxxFxxFxfxx00limlim直观述它的分布比分布函数机变量，用概率密度描因此对于连续型随附近的值的概率大小取映出的大小能反的概率分布的密集程度在点而是的概率取值不是随机变量上式表明概率密度xXxfxXxXxf)(,)(连续型随机变量取任一指定值的概率为连续型随机变量取任一指定值的概率为0.即：即：()

9、0,P Xa a为任一指定值为任一指定值,这说明：对于连续型随机变量这说明：对于连续型随机变量X，有，有 但对于离散型随机变量但对于离散型随机变量X，在各种区间（如开，在各种区间（如开区间或闭区间）上取值的概率一般地是不相同的区间或闭区间）上取值的概率一般地是不相同的.()()()()Pa X bPaX bPa XbPaXb 注注: 由由P(X=a)=0 可推知可推知 ()( )()1P XRaf x dxP Xa 而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件并非必然事件并非必然事件 XRa 称称A为为几乎几乎不可能事件，不可能事件，B为为几乎几乎必然事件必然事件.可见，可见，由由P(A)=0,

10、 不能推出不能推出A 由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B= p(x)xo 由于连续型随机变量唯一被它的密度函数所确定由于连续型随机变量唯一被它的密度函数所确定. 所以，若已知密度函数，该连续型随机变量的概率规所以，若已知密度函数，该连续型随机变量的概率规律就得到了全面描述律就得到了全面描述.xF (x).()( )baP aXbp x dx注意点(1) (1) (2) F(x) 是 (, +) 上的连续函数; (3) P(X=x) = F(x)F(x0) = 0; (4) PaXb = PaXb = PaXb = PaXb = F(b)F(a).注意点(2)(5) 当F(x) 在x点可导

11、时, p(x) =( )F x当F(x) 在x点不可导时, 可令p(x) =0.连续型1. 密度函数 X p(x) ( 不唯一不唯一 )( )( )xF xp t dt2.4. P(X=a) = 0离散型1. 分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一 ) 2. F(x) =()iixxP Xx 3. F(a+0) = F(a); P(a a 和 B = Y a 独立，解: 因为 P(A) = P(B), P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B)2238ax dx318a 从中解得34a 且 P(AB)=3/4, 求常数 a .且由A、B 独立，得= 2P(A) P(A)2 = 3

12、/4从中解得: P(A)=1/2, 由此得 0a a )例2.1.5 设 X p(x)，且 p(x) = p(x)，F(x)是 X 的分布函数， 则对任意实数 a0，有( ) F(a) =1 F(a)= F(a) = F(a) F(a) = 2F(a) 10( )ap x dx01()2apx dx 分赌本问题(17世纪) 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元. 无平局，谁先赢3局，则获全部赌注. 当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博. 问如何分赌本? 1. 按已赌局数分： 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲

13、、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4 若按已赌局数和再赌下去的“期望” 分， 则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布列为： X 0 100P 1/4 3/4甲的“期望” 所得是：01/4 +100 3/4 = 75.定义2.2.1 设离散随机变量X的分布列为P(X=xn) = pn, n = 1, 2, . 若级数绝对收敛，则称该级数为X 的1iiix p数学期望，记为1()iiiE Xx p 关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同. (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同

14、, 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.21( 1),1,2,2kkkP Xkk 例 设随机变量X的概率分布为则EX 不存在.例2.2.1则E(X) = 10.2+00.1+10.4+20.3 = 0.8.X 1 0 1 2P 0.2 0.1 0.4 0.3定义2.2.2 设连续随机变量X的密度函数为p(x), 若积分绝对收敛，则称该积分为X 的( )xp x dx数学期望，记为()( )E Xx

15、p x dx例 求柯西分布的数学期望21( )(1)f xxx 柯西分布的数学期望不存在。 数学期望简称为期望. 数学期望又称为均值. 数学期望是一种加权平均.定理2.2.1 设 Y=g(X) 是随机变量X的函数， 若 E(g(X) 存在，则1( ) ()( ()( ) ( )iiig x P XxE g Xg x p x dx例2.2.2 设随机变量 X 的概率分布为求 E(X2+2).= (02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4= 1+3/4+6/4 = 13/4解: E(X2+2)X 0 1 2P 1/2 1/4 1/4例,), 0(内服从均匀分布在区间设随机变量X的数

16、学期望求随机变量函数XYsin解的概率密度为依题意X1,0( )0,xf x 其他012( )sindE Yxx 数学期望的性质(1) E(c) = c(2) E(aX) = aE(X)(3) E(g1(X)+g2(X) = E(g1(X)+E(g2(X) 数学期望反映了X 取值的中心. 方差反映了X 取值的离散程度.定义2.3.1 若 E(XE(X)2 存在，则称 E(XE(X)2 为 X 的方差，记为Var(X)=D(X)= E(XE(X)2 (2) 称X = (X)=Var()X(1) 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度. 方差越大, 则随机变量的取值越分散.为X 的标准差.标准差的

17、量纲与随机变量的量纲相同.(1) Var(c)=0. 性质 2.3.2(2) Var(aX+b) = a2 Var(X). 性质 2.3.3(3) Var(X)=E(X2)E(X)2. 性质 2.3.1例2.3.1 设 X 01( )2120 xxp xxx其 它, 求 E(X), Var(X).解: (1) E(X)=3231211()0133xxx= 1(2) E(X2) = 7/6所以,Var(X) = E(X2)E(X)2 = 7/6 1 = 1/6( )dxp xx1201d(2)dx x xxxx2( )dx p xx123201d(2)dxxxxx 设1,10 ( )1,010,

18、xxXp xxx其他 则方差 Var(X)=( )。问题：Var(X) = 1/6, 为什么？例)(),(XDbaUX求设解的概率密度为X1,( )0,axbf xba 其他()2abE X 222211()d()3baE Xxxaabbba 2222221()()() ()()()3212abbaD XE XE Xaabb 设 Var(X)0, 令则有 E(Y)=0, Var(Y)=1.()Var()XE XXY称 Y 为 X 的标准化. 设随机变量X的方差存在(这时均值也存在), 则 对任意正数，有下面不等式成立Var()|() |2XPXE X2Var()|() |1XPXE X 例2.

19、3.2设 X0( )!00nxxexp xnx证明(02(1)1nPXnn证明:E(X) =0d!nxxxexn= n+1E(X2) =20d!nxxxexn= (n+1)(n+2)所以, Var(X) = E(X2)(EX)2 = n+1,(02(1)(|1)PXnPXEXn211(1)nn 1nn(这里, = n+1)1(2)!nn1(3)!nn由此得 2.4.1 二项分布 记为 X b(n, p).X为n重伯努里试验中“成功”的次数, 0,1,.,()(1).kn kknnP Xkppk当n=1时，称 b(1, p) 为 0-1分布. 试验次数为 n=4, “成功”即取得合格品的概率为

20、p=0.8, 所以, X b(4, 0.8)思考： 若 Y 为不合格品件数，Y ？Y b(4, 0.2) 一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 则取得合格品件数 X 服从二项分布. 例2.4.2 设X b(2, p)， Y b(4, p)， 已知 P(X1) = 8/9， 求 P(Y1).解: 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9. 由此得： P(Y1) = 1 P(Y=0)所以 1/ 9 = P(X=0) =(1p)2，从而解得: p = 2/3.= 1- (1p)4 = 80/81.二项分布的图形特点： XB(n,p)n=13,p=0.5Pkn.

21、0 对于固定n及p，当k增随后单调减少.之增加直至 达到最大值, 加时 ,概率P(X=k) 先是随 当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大值.称k为二项分布的最可能值。 不是整数不是整数当当为整数为整数当当或或pnpnpnpnpnk)1()1()1(1)1()1(其中x表示不超过x的最大整数部分。若随机变量 X 的概率分布为(),0,1, 2,!kP Xkekk则称 X 服从参数为 的泊松分布, 记为 X P().泊松分布注 1）1()1kP Xk 2）泊松分布可以用来描述一些在大量试验中偶然出现的事件的概率分布模型。且有显然，, 2

22、 , 1, 0kkXP 000eeee1kkkkkP Xkkk ！满足分布律的两个条件即kXP都服从泊松分布.某电话交换台收到的电话呼叫数；到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数; 一放射性源放射出的 粒子数； 例如泊松分布的最可能值泊松分布的最可能值:),(PX如 不为整数时。当为整数时；当其中达到最大时概率则1,*kkXPkX例2.4.5 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为 10的泊松分布为了以95%以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？ 解按题意要求为件，件，月底的进货量为种商品设商店每月销售nX该95. 0 nXP的

23、泊松分布，则有服从10Xnkkk01095. 0e10！由附录的泊松分布表知 141001510010e0.91660.9510e0.95130.95 .kkkkkk ，！只要在月底进货15件(假定上个月没有存货)，就可以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销泊松定理定理2.4.1(1) !kkn knnnppekk (二项分布的泊松近似)在n重伯努里试验中，记 pn 为一次试验中成功的概率.若 npn ，则 1,0,1,2,.!kn kknpnnpppekkk 10.2100.21110.9820.018.!kkP Xek 30.9200.93110.9870.013.!kkP Xek

24、此种情况下，不但所求概率比（1）中有所降低，而且3名维修工负责90台设备相当于每个维修工负责30台设备，工作效率是（1）中的1.5倍. 10530510110.9860.014.!kkP Xek 注意注意 此种情况下所求概率与(2)中基本上一样，而10名维修工负责500台设备相当于每个维修工负责50台设备，工作效率是(2)的1.67倍，是(1)中的2.5倍.由此可知由此可知, ,若干维修工共同负责大量设备的维修，将提高工作的效率.超几何分布对应于不返回抽样模型 ： N 个产品中有 M 个不合格品， 从中抽取n个，不合格品的个数为X .2.4.3 超几何分布(1)组合的性质组合的性质 0nkn

25、knMNMNkC CC （2） 00()1kn knnnMNMNnnkkNNC CCP XkCC 注注1()(1),1, 2,kP Xkppk记为 X Ge(p) X 为独立重复的伯努里试验中， “首次成功”时的试验次数. 几何分布具有无记忆性，即： P( X m+n | X m ) = P( X n )2.4.4 几何分布负二项分布(巴斯卡分布)1()(1),1,1kk r rP Xkppkr rr记为X Nb(r, p). X 为独立重复的伯努里试验中， “第 r 次成功”时的试验次数. (1) 二项随机变量是独立 0-1 随机变量之和. (2) 负二项随机变量是独立几何随机变量之和. 几

26、何分布Ge(p) 的数学期望 = 1/p 0-1 分布的数学期望 = p 二项分布 b(n, p)的数学期望 = np 泊松分布 P() 的数学期望 = 0-1 分布的方差 = p(1p) 二项分布 b(n, p)的方差 = np(1p) 泊松分布 P() 的方差= 几何分布Ge(p) 的方差 = (1p)/p2正态分布、均匀分布、指数分布、伽玛分布、贝塔分布。正态分布 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布. 正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.德莫佛 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.高斯记为X N(, 2),2()1( )e

27、xp,222xp xx其中 0， 是任意实数. 是位置参数. 是尺度参数.2.5.1 正态分布 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰决定了图形中峰的陡峭程度的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点2(,)N 如图所示)(xf.)()(,.)(,)(的图形就越平的值越大，反之，当的图形越尖。的值越小固定时当达到最大处在对称的图形关于直线函数xfxfxxfxxf 正态分布的性质(1) p(x) 关于是对称的.p(x)x0在点 p(x) 取得最大值.(2) 若 固定, 改变, (3) 若 固定, 改变,小大p(x)左右移动, 形状保持不变. 越大曲线越平坦;

28、越小曲线越陡峭.的分布函数为X22()21( )ed2txF xt如下图所示)(xF,xt 令得222()2211eded22xtxt20ed,2利用有xx22ed2tt于是22()21ed12xxp(x)x01(1) (0),2xx)( x1( ) x标准正态分布N(0, 1)密度函数记为 (x),分布函数记为 (x).(2)()1( )xx )(x 注注 的图形特点：的图形特点：( )x 11)max ( );2x 轴对称；轴对称；关于关于yx)()2 .)x(x)的的拐拐点点为为 13 (x) 的计算(1) x 0 时, 查标准正态分布函数表.(2) x a) =1(a); (3) P(

29、aXb) = (b)(a); (4) 若a 0, 则 P(|X|a) = P(aX1.96) , P(|X|1.96)P(|X|1/2, 所以 b 0, 反查表得: (1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66而 (a) = 0.0495 1/2,所以 a 0, (a) = 0.9505, 反查表得: (1.65) = 0.9505, 故 a = 1.65例2.5.2一般正态分布的标准化定理2.5.1 设 X N(, 2),XY则 Y N(0, 1).推论: 若 X N(, 2), 则( )xF x若 X N(, 2), 则 P(Xa) = a1a 设 X N(10, 4), 求 P

30、(10X13), P(|X10|2).解: P(10X13) = (1.5)(0)= 0.9332 0.5P(|X 10|2) = P(8Xk = PXk, 则 k = ( ).3课堂练习(1) 设 X N(, 42), Y N(, 52), 记 p1 = PX 4，p2 = PY +5, 则( ) 对任意的 ，都有 p1 = p2 对任意的 ，都有 p1 p2课堂练习(2) 设 X N( , 2), 则随 的增大， 概率 P| X | ( ) 单调增大 单调减少 保持不变 增减不定课堂练习(3)正态分布的 3 原则设 X N(, 2), 则 P( | X | ) = 0.6828. P( |

31、 X | 2 ) = 0.9545. P( | X | 3 , 则 P(A) = P( X 3) = 2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y b(3, 2/3)，所求概率为 P(Y2) = P(Y=2)+P(Y=3)230233321213333CC =20/27例2.5.5例)(),(XDbaUX求设解的概率密度为X其他, 0,1)(bxaabxf2)(baXEbababaxabxXE)(31d1)(222212)()2()(31)()()(222222abbababaXEXEXD2.5.3 指数分布指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示 指数分布常用于可靠性统计研究中，

32、如元件的寿命.指数分布的性质0,sto 对于，则有()()P Xst XtP Xs 如果将X 看成寿命，在已知寿命长于t 年的条件下，再活s 年的概率与年龄t 无关. 因此有时又将指数分布风趣地称为“永远年轻”.tXPtXPtFeeeesFtsFsXPtsXPsXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXPttsts1)(11 11 11 1)(1)(111)( 例 一种电子元件的使用寿命X（单位：小时）求（1）该元件使用的寿命在2000小时没有 损坏的概率； （2）该元件使用的寿命在2000到3000小 时之间的概率； （3）如果该元件使用了1000小时没有坏， 问它可以继续再使用2000小时的

33、概率。服从参数为的指数分布，0.00052.5.4 伽玛分布记为 X Ga(, ),1( ), 0( )xp xxex其中 0， 0.为伽玛函数.10( )dxxex称注意点 (1)(1) = 1, (1/2) =(n+1) = n! (2)Ga(1, ) = Exp()Ga(n/2, 1/2) = 2(n)2.5.5 贝塔分布记为 X Be(a, b), 111( )(1), 01( , )abp xxxxB a b其中a 0，b 0.称1110( , )(1)dabB a bxxx为贝塔函数.注意点 (1) (2) B(a, b) =B(b, a)B(a, b) =(a)(b) /(a+b

34、) (3) Be(1, 1) = U(0, 1) 均匀分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2 指数分布 Exp() : E(X) = 1/ 正态分布 N(, 2) : E(X) = 伽玛分布 Ga(, ) : E(X) = / 贝塔分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b) 均匀分布 U(a, b) 的方差 = (b a)2/12 指数分布 Exp() 的方差= 1/2 正态分布 N(, 2) 的方差= 2例2.5.6 已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)= 2.4, Var(X)=1.44, 则参数 n, p 的值为多少？例2.5.7 设 X 表示 10

35、 次独立重复射击命中目标 的次数,每 次射中目标的概率为0.4, 则 E(X2)的值为多少？解：从 2.4= np, 1.44 = np(1p) 中解得解：因为 E(X) = np = 4, Var(X)= 2.4, 所以n=6, p=0.4. E(X2) = Var(X)+(E(X)2= 2.4+16=18.4 设 E(X)=，Var(X)=2，则对任意常 数 C， 必有（ ）.222222222(1) () ()(2) () () (3) () () (4) () () EXCE XCEXCEXEXCEXEXCEX课堂练习2.6 随机变量函数的分布问题：已知 X 的分布，求 Y = g(X

36、) 的分布。例如： Y1 = 4X +3； Y2 = |X|； Y3 = X2 . 当 X 为离散随机变量时， Y = g(X) 为离散随机变量. 将g(xi) 一一列出, 再将相等的值合并即可. 2.6.1 离散随机变量函数的分布一般地，若一般地，若X是离散型是离散型 随机变量，其概率函数为随机变量，其概率函数为X P X12nxxx12npppY=g(X) P Y12()()()ng xg xg x12nppp则则 如果如果 中有一些是相同的，把它们作适中有一些是相同的，把它们作适当并项即可当并项即可.()kg x例例设设X 0.2 0.1 0.5 0.2 P - -1 0 1 2 X求求 的概率分布函数的概率分布函数.21YX例例 已知随机变量已知随机变量X 的分布律为：的分布律为：1(),1,2,3.2nP Xnn 求求s